2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十五(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十五

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；

（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(1，0)，B(﹣3，0)．

(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO+∠CDO)=4时，求点D的坐标；

(3)如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

4.如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．

（1）当m=﹣1，n=4时，k=   ，b=   ；

     当m=﹣2，n=3时，k=   ，b=   ；

（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；

（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：

     如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．

     ①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；

    ②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为        ；

      当四边形AOED为正方形时，m=       ，n=      ．

5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．

6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴、y轴分别交于A（-2,0），B（6,0），C（0,4），连接AC、BC.M为AC中点，N为BC中点.

（1）求抛物线解析式；

（2）将△OAC绕O点顺时针旋转一周，连接MN，在旋转过程中，则MN的最大值、最小值分别为多少？

（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，求此时M点的坐标.

7.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8.如图,已知抛物线经过点A(﹣2,0)，点B(﹣3,3)及原点O,顶点为C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；

(3)是否存在动点D在抛物线上,动点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边,以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在,请说明理由．

0.答案解析

1.解：

（1）当y=0时，x+3=0，解得x=﹣3，则A（﹣3，0），

当y=0时，y=x+3=3，则C（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x+1），

把C（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1，

所以抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）连结DE交x轴于H，如图1，

∵D，E两点的横坐标都为2，

∴DE⊥x轴，且DE被x轴平分，H（2，0）

∵四边形ADFE为平行四边形，∴AH=FH=2﹣（﹣3）=5，

∴OF=OH+HF=7，∴F点的坐标为（7，0）；

（3）如图2，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则Q（t，﹣t2﹣2t+3），

则PQ=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，

∵S△ACQ=S△AQP+S△CQP，

∴S△ACQ=•3•PQ=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，

当t=﹣时，△ACQ的面积有最大值，最大值为．

2.解：

3.解：

4.解：

5.解：

（1）由题意可知；A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．

设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．

则，解得：．

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）如图1所示：

∵四边形ABNM为菱形，∴OA=ON．∴点N的坐标为（0，﹣2）．

如图2所示：由勾股定理可知：AB==．

∵四边形ABMN为菱形，∴NA∥BM，AN=AB，

∴点N的坐标为（﹣，2）．如图3所示；

∵四边形ABMN为菱形，

∴NA∥BM，AN=AB．∴点N的坐标为（，2）．如图4所示：

∵四边形ABMN为菱形，∴NA∥BM，AN=NB．

设点N的坐标为（x，2）．由两点间的距离公式可知：

（x+1）2+22=x2．解得：x=﹣2.5．∴点N的坐标为（﹣2.5，2）．

∴点N的坐标为（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）．

（3）如图5所示：使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的

坐标为Q1（，），Q2（﹣，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，）．

说明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．

∵x=﹣=，∴P（，0）．∴OP=．

由题意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．∴∠OPA+∠CPQ1=90°．

∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠OAP=∠MPQ1．

在△AOP和△PMQ1中，，∴△AOP≌△PMQ1．

∴Q1M=0P=，PM=OA=2∴OM=OP+PM=+2=．∴点Q1的坐标为（，）．

6.解：（1）y=-x2+x+4；

（2）连接MO，以O为圆心，OM为半径作圆O，则M点始终在圆上运动，连接ON并延长，

与圆O分别交于M1，M2，则M1N为最小值，M2N为最大值.

OM=0.5AC=，ON=0.5BC=，所以M1N=-,M2N=+

（3）M2（，）.

7.解：

8.解：

(3)存在，D点坐标为(1，3)或(﹣3，3)．

当以A、O、D、E为顶点的平行四边形时，且AO为边，则有DE=AO=2，且DE∥AO，

∴D点只能在x轴上方，过点E作DE∥x轴，交抛物线与点D，如图2，

设D点横坐标为x，∵E点在抛物线对称轴上，∴E点横坐标为﹣1，∴DE=|x+1|=2，

解得x=1或x=﹣3，∴D点坐标为(1，3)或(﹣3，3)．