所属成套资源:2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习6-10(含答案)
2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案)
展开这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案),共11页。
中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八
1.已知二次函数y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).
(1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B<A在B的左侧>,与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);
(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
2.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
3.如图,直线y1=﹣x+2与x轴,y轴分别交于B,C,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C,点A坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,连接CD,点P是直线BC上方抛物线上的一动点(不与B,C重合),当点P运动到何处时,四边形PCDB的面积最大?求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标;
(3)在抛物线上的对称轴上:是否存在一点M,使|MA﹣MC|的值最大;是否存在一点N,使△NCD是以CD为腰的等腰三角形?若存在,直接写出点M,点N的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=,
直线y=经过点C,交y轴于点G.
(1)点C、D的坐标;
(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E.
平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请明理由.
5.如图,已知抛物线y1=ax2(a≠0),图象经过点(4,4).F(0,1),直线y2=-1.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P(x0,y0)在抛物线上,连接PF,过P作直线y2的垂直段,A为垂足.求证:PF=PF.
(3)如图2,已知点B(2,5),E为抛物线上一动点,连接BE、EF.当△BEF的周长最小时,求此时点E坐标及△BEF周长的最小值.
6.已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;
(3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7.如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
8.如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
0.答案解析
1.解:(1)△=(2a+1)2-8a=4a2-4a+1=(2a-1)2,
因为a<0,所以(2a-1)2>0,
所以二次函数的图象与x轴有两个交点
(2)设二次函数图象与x轴交点坐标为(x1,0),(x2,0),
依题意有x1x2=,x1+x2=,
因为a为负整数,且和均为整数,所以a=-1,
此时二次函数解析式为y=-x2-x+2,
令y=0,即-x2-x+2=0,解得x1=1,x2=-2,
所以A点坐标为(-2,0),B点坐标为(1,0),
C点坐标为(0,2),D点坐标为(,)
(3)假设存在点P符合要求,如图,过点P1作P1E⊥y轴于点E,则∠ECP1=30°,
设点P(a,b),则,b=2-a,
因为点(a,b)在二次函数图象上,所以2-a=-a2-a+2,
解得a=-1,b=-1,所以P1的坐标为(-1,-1)
若点P位于C点上方时,过点C作CG∥x轴,过P2作P2F⊥CG交CG于点F,
则∠P2CF=30°,,
设点P2(a,b),则,3b-6=-a,b=2-a,
又点P2(a,b)在抛物线上,2-a=-a2-a+2,解得a=,b=,
此时点P2的坐标为(,)
综上,存在符合条件的点P满足条件,
此时点P的坐标为P1(-1,-1)和P2(,).
2.解:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,
在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,
∴A点坐标为(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,
∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6,
∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC解析式为y=x﹣3,
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),
∵P点在第四限,∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•(OH+HB)=PM•OB=PM,
∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,
∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,PMmax=,则S△PBC=×=,
此时P点坐标为(,﹣),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,
即当P点坐标为(,﹣)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;
(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则∠AGP=∠GNC+∠GCN,
当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,
∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,
在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),
∴ON=OA=1,∴N点坐标为(0,﹣1),
设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得,
∴直线m解析式为y=x﹣1,即存在满足条件的直线m,其解析式为y=x﹣1.
3.解:
(1)令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,即点B(4,0),C(0,2);
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式得,
,解得:,∴二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2;
(2)如图1,过点P作PN⊥x轴于点N,交BC于点M,过点C作CE⊥PN于E,
设M(a,﹣ a+2),P(a,﹣ a2+a+2),
∴PM=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,∴点D的坐标为:(,0),
∵S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB=BD•OC+PM•CE+PM•BN,
=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a)
=﹣a2+4a+(0≤x≤4)=﹣(a﹣2)2+,
∴a=2时,S四边形PCDB的面积最大=,∴﹣a2+a+2=﹣×22+×2+2=3,
∴点P坐标为:(2,3),
∴当点P运动到(2,3)时,四边形PCDB的面积最大,最大值为;
(3)如图2中,
∵A(﹣1,0),C(0,2),
∴直线AC的解析式为y=2x+2,直线AC与对称轴的交点即为点M,此时|MA﹣MC|的值最大,
∴M(,5).∵抛物线的对称轴是x=,∴OD=,
∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD==,
∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形,∴CQ1=DQ2=DQ3=CD.
如图2所示,作CE⊥对称轴于E,∴EQ1=ED=2,∴DQ1=4.
∴Q1(,4),Q2(,),Q3(,﹣).
4.解:
(1)令y=2,2=x﹣2,解得x=4,则OA=4﹣3=1,
∴C(4,2),D(1,2);
(2)由二次函数对称性得,顶点横坐标为=,
令x=,则y=×﹣2=,∴顶点坐标为(,),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣)2+,把点D(1,2)代入得,a=,
∴解析式为y=(x﹣)2+;
(3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m,则E(m, m﹣2)(m>0)
∴可设解析式为y=(x﹣m)2+m﹣2,
①当FG=EG时,FG=EG=2m,则F(0,2m﹣2),
代入解析式得: m2+m﹣2=2m﹣2,
得m=0(舍去),m=﹣,
此时所求的解析式为:y=(x﹣+)2+3﹣;
②当GE=EF时,FG=2m,则F(0,2m﹣2),
代入解析式得: m2+m﹣2=2m﹣2,解得m=0(舍去),m=,
此时所求的解析式为:y=(x﹣)2﹣;
③当FG=FE时,不存在.
5.解:(1)y=0.25x2;
(2)提示:将P(x0,y0)带入y1中,从而推导出x02=4y0.
(3)过B作BC⊥y2于C点,交抛物线于E点,交直线y2于C点,即此时△BEF周长最小,
从而算出E(2,1),所以BE+EF=BC+6.BF=,
所以△BEF周长最小值为6+.
6.解:
7.解:
(1)∵抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)
∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4,
∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5
对称轴:直线x=3
顶点坐标(3,4);
(2)∵直线l将线段AB分成1:3两部分,则l经过点(2,0)或(4,0),
∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5
∴k=或k=
(3)如图1
,
设P(x,﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点,
解方程组,解得或
不妨设M(0,﹣5)、N(4,3)
∴0<x<4
过P做PH⊥x轴交直线l于点H,则H(x,2x﹣5),
PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x,
S△PMN=PH•xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8
∵0<x<4
∴当x=2时,SPMN最大,最大值为8,此时P(2,3)
(4)如图2
,
A(1,0),B(5,0).由翻折,得D(3,﹣4),
①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大
②当y=kx﹣5过D点时,3k﹣5=﹣4,解得k=,
当y=kx﹣5过B点时,5k﹣5=0,解得k=1,
直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点,即<k<1,
当<k<1时,直线l与图象L2有四个交点.
8.解:
(1)令y=0代入y=x+4,
∴x=﹣3,A(﹣3,0),令x=0,代入y=x+4,
∴y=4,∴C(0,4),设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,4)代入上式得,a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+4,
(2)如图①,设点M(a,﹣a2﹣a+4)其中﹣3<a<0
∵B(1,0),C(0,4),∴OB=1,OC=4∴S△BOC=OB•OC=2,
过点M作MD⊥x轴于点D,∴MD=﹣a2﹣a+4,AD=a+3,OD=﹣a,
∴S四边形MAOC=AD•MD+(MD+OC)•OD=AD•MD+OD•MD+OD•OC
=+=+
=×3(﹣a2﹣a+4)+×4×(﹣a)=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC=(﹣2a2﹣6a+6)﹣2=﹣2a2﹣6a+4=﹣2(a+)2+
∴当a=﹣时,S有最大值,最大值为此时,M(﹣,5);
(3)如图②,由题意知:M′(),B′(﹣1,0),A′(3,0)∴AB′=2
设直线A′C的解析式为:y=kx+b,把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,
得:,∴∴y=﹣x+4,令x=代入y=﹣x+4,∴y=2∴
由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=
设P(m,0)当m<3时,此时点P在A′的左边,∴∠DA′P=∠CAB′,
当=时,△DA′P∽△CAB′,此时, =(3﹣m),解得:m=2,∴P(2,0)
当=时,△DA′P∽△B′AC,此时, =(3﹣m)m=﹣,∴P(﹣,0)
当m>3时,此时,点P在A′右边,由于∠CB′O≠∠DA′E,∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似,
相关试卷
这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十五(含答案),共11页。试卷主要包含了∴∠OPA+∠CPQ1=90°等内容,欢迎下载使用。
这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十一(含答案),共12页。试卷主要包含了5.,5,0等内容,欢迎下载使用。
这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四(含答案),共11页。试卷主要包含了5时“美点”的个数.,5+1,2,0),CE=1等内容,欢迎下载使用。