2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习04（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习04（含答案），共20页。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．
①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为eq \f(25,4)时，求P点的坐标；
②直接写出PH＋PQ的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
(1)求二次函数y=ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标.
如图1，一次函数y＝eq \r(3)x﹣4eq \r(3)的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣eq \r(3)x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=ax2﹣2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；
(3)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0).问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线y＝x2﹣(m＋3)x＋3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(不与点O重合)．
(1)若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
(2)点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n(1≤n≤4)个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连结BC、BE、CE．
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断△BCE的形状，并说明理由；
(3)如图2，以C为圆心，eq \r(2)为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋eq \f(1,2)EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC＋3PB的最小值．
如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
(1)写出点D的坐标______．
(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点B；
②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为______时，二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)、y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
\s 0 答案解析
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(﹣2，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(2,3)x＋4；
(2)①由(1)知：y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(2,3)x＋4，
当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∵PQ⊥BC，S四边形PCQB＝eq \f(25,4)，
∴eq \f(1,2)×5PQ＝eq \f(25,4)，∴PQ＝eq \f(5,2)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋4，
如图1，设P(t，2t＋4)，Q(s，﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4)，
过点P作PK∥x轴，过点Q作QK∥y轴，设PK交y轴于点T，PQ交y轴于点F，交BC于点G，则QK＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4﹣(2t＋4)＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t，PK＝s﹣t，
∵PQ⊥BC，PK⊥y轴，
∴∠CGF＝∠PTF＝90°，
∵∠CFG＝∠PET，
∴∠BCO＝∠QPK，
∵∠BOC＝∠QKP＝90°，
∴△BCO∽△QPK，
∴＝＝，即＝＝，
∴PK＝2，QK＝eq \f(3,2)，
∴，解得：，，
∵点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，
∴﹣2≤t＜0，
t＝﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19)，2t＋4＝2×(﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19))＋4＝eq \r(19)﹣2
∴P(﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19)，eq \r(19)﹣2)；
②由①得：P(t，2t＋4)，Q(s，﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4)，QK＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t，
PK＝s﹣t，△BCO∽△QPK，
∴＝＝，即＝＝，
∴PQ＝eq \f(5,3)QK＝eq \f(5,3)(﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t)＝﹣s2＋s﹣eq \f(10,3)t，
∵4QK＝3PK，即4(﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t)＝3(s﹣t)，
∴t＝﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s，
∴PQ＋PH＝﹣s2＋s﹣eq \f(10,3)t＋2t＋4
＝﹣s2＋s﹣eq \f(4,3)(﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s)＋4＝﹣eq \f(2,5)(s﹣eq \f(3,2))2＋4.9，
∵﹣2≤t＜0，
∴﹣2≤﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＜0，
令﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＝2，解得：s＝﹣2或eq \f(15,8)，
令﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＝0，解得：s＝0或﹣eq \f(1,8)，
∵点Q在第一象限，即0＜s＜3，
∴0＜s≤eq \f(15,8)，
∵﹣eq \f(2,5)＜0，
∴当s＝eq \f(3,2)，即t＝﹣1.3时，PQ＋PH取得最大值4.9，
当x＝0时，PQ＋PH取得最小值，∴4＜PQ＋PH≤4.9．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，
∴4a＋9=5，
∴a=﹣1，
∴y=﹣(x﹣2)2＋9=﹣x2＋4x＋5；
(2)当y=0时，﹣x2＋4x＋5=0，
∴x1=﹣1，x2=5，∴E(﹣1，0)，B(5，0).
设直线AB的解析式为y=mx＋n，
∵A(0，5)，B(5，0)，
∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x＋5.
设P(x，﹣x2＋4x＋5)，
∴D(x，﹣x＋5)，
∴PD=﹣x2＋4x＋5＋x﹣5=﹣x2＋5x.
∵AC∥x轴，
∴点A，C关于对称轴对称，AC=4.
∵AC⊥PD，
∴S四边形APCD=eq \f(1,2)×AC×PD=2(﹣x2＋5x)=﹣2x2＋10x，
∴当x=﹣eq \f(10,2×（－2）)=eq \f(5,2)时，
即点P的坐标为(eq \f(5,2)， SKIPIF 1 < 0 错误！未找到引用源。)时，S四边形APCD最大=eq \f(25,2)；
(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△OEA，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为3或1.
当横坐标1时，M点纵坐标为8，当横坐标为3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8).
∵A(0，5)，E(﹣1，0)，
∴直线AE的解析式为y=5x＋5.
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x＋b.
∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N(2，10＋b).
∵AE2=OA2＋OE2=26=MN2，
∴MN2=(2﹣1)2＋[8﹣(10＋b)]2=1＋(b＋2)2.
∵M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称.
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N.
∴1＋(b＋2)2=26，
∴b=3或b=﹣7，
∴10＋b=13或10＋b=3.
∴当M点的坐标为(1，8)时，N点坐标为(2，13)，
当M点的坐标为(3，8)时，N点坐标为(2，3).
解：(1)对直线y＝eq \r(3)x﹣4eq \r(3)，当x＝0时，y＝﹣4eq \r(3)；当y＝0时，x＝4，
∴C(0，﹣4eq \r(3))，B(4，0)，
将点B、C代入y＝ax2﹣eq \r(3)x＋c得：
，∴，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \r(3)x﹣4eq \r(3)；
(2)∵C(0，﹣4eq \r(3))，B(4，0)，
∴OC＝4eq \r(3)，OB＝4，
∴tan∠ABC＝eq \r(3)，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC＝2∠ABP，
∴∠ABP＝30°，
如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的横坐标为m，
∴BH＝4﹣m，PH＝|eq \f(\r(3),2)m2﹣eq \r(3)m﹣4eq \r(3)|，
∴tan∠ABP＝eq \f(\r(3),3)，
解得：m＝4(舍)或m＝﹣eq \f(8,3)或m＝﹣eq \f(4,3)，
∴m的值为﹣eq \f(8,3)或m＝﹣eq \f(4,3)；
(3)由y＝eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \r(3)x﹣4eq \r(3)可知对称轴为直线x＝1，
∵C(0，﹣4eq \r(3))，
∴D(2，﹣4eq \r(3))，
∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，设M(x，eq \r(3)x﹣4eq \r(3))，
①如图2，以CD为对角线时，MN垂直平分CD，
∴点M的横坐标为1，
当x＝1时，y＝eq \r(3)﹣4eq \r(3)＝﹣3eq \r(3)，
∴M1(1，﹣3eq \r(3))，
∴N1(1，﹣5eq \r(3))，
②以CM为对角线时，CD＝MD，
∵C(0，﹣4eq \r(3))，D(2，﹣4eq \r(3))，
∴22＝(x﹣2)2＋(eq \r(3)x)2，解得：x＝0(舍)或x＝1，
∴M2(1，﹣3eq \r(3))，
∴N2(﹣1，﹣3eq \r(3))，
③如备用图，以CN为对角线时，CM＝CD＝2，
∴22＝x2＋(eq \r(3)x)2，解得：x＝1或x＝﹣1，
∴M3(1，﹣3eq \r(3))或M4(﹣1，﹣5eq \r(3))，
∴N3(3，﹣3eq \r(3))，N4(1，﹣5eq \r(3))，
综上所述，存在，N1(1，﹣5eq \r(3))，N2(﹣1，﹣3eq \r(3))，N3(3，﹣3eq \r(3))．
解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x2+x+4；
(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1，eq \f(9,2))，
如图1，作点C关于x轴的对称点C′(0，﹣4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，

设直线C′N的解析式为y=kx＋b，把C′、N点坐标代入可得
，解得，
∴直线C′N的解析式为y=eq \f(17,2)x-4，令y=0，解得x=，
∴点K的坐标为(，0)；
(3)设点Q(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G，如图2，
由﹣eq \f(1,2)x2+x+4=0，得x1=﹣2，x2=4，
∴点B的坐标为(﹣2，0)，AB=6，BQ=m＋2，
又∵QE∥AC，∴△BQE≌△BAC，
∴，即，解得EG=；
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ==．
又∵﹣2≤m≤4，
∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)；
(4)存在．在△ODF中，
(ⅰ)若DO=DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD=OD=DF=2．
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为(2，2)．
由﹣eq \f(1,2)x2+x+4=2，得x1=1＋eq \r(5)，x2=1﹣eq \r(5)．
此时，点P的坐标为：P1(1＋eq \r(5)，2)或P2(1﹣eq \r(5)，2)；
(ⅱ)若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M．
由等腰三角形的性质得：OM=eq \f(1,2)OD=1，
∴AM=3．
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．∴F(1，3)．
由﹣eq \f(1,2)x2+x+4=3，得x1=1＋eq \r(3)，x2=1﹣eq \r(3)．
此时，点P的坐标为：P3(1＋eq \r(3)，3)或P4(1﹣eq \r(3)，3)；
(ⅲ)若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．∴AC=4eq \r(2)．
∴点O到AC的距离为2eq \r(2)．
而OF=OD=2＜2eq \r(2)，与OF≥2eq \r(2)矛盾．
∴在AC上不存在点使得OF=OD=2．
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
所求点P的坐标为：(1＋eq \r(5)，2)或(1﹣eq \r(5)，2)或(1＋eq \r(3)，3)或(1﹣eq \r(3)，3)．
解：(1)①令y＝0，则x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝m，
∴A(m，0)，B(3，0)，
令x＝0，则y＝3m，
∴C(0，3m)，
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下：
∵点O为△BCD的外心，
∴OB＝OC＝OD＝3，
设D(t，t2﹣2t﹣3)，
∴3＝，解得t＝，
∴D(，)或(，)；
(2)∵y＝x2﹣(m＋3)x＋3m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵点P的纵坐标为﹣9，
∴P(，﹣9)，
设直线PC的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝﹣6x＋3m，
∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x＋3m﹣n，
联立方程组，
整理得，x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，
∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，
∴n＝，
∵1≤n≤4，
∴1≤≤4，
∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，
∵A(m，0)，B(3，0)，
∴AB＝3﹣m，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×(3﹣m)×(﹣3m)＝eq \f(3,2)(m﹣eq \f(3,2))2﹣eq \f(27,8)，
当﹣1≤m≤1时，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42．
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为E(2，8)，
∴设该抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2＋8，
∵与y轴交于点C(0，6)，
∴把点C(0，6)代入得：a＝﹣eq \f(1,2)，
∴该抛物线的表达式为y＝-eq \f(1,2)x2＋2x＋6；
(2)△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣eq \f(1,2)(x﹣2)2＋8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)，
∴BC2＝62＋62＝72，CE2＝(8﹣6)2＋22＝8，BE2＝(6﹣2)2＋82＝80，
∴BE2＝BC2＋CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
(3)⊙C上存在点P，使得BP＋eq \f(1,2)EP的值最小且这个最小值为．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝eq \f(\r(2),2)(即CF等于半径的一半)，连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝eq \f(1,2)EP，∴BF＝BP＋eq \f(1,2)EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP＋eq \f(1,2)EP为最小值．
∵CF＝eq \f(1,4)CE，E(2，8)，
∴由比例性质，易得F(eq \f(1,2)，eq \f(13,2))，
∴BF＝＝．
解：(Ⅰ)∵对称轴是直线x＝2，
故x＝2＝﹣，解得b＝1，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3＝﹣eq \f(1,4)(x﹣2)2＋4，
∴抛物线的顶点为(2，4)；
(Ⅱ)对于y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3，令y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(6，0)、(0，3)，
设直线BC的表达式为y＝mx＋n，
则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋3，
设点M的坐标为(x，﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3)，则点D的坐标为(x，﹣eq \f(1,2)x＋3)，
当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝eq \f(1,2)(yM＋yD)，
即3＝eq \f(1,2)(﹣eq \f(1,4)x2＋x＋3﹣eq \f(1,2)x＋3)，解得x＝0(舍去)或2，
故点M的坐标为(2，4)；
(Ⅲ)在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G(0，)，
∵，∠GOP＝∠COP，
∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，
则2PC＋3PB＝3(PB＋eq \f(2,3)PC)＝3(BP＋PG)，
故当B、P、G三点共线时，2PC＋3PB最小，最小值为3BG，
则2PC＋3PB的最小值3BG＝2eq \r(85)．
解：(1)∵y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x＋8=(x﹣3)2﹣1，
∴顶点D的坐标为(3，﹣1)．
故答案为：(3，﹣1)．
(2)①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为(3，2)，
∴二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)与y2=ax2＋bx＋c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点B．
②∵二次函数y2=ax2＋bx＋c的顶点坐标P(3，2)，
且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x＋8中y1=±1，即x2﹣6x＋8=±1，
解得：x1=3﹣eq \r(2)，x2=3＋eq \r(2)，x3=3，
∴点R的坐标为(3﹣eq \r(2)，1)、(3＋eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
故答案为：(3﹣eq \r(2)，1)、(3＋eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，
直线l也是二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴．
∵二次函数y2=ax2＋bx＋c过点A、B，且顶点坐标为P(3，2)，
∴二次函数y2=﹣2(x﹣2)(x﹣4)．
设N(n，0)，则H(n，﹣2(n﹣2)(n﹣4))，Q(n，(n﹣2)(n﹣4))，
∴HN=2(n﹣2)(n﹣4)，QN=(n﹣2)(n﹣4)，
∴=2，即=．
∵△GHN∽△EHQ，∴．
∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．
设KG=t(t＞0)，则G的坐标为(3﹣t，m)，E的坐标为(3﹣2t，m)，
由题意得：，解得：或(舍去)．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．