2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习02（含答案）

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(1)求A、B两点的坐标；
(2)若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD＋PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ＋eq \f(1,4)OQ的最小值．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=eq \f(3,4)，且经过点A(2，1)，点P是抛物线上的动点，其横坐标为m(0＜m＜2)，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，交OA于点C．点O关于直线PB的对称点为D，连接CD、AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，△ACD的周长最小；
(3)若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.
例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=.
(1)已知点A(﹣5，8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
(2)已知二次函数y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2).
①当点B(m，eq \f(3,2))在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2)的相关函数的最大值和最小值.
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为 (直接填空)；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与 SKIPIF 1 < 0 轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝eq \f(1,2)．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求sin∠DCF的值；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点G是坐标平面内的一点，是否存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c过点(﹣3，3)和(1，﹣5)，与x轴的交点为A，B(点A在点B的左侧)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB(P的对应点是D)，且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，B(0，eq \r(3))，C(1，0)，其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；
(3)若M为y轴上的一个动点，连接ME，求eq \f(1,2)MB＋ME的最小值．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣(x＋2)2＋2，
∴顶点A(﹣2，2)，
令x＝0，可得y＝﹣2，
∴B(0，﹣2)．
(2)如图1中，当AB为菱形的边时，四边形ABCD是菱形，
由题意A(﹣2，2)，B(0，﹣2)，C(0，6)，D(2，2)，此时抛物线C1与C2关于T(0，2)成中心对称，
∴D(2，2)是抛物线C2的顶点，
∴抛物线C2的解析式为y＝(x﹣2)2＋2，即y＝x2﹣4x＋6．
如图2中，当AB是菱形的对角线时，四边形ADBC是菱形，
此时CA＝BC，设C(0，m)则有，22＋(2﹣m)2＝(m＋2)2，
∴m＝eq \f(1,2)，∴C(0，eq \f(1,2))，
∵AD＝BC＝eq \f(5,2)，∴D(﹣2，﹣eq \f(1,2))，
设抛物线C2的解析式为y＝x2＋bx＋eq \f(1,2)，
把D(﹣2，﹣eq \f(1,2))代入y＝x2＋bx＋eq \f(1,2)，可得﹣eq \f(1,2)＝4﹣2b＋eq \f(1,2)，解得b＝eq \f(5,2)，
∴抛物线C2的解析式为y＝x2＋eq \f(5,2)x＋eq \f(1,2)，
如图3中，当AB是菱形的边时，点C是抛物线的顶点(0，2eq \r(5)﹣2)，可得抛物线的解析式为y＝x2＋2eq \r(5)﹣2．
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＋6或y＝x2＋eq \f(5,2)x＋eq \f(1,2)或y＝x2＋2eq \r(5)﹣2．
解：(1)抛物线的表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)由抛物线的表达式得，点M(﹣1，4)，点N(0，3)，
则tan∠MAC＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x＋b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x＋6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cs∠DEF＝eq \f(\r(5),5)，
设点E(x，﹣x2﹣2x＋3)，则点D(x，2x＋6)，
则FE＝EDcs∠DEF＝(﹣x2﹣2x＋3﹣2x﹣6)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(5),5)(﹣x2﹣4x﹣3)，
∵﹣eq \f(\r(5),5)＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D(﹣2，2)；
①点C(﹣1，0)关于y轴的对称点为点B(1，0)，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD＋PC＝PD＋PB＝DB为最小，则BD＝eq \r(13)；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝eq \f(1,4)，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ＋eq \f(1,4)OQ＝DQ＋QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝eq \r(15)x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x＋b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x＋2﹣，
故点Q(0，2﹣)，
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角(设为α)的正切值为，
则csα＝，则DQ＝＝＝，而eq \f(1,4)OQ＝eq \f(1,4)(2﹣)，
则DQ＋eq \f(1,4)OQ为最小值＝＋eq \f(1,4)(2﹣)＝．
解：(1)依题意，得
，解得
∴y=x2﹣eq \f(3,2)x
(2)m=1
(3)依题意，得B(m，0)
在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+(eq \f(1,2)m)2=eq \f(5,4)m2，∴OC=eq \f(\r(5),2)m．
又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=eq \f(\r(5),2)m
在RT△AOE中，OA=eq \r(5)
∴AC=OA﹣OC=eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)m
在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+(2﹣2m)2=4m2﹣8m+5
分三种情况讨论：
①若AC=CD，即eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)m=eq \f(\r(5),2)m，解得m=1，∴P(1，﹣eq \f(1,2))；
②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．
∵0＜m＜2，∴m=，∴P(，﹣)；
③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2，解得m1=，m2=2．
∵0＜m＜2，∴m=，∴P(，﹣)
综上所述，当△ACD为等腰三角形是，
点P的坐标分别为P1(1，﹣)，P2(，﹣)，P3(，﹣)．
解：(1)y=ax﹣3的相关函数y=，
将A(﹣5，8)代入y=﹣ax＋3得：5a＋3=8，解得a=1；
(2)二次函数y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2)的相关函数为
y=，
①当m＜0时，将B(m，eq \f(3,2))代入y=x2﹣4x＋eq \f(1,2)
得m2﹣4m＋eq \f(1,2)=eq \f(3,2)，解得：m=2＋eq \r(5)(舍去)，或m=2﹣eq \r(5)，
当m≥0时，将B(m，eq \f(3,2))代入y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2)得：
﹣m2＋4m﹣eq \f(1,2)=eq \f(3,2)，解得：m=2＋eq \r(2)或m=2﹣eq \r(2).
综上所述：m=2﹣eq \r(5)或m=2＋eq \r(2)或m=2﹣eq \r(2)；
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x＋eq \f(1,2)，抛物线的对称轴为x=2，
此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为21.5，
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2)，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值，最小值为﹣eq \f(1,2)，当x=2时，有最大值，最大值y=eq \f(7,2)，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2＋4x﹣eq \f(1,2)的相关函数的最大值为21.5，最小值为﹣eq \f(1,2).
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，
∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x﹣1＋4＝﹣x2＋2x＋3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)①当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则A(﹣1，0)，B(3，0)，
∴1＜m＜3，
设E点的横坐标为t，
∵m﹣1＝1﹣t，
∴t＝2﹣m，
∴点E的横坐标为2﹣m；
故答案为：2﹣m；
②设F(m，﹣m2＋2m＋3)(1＜m＜3)，则E(2﹣m，﹣m2＋2m＋3)，
∵矩形EFGH为正方形，
∴FG＝FE，
即﹣m2＋2m＋3＝m﹣(2﹣m)，
整理得m2＝5，解得m1＝﹣eq \r(5)(舍去)，m2＝eq \r(5)，
∴G点坐标为(eq \r(5)，0)；
③过点D作DM⊥x轴于M，
∵EG⊥AD，
而DM⊥x轴，
∴∠1＝∠4，
∴Rt△GEH∽Rt△DAM，
∴，即
∴GH＝2EH，即2m﹣2＝2(﹣m2＋2m＋3)，
整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m1＝(舍去)，m2＝，
∴G点坐标为(，0)；
(3)设AD交EF于Q，如图，
∵FP⊥AD，
∴∠DPF＝90°，
∵△DFP与△DAM相似
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
而FP⊥DQ，
∴△FDQ为等腰三角形，
∴FD＝FQ，
设直线AD的解析式为y＝px＋q，
把A(﹣1，0)，D(1，4)代入得
，解得，
∴直线AD的解析式为y＝2x＋2，
当y＝﹣m2＋2m＋3时，2x＋2＝﹣m2＋2m＋3，
解得x＝﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2)，则Q(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2)，﹣m2＋2m＋3)，
∴FQ＝m﹣(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)m2﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(m＋1)(m﹣1)，
而DF2＝(m﹣1)2＋(﹣m2＋2m＋3﹣4)2＝(m﹣1)2＋(m﹣1)4，
∴(m﹣1)2＋(m﹣1)4＝[eq \f(1,2)(m＋1)(m﹣1)]2，
而m≠1，∴1＋(m﹣1)2＝eq \f(1,4)(m＋1)2
整理得3m2﹣10m＋7＝0，解得m1＝1(舍去)，m2＝eq \f(7,3)，
∴F点坐标为(eq \f(7,3)，eq \f(20,9))．
解：(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值是1，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，理由如下：
如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的坐标为：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点(﹣3，3)和(1，﹣5)，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
(2)令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A(﹣4，0)，点B(0，0)，
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D(﹣2，4)，
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P(m，﹣m2﹣4m)，
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝eq \f(1,4)×4＝1，
∴|m＋2|＝1，∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P(﹣1，3)或(﹣3，3)．
解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得
，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \f(\r(3),2)x＋eq \r(3)；
(2)由函数的表达式知，函数的对称轴为x＝﹣eq \f(1,2)，故设点P的坐标为(eq \f(1,2)，m)．
∵C(1，0)，B(0，eq \r(3))，
∴BC2＝1＋3＝4，直线BC的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋eq \r(3)，
①以C为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时CP＝BC，
则(eq \f(1,2)＋1)2＋m2＝4，解得m＝±eq \f(\r(7),2)，
即此时点P的坐标为P1(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))或P2(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(\r(7),2))(舍去)；
②以B为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BP＝BC，
则(eq \f(1,2))2＋(m﹣eq \r(3))2＝4，解得m1＝eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15)或m2＝eq \r(3)﹣eq \f(1,2)eq \r(15)，
即此时点P的坐标为P3(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或P4(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)﹣eq \f(1,2)eq \r(15))(舍去)；
③线段BC的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时CP＝BP，
则(eq \f(1,2)＋1)2＋m2＝(eq \f(1,2))2＋(eq \r(3)﹣m)2，解得m＝eq \f(\r(3),6)，
即此时点P的坐标为P5(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))；
故点P的坐标为(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))或(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))；
当点P的坐标为P(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(7),2))时，
∵BC∥PQ，故直线PQ的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋t，
将点P的坐标代入上式得：eq \f(\r(7),2)＝﹣eq \r(3)×(﹣eq \f(1,2))＋t，解得t＝eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
故直线PQ的表达式为y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
则设点Q的坐标为(x，y)，其中y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)，
由菱形的性质知，BP的中点即为CQ的中点，
由中点公式得：eq \f(1,2)(x﹣eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)(0＋1)，解得x＝﹣eq \f(3,2)，
当x＝﹣eq \f(3,2)时，y＝﹣eq \r(3)x＋eq \f(\r(7),2)-eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)+eq \f(\r(7),2)，
故点Q的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \r(3)+eq \f(\r(7),2))，
同理可得，点P(﹣eq \f(1,2)，eq \r(3)＋eq \f(1,2)eq \r(15))或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),6))时，
对应的点Q的坐标分别为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)eq \r(15))或(eq \f(3,2)，eq \f(5,6)eq \r(3))，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \r(3)+eq \f(\r(7),2))或(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)eq \r(15))或(eq \f(3,2)，eq \f(5,6)eq \r(3))；
(3)如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时eq \f(1,2)BM＋ME最小．
理由：∵OC＝1，OB＝eq \r(3)，
∴tan∠CBO＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠CBO＝30°，
∴MH＝eq \f(1,2)BM，
∴eq \f(1,2)BM＋ME＝MH＋EM＝EH，
∴此时eq \f(1,2)BM＋ME最短，
在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝eq \f(3,2)，∠HCE＝60°，
∴EH＝eq \f(3,4)eq \r(3)，
∴eq \f(1,2)BM＋ME的最小值为eq \f(3,4)eq \r(3)．