2022-2023学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2022-2023学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−3A. {−3,−2,−1,0}B. {−2,−1,0}C. (−3,1)D. (−5,7)
2.若z=2−7i4−i，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l⊄β，则直线l与平面β的位置关系为( )
A. 平行B. 垂直C. 相交且不垂直D. 以上情况都有可能
4.已知a=51.2,b=lg0.26,c=21.2，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a
5.设x>0，则函数y=x2+x+25x的最小值为( )
A. 6B. 7C. 11D. 12
6.已知角α的终边经过点P(1,−5)，则tan(20234π−2α)=( )
A. 177B. 137C. −137D. −177
7.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数的解析式为( )
A. y=x2+1x2
B. y=2x+12x−1
C. y=x2+1|x|
D. y= x+1x
8.我国的玉文化发源于新石器时代早期，绵延至今，贯穿了整个中华文明史，是中国传统文化的重要组成部分.如图是1986年在河南平顶山出土的西周(公元前1046−前771年)青玉琮，高2.6cm，边长5cm，内径3.8cm，体呈外方内圆状，中空，通体素面，则该青玉琮的体积约为( )
A. 33.6cm3B. 34.6cm3C. 35.5cm3D. 36.5cm3
9.已知△ABC的重心为点G，点E为AC上一点，且满足|AC|=4|AE|，记AB=a,AC=b，则EG=( )
A. 13a+112bB. 13a+512bC. 12a+112bD. 12a+29b
10.已知0A. 1054B. 833C. 673D. 332
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
11.已知向量a=(5,λ),b=(λ−2,3)，则下列命题中真命题为( )
A. 若a//b，则λ=−3或5
B. 若a⊥b，则λ=45
C. 若λ=1，则|a+b|=4 2
D. 若λ=2，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为(0,2)
12.若事件A，B，C满足P(A)=0.6，P(B−)=0.2，P(C)=0.7，P(A−B)=0.32，P(AC−)=0.18，P(B−C)=0.14，P(ABC)=0.436，则( )
A. A与B相互独立B. B与C不相互独立C. A与C相互独立D. A，B，C相互独立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a，b∈R，且−514.在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，10，则这组数据的平均数为______，第75百分位数是______.
15.若函数f(x)满足f(x)+f(λx+λ)=λ，则称函数f(x)为“λ类期函数”.已知函数g(x)为“−2类期函数”，且曲线y=g(x)恒过点P，则点P的坐标为______.
16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F，G分别为AD，AB，PC的中点，点H在棱PC上，且BH//平面EFG，则PHHC=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(2x+π12).
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈[π8,7π12]时，求f(x)的值域.
18.(本小题12分)
某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组.为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如表：
(1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；
(2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率.
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G分别在棱A1B1，A1C1，CC1上，A1EEB1=A1FFC1=CGGC1，AA1=AB=2.
(1)证明：平面A1BC//平面EFG；
(2)求点A到平面A1BC的距离.
20.(本小题12分)
从以下三个条件中任选一个补充在下面问题中，并完成解答.
①a+csinB=bcsC；② 2a= 2bcsC−c；③c+2bcsBsinC=0.
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____.
(1)求B；
(2)若b= 5,a=1，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+2−x.
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并证明；
(2)函数g(x)=f(x)+a,x>0,x2+2ax+1,x≤0.若g(x)没有零点，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
如图①，在平行四边形ABCD中，B=30∘,AB=2,BC= 3，将△ABC沿AC折起，使点B到达点P处，如图②，二面角P−AC−D的大小为80∘，E，F分别为PA，CD的中点.
(1)证明：AC⊥EF；
(2)求直线EF与平面PAC所成角的大小.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，N={x∈Z|−5则M∩N={−2,−1,0}.
故选：B.
直接根据交集的运算求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=2−7i4−i=(2−7i)(4+i)(4−i)(4+i)=1517−2617i，在复平面内z对应的点为(1517,−2617)，在第四象限．
故选：D.
先根据复数的除法求出复数值，然后根据复数的几何意义判断．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：如图，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设平面AA1D1D为平面α，
平面ABCD为平面β，
当l为A1D1时，直线l与平面β的位置关系为平行；
当l为AA1时，直线l与平面β的位置关系为垂直；
当l为A1D时，直线l与平面β的位置关系为交且不垂直．
故选：D.
由题意画出图形，举例分析得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为y=x1.2在(0,+∞)上递增，且5>2>1，
所以51.2>21.2>11.2=1，
所以a>c>1，
因为y=lg0.2x在(0,+∞)上递减，且6>1，
所以lg0.26所以a>c>b.
故选：B.
根据幂函数的性质和对数函数的性质比较．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵x>0，∴y=x2+x+25x=x+25x+1≥2 x⋅25x+1=11，
当且仅当x=25x，即x=5时，等号成立，
所以函数y=x2+x+25x的最小值为11.
故选：C.
先化简为y=x2+x+25x=x+25x+1，再利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵角α的终边经过点P(1,−5)，
∴tanα=−51=−5.
∴tan2α=2tanα1−tan2α=512.
tan(20234π−2α)
=tan(20244π−14π−2α)
=tan(−14π−2α)
=−tan(14π+2α)
=−1+tan2α1−tan2α
=−1+5121−512
=−177.
故选：D.
根据α终边上的点求出tanα，利用正切的诱导公式、和差角公式、二倍角公式化简tan(20234π−2α)，代入tanα的值即可得到答案．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：对于选项A：y=x2+1x2是偶函数，图象关于y轴对称；x2+1x2≥2 x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时，等号成立，即函数在x=±1时取得最小值2.以上性质均与图象相符，故选项A正确；
对于选项B：令f(x)=2x+12x−1，易知f(−x)≠f(x)且f(−x)+f(x)≠0，故该函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象不会关于y轴对称，不符合图象，故选项B不正确；
对于选项C：当x>0时，令f(x)=x2+1|x|=x2+1x，
∀x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x_1^2,
当0f(x2)；
当312∴f(x)在(0,312)单调递减，在(312,+∞)单调递增，
所以f(x)在(312,1)上单调递增，所以f(x)min=f(312)即函数图象最低点函数值应该小于2，这与图象不符，故选项C不正确；
对于选项D：y= x+1x的定义域为(0,+∞)，不符合图象，故选项D不正确；
综上，仅A选项函数图象符合题意．
故选：A.
利用函数的奇偶性、单调性、定义域、特殊位置的函数值即可逐项判断求解．
本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，
∴V=52×2.6−π(3.82)2×2.6≈35.5(cm3).
故选：C.
由题意得该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，根据柱体的体积公式计算，即可得出答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意△ABC的重心为点G，点E为AC上一点，且满足|AC|=4|AE|，
则AE=14AC，
设D为BC的中点，则AD=12(AB+AC),AG=23AD=13(AB+AC)，
故EG=AG−AE=13(AB+AC)−14AC=13AB+112AC=13a+112b.
故选：A.
由题意推出AE=14AC以及AG=13(AB+AC)，根据向量的线性运算，即可求得答案．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由题意，lg3a2lg3a=lg3(81 3)，根据对数的性质可得2lg3a⋅lg3a=lg334⋅312=lg3392=92，
即(lg3a)2=94，
注意到0故lg3a=−32，
解得a=3−32，
故1a2+lg9a=13−3+lg93−32=27+ln3−32ln9=27+−32ln32ln3=27−34=1054.
故选：A.
两边同时取以3为底的对数，求出a后，结合对数的运算性质进行求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对A，因为a//b，所以5×3−λ(λ−2)=0，
解得λ=−3或λ=5，故A正确；
对B，因为a⊥b，所以5(λ−2)+3λ=0，解得λ=54，故B错；
对C，λ=1时，a=(5,1),b=(−1,3)，则a+b=(4,4)，
所以|a+b|= 42+42=4 2，故C正确；
对D，λ=2时，a=(5,2),b=(0,3)，
则向量a在向量b上的投影为|a|cs=a⋅b|b|=63=2，
所以向量a在向量b上的投影向量的坐标为(0,2)，故D正确．
故选：ACD.
利用平面向量的坐标表示对每个选项一一分析．
本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，根据向量的坐标求向量的长度的方法，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由题可知P(A)=0.6，P(A−)=0.4，P(B)=0.8，P(B−)=0.2，P(C)=0.7，P(C−)=0.3，
因为P(A−B)=0.32=P(A−)P(B)，所以A−和B相互独立，所以A和B相互独立，故选项A正确；
因为P(AC−)=0.18=P(A)P(C−)，所以A和C−相互独立，所以A和C相互独立，故选项C正确；
因为P(B−C)=0.14=P(B−)P(C)，所以B−和C相互独立，所以B和C相互独立，故选项B错误；
因为P(A)P(B)P(C)=0.6×0.8×0.7=0.336≠P(ABC)=0.436，故A，B，C不相互独立，故选项D错误．
故选：AC.
根据相互独立事件的概率计算方法即可判断．
本题考查相互独立事件的概率相关知识，属于基础题．
13.【答案】(−19,5)
【解析】解：因为a，b∈R，且−5所以−15<3a<6，−4<−b<−1，
所以−19<3a−b<5，
所以3a−b的取值范围是(−19,5).
故答案为：(−19,5).
利用不等式的基本性质求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
14.【答案】8 10
【解析】解：把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17，
平均数为2+5+6+7+9+10+177=8，
这组数据共7个，7×75%=5.25，则这组数据的第75百分位数是第6个数10.
故答案为：8，10.
把该组数据按从小到大的顺序排列，利用平均数公式，百分位数定义即可求解．
本题主要考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．
15.【答案】(−23,−1)
【解析】解：由题可知，g(x)+g(−2x−2)=−2，
令x=−2x−2得，x=−23，
故g(−23)+g(−23)=−2，g(−23)=−1，
所以曲线y=g(x)恒过点P(−23,−1).
故答案为：(−23,−1).
根据题意得g(x)+g(−2x−2)=−2，令x=−2x−2即可求出定点．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：连接AC、BD，设AC∩BD=O、EF∩AC=M，连接MG，
过点O作OH//MG交PC于点H，连接NH、DH，
因为E、F分别为AD、AB的中点，所以EF//BD，EF⊂平面EFG，BD⊄平面EFG，
所以BD//平面EFG.
同理可得OH//平面EFG，OH∩BD=O，OH，BD⊂平面BDH，
所以平面BDH//平面EFG，BH⊂平面BDH，所以BH//平面EFG，
因为E、F分别为AD、AB的中点，则M为AO的中点，
又O为AC的中点，所以MO=12AO=14AC，OC=12AC，
所以MOOC=12，又OH//MG，所以MOOC=GHHC=12，
所以GH=13GC，又G为PC的中点，
所以PH=PG+GH=12PC+13GC=12PC+13×12PC=23PC，
则HC=PC−PH=13PC，
所以PHHC=2.
连接AC、BD，设AC∩BD=O、EF∩AC=M，连接MG，过点O作OH//MG交PC于点H，连接NH、DH，即可证明平面BDH//平面EFG，从而得到BH//平面EFG，再根据线段平行得到线段的关系，即可解答．
本题考查直线与平面平行，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
因为y=sinx的单调递增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，
令2x+π12∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，
得2x∈[−7π12+2kπ,5π12+2kπ],k∈Z，
所以x∈[−7π24+kπ,5π24+kπ],k∈Z；
故f(x)的单调递增区间为[−7π24+kπ,5π24+kπ],k∈Z，
(2)因为x∈[π8,7π12]，所以2x∈[π4,7π6]，
所以2x+π12∈[π3,5π4]，
所以sin(2x+π12)∈[− 22,1]，
故当x∈[π8,7π12]时，f(x)的值域为[− 22,1].
【解析】(1)利用周期公式求得T=π，令2x+π12∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，求解得增区间；
(2)由x∈[π8,7π12]求得2x+π12∈[π3,5π4]，再利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数的图象性质以及周期性，单调性，考查了学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为2020+30=25；
女生中喜欢养殖小动物甲的频率为4040+10=45，
所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为25,45.
(2)抽取的这6人中男生人数为6×2020+40=2，分别记为A，B，
女生人数为6×4020+40=4，分别记为a，b，c，d.
设抽取的2人分别为m，n，用数组(m,n)表示这个实验的一个样本点，
因此该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),
(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}共15个样本点．
设事件E=“抽取的2人恰好都是女生”，
则E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}，共6个样本点．
因为样本空间Ω中每一个样本点出现的可能性相等，
所以该试验是古典概型，因此P(E)=615=25.
【解析】(1)根据题意由频率计算概率即可得解；
(2)写出基本事件空间，根据古典概型求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：因为A1EEB1=A1FFC1，所以EF//B1C1.
又B1C1//BC，所以EF//BC.
又EF⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以EF//平面A1BC.
因为A1FFC1=CGGC1，所以FG//A1C.
又FG⊄平面A1BC，A1C⊂平面A1BC，
所以FG//平面A1BC.
因为EF∩FG=F，EF，FG⊂平面EFG，
所以平面A1BC//平面EFG.
(2)解：法一：如图，
取BC的中点O，连接AO，A1O，因为AB=AC，所以AO⊥BC.
又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.
因为AO∩AA1=A.AO，AA1⊂平面OAA1，所以BC⊥平面OAA1.
又BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面OAA1.
过点A作AH⊥A1O，垂足为H，则AH⊥平面A1BC，
所以AH的长度为点A到平面A1BC的距离．
在Rt△OAA1中，AO= 3,A1O= AA12+AO2= 7，
所以AH=AA1⋅AOA1O=2 3 7=2 217，
即点A到平面A1BC的距离为2 217.
法二：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，所以A1B=A1C= 22+22=2 2.
如图，
取BC的中点O，连接A1O，因为A1B=A1C，所以A1O⊥BC，
所以A1O= A1C2−OC2= 7，
所以△A1BC的面积S△A1BC=12BC⋅A1O=12×2× 7= 7.
设点A到平面A1BC的距离为h，
由V三棱锥A−A1BC=V三棱锥A1−ABC，得13S△A1BC⋅h=13S△ABC⋅AA1，
所以h=S△ABC⋅AA1S△A1BC=12× 32×22×2 7=2 217，
即点A到平面A1BC的距离为2 217.
【解析】(1)根据A1EEB1=A1FFC1，得到EF//B1C1，利用线面平行的判定定理得到EF//平面A1BC，同理得到FG//平面A1BC，再利用面面平行的判定定理证明；
(2)法一：取BC的中点O，连接AO，A1O，过点A作AH⊥A1O，垂足为H，则AH⊥平面A1BC，从而AH的长度为点A到平面A1BC的距离，然后利用等面积法，由AH=AA1⋅AOA1O求解；法二：取BC的中点O，连接A1O，利用等体积法，由V三棱锥A−A1BC=V三棱锥A1−ABC，即13S△A1BC⋅h=13S△ABC⋅AA1求解．
本题主要考查平面与平面平行，考查转化能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)若选①，由已知及正弦定理得sinA+sinCsinB=sinBcsC，
所以sin(B+C)+sinCsinB=sinBcsC，
所以sinBcsC+csBsinC+sinCsinB=sinBcsC，
即csBsinC+sinCsinB=0.
又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以csB+sinB=0，即tanB=−1.
因为B∈(0,π)，所以B=3π4.
若选②，由已知及正弦定理得 2sinA= 2sinBcsC−sinC，
所以 2sin(B+C)= 2sinBcsC−sinC.
所以 2sinBcsC+ 2csBsinC= 2sinBcsC−sinC，
所以 2csBsinC=−sinC.
又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以 2csB=−1，即csB=− 22.
因为B∈(0,π)，所以B=3π4.
若选③，由已知及正弦定理得sinC+2sinBcsBsinC=0，
因为C∈(0,π)，所以sinC>0，所以1+2sinBcsB=0，
所以sin2B=−1，所以2B=3π2+2kπ,k∈Z，
因为B∈(0,π)，所以B=3π4+kπ,k∈Z.
又B∈(0,π)，所以B=3π4.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=1+c2−2ccs3π4=1+c2+ 2c=( 5)2，
即c2+ 2c−4=0，解得c= 2(c=−2 2舍去)，
所以△ABC的面积S=12acsin3π4=12×1× 2× 22=12.
【解析】(1)利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式、二倍角公式求B即可；
(2)利用余弦定理得到c= 2，然后利用三角形面积公式求面积即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)可知f(x)在(0,+∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−2x2+2−x1−2−x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(1−12x1+2x2).
因为0因为x1，x2∈(0,+∞)，所以2x1+x2>1，0<12x1+x2<1，所以1−12x1+x2>0，
所以f(x1)(2)由题意得g(x)=2x+2−x+a,x>0,x2+2ax+1,x≤0.
当x>0时，g(x)=2x+2−x+a，
由(1)可知g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>a+2.
由题意得a+2≥0，解得a≥−2；
当x≤0时，g(x)=x2+2ax+1，由题意可知g(x)在(−∞,0]上没有零点．
又g(0)=1，所以只需Δ=4a2−4<0或Δ=4a2−4≥0−a>0，解得a<1.
综上，−2≤a<1，即实数a的取值范围是[−2,1).
【解析】(1)利用函数的单调性的定义证明；
(2)由(1)得到g(x)=2x+2−x+a,x>0x2+2ax+1,x≤0，再分x>0和 x≤0，利用函数的单调性求解．
本题主要考查分层函数的应用，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs30∘=1，
所以AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，故PC⊥AC.
又BC//AD，所以AC⊥AD，
如图，取AC的中点O，连接OE，OF，
因为E，F分别为PA，CD的中点，所以OE//PC，OF//AD，
所以OE⊥AC，OF⊥AC.
又OE∩OF=O，OE，OF⊂平面OEF，
所以AC⊥平面OEF，
又EF⊂平面OEF，所以AC⊥EF.
(2)解：由(1)知OE⊥AC，OF⊥AC，
所以∠EOF为二面角P−AC−D的平面角，即∠EOF=80∘.
由题意得OE=12PC= 32,OF=12AD= 32，
所以OE=OF，即△EOF为等腰三角形，
所以∠OEF=180∘−80∘2=50∘.
如图，过点F作FG⊥OE，垂足为点G，
由(1)知AC⊥平面OEF，又FG⊂平面OEF，所以AC⊥FG.
又AC∩OE=O，AC，OE⊂平面PAC，
所以FG⊥平面PAC，
所以∠OEF为直线EF与平面PAC所成的角．
所以直线EF与平面PAC所成的角为50∘.
【解析】(1)取AC的中点O，连接OE，OF，证明AC⊥平面OEF即可；
(2)过点F作FG⊥OE，垂足为点G，证明FG⊥平面PAC，可得∠OEF为直线EF与平面PAC所成的角，根据几何关系即可求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．性别
养殖小动物甲
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