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    2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案)

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    2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案)

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    这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案),共11页。


    中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八

    1.已知二次函数y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).

    (1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;

    (2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B<A在B的左侧>,与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);

    (3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使PCA=75°?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

    2.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3)

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.

    (3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

    3.如图,直线y1=x+2与x轴,y轴分别交于B,C,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A,B,C,点A坐标为(1,0).

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,连接CD,点P是直线BC上方抛物线上的一动点(不与B,C重合),当点P运动到何处时,四边形PCDB的面积最大?求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标;

    (3)在抛物线上的对称轴上:是否存在一点M,使|MAMC|的值最大;是否存在一点N,使NCD是以CD为腰的等腰三角形?若存在,直接写出点M,点N的坐标;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

    4.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=

    直线y=经过点C,交y轴于点G.

    (1)点C、D的坐标;

    (2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式;

    (3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E.

    平移后是否存在这样的抛物线,使EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请明理由.

     

     

     

     

    5.如图,已知抛物线y1=ax2(a0),图象经过点(4,4).F(0,1),直线y2=-1.

    (1)求抛物线解析式;

    (2)若点P(x0,y0)在抛物线上,连接PF,过P作直线y2的垂直段,A为垂足.求证:PF=PF.

    (3)如图2,已知点B(2,5),E为抛物线上一动点,连接BE、EF.当BEF的周长最小时,求此时点E坐标及BEF周长的最小值.

      

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    6.已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

    (1)求A、B的坐标;

    (2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;

    (3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

    7.如图,抛物线L1:y=x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx5.

    (1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.

    (2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;

    (3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.

    (4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2

    直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;

    直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.

     

     

     

     

     

    8.如图,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).

    (1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;

    (2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和BOC的面积分别为S四边形MAOC和SBOC,记S=S四边形MAOCSBOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;

    (3)如图,将抛物线F1沿y轴翻折并复制得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A、B、M,过点M作MEx轴于点E,交直线AC于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     


    0.答案解析

    1.解:(1)=(2a+1)28a=4a24a+1=(2a-1)2

    因为a<0,所以(2a-1)2>0,

    所以二次函数的图象与x轴有两个交点

    (2)设二次函数图象与x轴交点坐标为(x1,0),(x2,0),

    依题意有x1x2=,x1+x2=

    因为a为负整数,且均为整数,所以a=-1,

    此时二次函数解析式为y=-x2-x+2,

    令y=0,即-x2-x+2=0,解得x1=1,x2=-2,

    所以A点坐标为(-2,0),B点坐标为(1,0),

    C点坐标为(0,2),D点坐标为(

    (3)假设存在点P符合要求,如图,过点P1作P1Ey轴于点E,则ECP1=30°

    设点P(a,b),则,b=2-a,

    因为点(a,b)在二次函数图象上,所以2-a=-a2-a+2,

    解得a=-1,b=-1,所以P1的坐标为(-1,-1)

    若点P位于C点上方时,过点C作CGx轴,过P2作P2FCG交CG于点F,

    P2CF=30°

    设点P2(a,b),则,3b-6=-a,b=2-a,

    又点P2(a,b)在抛物线上,2-a=-a2-a+2,解得a=,b=

    此时点P2的坐标为(

    综上,存在符合条件的点P满足条件,

    此时点P的坐标为P1-1,-1)和P2).

     

    2.解:

    (1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得

    抛物线解析式为y=x22x3;

    (2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,

     

    在y=x22x3中,令y=0可得0=x22x3,解得x=1或x=3,

    A点坐标为(1,0),AB=31)=4,且OC=3,

    SABC=ABOC=×4×3=6,

    B(3,0),C(0,3),直线BC解析式为y=x3,

    设P点坐标为(x,x22x3),则M点坐标为(x,x3),

    P点在第四限,PM=x3(x22x3)=x2+3x,

    SPBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,

    当PM有最大值时,PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,

    PM=x2+3x=(x2+当x=时,PMmax=,则SPBC=×=

    此时P点坐标为(),S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=

    即当P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为

    (3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则AGP=GNC+GCN,

    AGB和NGC相似时,必有AGB=CGB,又AGB+CGB=180°

    ∴∠AGB=CGB=90°∴∠ACO=OBN,

    在RtAON和RtNOB中RtAONRtNOB(ASA),

    ON=OA=1,N点坐标为(0,1),

    设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得

    直线m解析式为y=x1,即存在满足条件的直线m,其解析式为y=x1.

     

    3.解:

    (1)令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,即点B(4,0),C(0,2);

    设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式得,

    ,解得:二次函数的关系式为y=x2+x+2;

    (2)如图1,过点P作PNx轴于点N,交BC于点M,过点C作CEPN于E,

    设M(a, a+2),P(a, a2+a+2),

    PM=a2+a+2a+2)=a2+2a(0x4).

    y=x2+x+2=(x2+点D的坐标为:(,0),

    S四边形PCDB=SBCD+SCPM+SPMB=BDOC+PMCE+PMBN,

    =+a(a2+2a)+(4a)(a2+2a

    =a2+4a+(0x4)=(a2)2+

    a=2时,S四边形PCDB的面积最大=∴﹣a2+a+2=×22+×2+2=3,

    点P坐标为:(2,3),

    当点P运动到(2,3)时,四边形PCDB的面积最大,最大值为

    (3)如图2中,

    A(1,0),C(0,2),

    直线AC的解析式为y=2x+2,直线AC与对称轴的交点即为点M,此时|MAMC|的值最大,

    M(,5).抛物线的对称轴是x=OD=

    C(0,2),OC=2.在RtOCD中,由勾股定理,得CD==

    ∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形,CQ1=DQ2=DQ3=CD.

    如图2所示,作CE对称轴于E,EQ1=ED=2,DQ1=4.

    Q1,4),Q2),Q3).

     

    4.解:

    (1)令y=2,2=x﹣2,解得x=4,则OA=4﹣3=1,

    C(4,2),D(1,2);

    (2)由二次函数对称性得,顶点横坐标为=

    令x=,则y=×﹣2=顶点坐标为(),

    设抛物线解析式为y=a(x﹣)2+,把点D(1,2)代入得,a=

    解析式为y=(x﹣)2+

    (3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m,则E(m, m﹣2)(m0)

    可设解析式为y=(x﹣m)2+m﹣2

    ①当FG=EG时,FG=EG=2m,则F(0,2m﹣2),

    代入解析式得: m2+m﹣2=2m﹣2

    得m=0(舍去),m=

    此时所求的解析式为:y=(x﹣+)2+3﹣

    ②当GE=EF时,FG=2m,则F(0,2m﹣2),

    代入解析式得: m2+m﹣2=2m﹣2,解得m=0(舍去),m=

    此时所求的解析式为:y=(x﹣)2

    ③当FG=FE时,不存在.

     

     

    5.解:(1)y=0.25x2

    (2)提示:将P(x0,y0)带入y1中,从而推导出x02=4y0.

    (3)过B作BCy2于C点,交抛物线于E点,交直线y2于C点,即此时BEF周长最小,

    从而算出E(2,1),所以BE+EF=BC+6.BF=

    所以BEF周长最小值为6+.

     

     

    6.解:

     

    7.解:

    (1)抛物线L1:y=x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)

    y=(x1)(x5)=(x3)2+4,

    抛物线L1的解析式为y=x2+6x5

    对称轴:直线x=3

    顶点坐标(3,4);

    (2)直线l将线段AB分成1:3两部分,则l经过点(2,0)或(4,0),

    0=2k5或0=4 k5

    k=或k=

    (3)如图1

    设P(x,x2+6x5)是抛物线位于直线上方的一点,

    解方程组,解得

    不妨设M(0,5)、N(4,3)

    0<x<4

    过P做PHx轴交直线l于点H,则H(x,2x5),

    PH=x2+6x5(2x5)=x2+4x,

    SPMN=PHxN=(x2+4x)×4=2(x2)2+8

    0<x<4

    当x=2时,SPMN最大,最大值为8,此时P(2,3)

    (4)如图2

    A(1,0),B(5,0).由翻折,得D(3,4),

    当x1或3x5时y随x的增大而增大

    当y=kx5过D点时,3k5=4,解得k=

    当y=kx5过B点时,5k5=0,解得k=1,

    直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点,即<k<1,

    <k<1时,直线l与图象L2有四个交点.

     

     

    8.解:

    (1)令y=0代入y=x+4,

    x=3,A(3,0),令x=0,代入y=x+4,

    y=4,C(0,4),设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x1),

    把C(0,4)代入上式得,a=

    y=x2x+4,

    (2)如图,设点M(a,a2a+4)其中3<a<0

    B(1,0),C(0,4),OB=1,OC=4SBOC=OBOC=2,

    过点M作MDx轴于点D,MD=a2a+4,AD=a+3,OD=a,

    S四边形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD=ADMD+ODMD+ODOC

    =+=+

    =×3(a2a+4)+×4×(a)=2a26a+6

    S=S四边形MAOCSBOC=(2a26a+6)2=2a26a+4=2(a+2+

    当a=时,S有最大值,最大值为此时,M(,5);

    (3)如图,由题意知:M),B1,0),A(3,0)AB=2

    设直线AC的解析式为:y=kx+b,把A(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,

    得:y=x+4,令x=代入y=x+4,y=2

    由勾股定理分别可求得:AC=5,DA=

    设P(m,0)当m<3时,此时点P在A的左边,∴∠DAP=CAB

    =时,DAP∽△CAB,此时, =(3m),解得:m=2,P(2,0)

    =时,DAP∽△BAC,此时, =(3m)m=P(,0)

    当m>3时,此时,点P在A右边,由于CBO≠∠DAE,∴∠ABC≠∠DAP

    此情况,DAP与BAC不能相似,

     

     

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