2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x|0A. {x|02.函数f(x)=2x+3x−7的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.函数f(x)=x⋅sinxcsx+2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.若a=20.5,b=lgπ3,c=lg2sin6π7，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. b>c>a
5.已知角α终边经过点P(−1,−2)，则tan2α=( )
A. 34B. 43C. −34D. −43
6.已知定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：当x<0时，f(x)>0，且对任意的x，y∈(−1,1)，均有f(x+y)=f(x)+f(y).若f(lgx)A. (1,10)B. (1, 10)C. ( 10,10)D. ( 1010,1)
7.已知α，β∈(0,π)，且csα= 55,sin(α+β)=− 210.则cs(3α+β)=( )
A. − 22B. −17 250C. 22D. 17 250
8.已知函数f(x)=|x+1|−m,x≤0|lg3x|−m,x>0(其中m∈R)，若关于x的方程f(x)=0有四个不等的实数根，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则3x3(x1+x2)+1x32x4的取值范围为( )
A. (−5,+∞)B. [−1,5)C. (−∞,1]D. (−5,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列选项中正确的是( )
A. 705∘与−15∘是终边相同的角
B. 若一扇形的圆心角为15∘，半径为3cm，则该扇形面积为34πcm2
C. 若角α是第一象限角，则角α2为第一或第二象限角
D. 函数y=sin2x的图象可由函数y=cs2x的图象向右平移π4之后得到
10.已知f(x)，g(x)是定义在R上奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=ex，e≈2.71828，下列选项正确的是( )
A. g(x)的最小值为1
B. f(2x)=2f(x)g(x)
C. [g(x)]2−[f(x)]2=1
D. ∀x∈R，恒有f(2x−1)4
11.已知正数a，b满足a≥1a+2b,b≥2a+1b，则( )
A. ab≥3B. (a+b)2≥12C. 1a+1b≥2 33D. 1a+1b<2
12.设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下列四个选项中正确的是( )
A. f(x)在(0,2π)取最大值时，对应的x有且仅有3个
B. f(x)在(0,2π)取最小值时，对应的x有且仅有2个
C. f(x)在(0,π12)单调递增
D. ω的取值范围是[198,238)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y= tanx− 3的定义域______.
14.学校举办运动会时，高二(8)班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有______人.
15.设x>0，y>0，且x24+y23=1，则x 1+y2的最大值为______.
16.函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知函数f(x)=x3−3x2图像成中心对称，则：f(−2022)+f(−2021)+⋯+f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)+f(2024)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值.
(1)sin585∘tan(−315∘)+cs(−480∘)；
(2)(lg2)2+lg2⋅lg50−lg11004⋅lg225.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及对称中心；
(2)先将f(x)的图象横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[π12,π4]上的单调减区间.
19.(本小题12分)
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=lg2(1−x).
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若对任意的x∈[1,+∞),都有不等式f(x2+m)+f(2x2−mx+1)<0恒成立，求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足3≤t≤18，t∈N*，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤18时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当3≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(11−t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为g(t).
(1)求g(t)的解析式；
(2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Q(t)=6g(t)−2400t−360，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2(ωx+π12)+cs2(ωx+π4)−1(ω>0)，相邻两对称轴之间的距离为π2.
(1)求ω的值；
(2)若x∈[−π6,5π6]时，方程|f(x)|=n有解，讨论方程解的个数，若方程所有解的和记为Sn，求Sn所有可能值.
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“倒戈函数”.
(1)已知函数f(x)=ax2+3x−1x−9a,a∈R，试判断f(x)是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“倒戈函数”，求函数f(x)在x∈[−1,1]的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−3x−4<0}={x|−1∵B={x|0∴A∩∁RB={x|−1故选：B.
先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2x+3x−7，
∴f(1)=−2<0，f(2)=3>0，f(2)⋅f(3)<0，
根据函数的零点的判定定理可得，函数f(x)=2x+3x−7的零点所在的区间是(1,2)，
故选：B.
由函数的解析式可得f(1)⋅f(2)<0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f(x)=2x+3x−7的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的判断，考查偶函数的应用，属于基础题．
根据已知条件，结合函数的奇偶性，以及特殊值法，即可求解．
【解答】
解：∵f(x)=x⋅sinxcsx+2，x∈R，
∴f(−x)=(−x)⋅sin(−x)csx+2=x⋅sinxcsx+2，即f(x)=f(−x)，
∴f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故BD错误，
又f(π4)>0，故C错误，A正确，
故本题选A.
4.【答案】A
【解析】解：∵20.5>20=1，∴a>1，
∵0=lgπ1∵0∴a>b>c.
故选：A.
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由角α终边经过点P(−1,−2)，得tanα=2，
则tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43.
故选：D.
由已知利用任意角的三角函数的定义结合倍角公式求解．
本题考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：令x=y=0，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0，
令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，
故f(x)为(−1,1)上的奇函数，
因为x<0时，f(x)>0，
任取−1则x1−x2<0，
所以f(x1−x2)>0，
所以f(x1)−f(x2)=f(x1−x2+x2)−f(x2)=f(x1−x2)−f(x2)+f(x2)=f(x1−x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
根据单调性的定义可知f(x)在(−1,1)R上单调递减，
当f(lgx)lgx>12>−1，
解得：x∈( 10,10).
故选：C.
由已知利用赋值法判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵α∈(0,π),csα= 55>0，
∴sinα= 1−cs2α=2 55，
∴cs2α=cs2α−sin2α=−35，sin2α=2sinαcsα=45，
∴α∈(0,π2),2α∈(0,π)，
又cs2α=−35<0，则2α∈(π2,π),α∈(π4,π2)，
∵α∈(π4,π2),β∈(0,π)，
∴α+β∈(π4,3π2),sin(α+β)=− 210<0，
∴α+β∈(π,3π2)，
∴cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=−7 210，
cs(3α+β)=cs(α+β+2α)
=cs(α+β)cs2α−sin(α+β)sin2α
=7 210×35+ 210×45= 22.
故选：C.
根据题意可得sinα=2 55，利用二倍角公式可得cs2α=−35，sin2α=45，可得α，β的取值范围，利用两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设g(x)=|x+1|,x≤0|lg3x|,x>0，则f(x)=g(x)−m，故f(x)=0可转化为g(x)=m，
即y=g(x)的图像与直线y=m有4个不同的交点，
作出y=g(x)与y=m的图象：
设它们交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，x4，
可知x1+x2=−2，x3⋅x4=1，且m∈(0,1],x3∈[13,1)，
则3x3(x1+x2)+1x32x4=−6x3+1x3，
令h(x)=−6x+1x，易知函数h(x)在x∈[13,1)上单调递减，
所以3x3(x1+x2)+1x32x4=−6x3+1x3∈(−5,1].
故选：D.
令f(x)=0可转化为g(x)=g(x)=|x+1|,x≤0|lg3x|,x>0与y=m交点的个数问题解决问题，作出y=g(x)的图象以及y=m的图象分析即可．
本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由于705∘=−15∘+2×360∘，故705∘与−15∘是终边相同的角，故A选项正确．
一扇形的圆心角为15∘=π12，半径为3cm，则该扇形面积为15360×π×32=3π8cm2，故选项B错误．
若角α是第一象限角，则2kπ<α<2kπ+π2，k∈R，可得kπ<α2故角α2为第一或第三象限角，故C选项错误．
根据函数y=sin2x=cs(2x−π2)=cs2(x−π4)的图象可由函数y=cs2x的图象向右平移π4之后得到，故D选项正确．
故选：AD.
由题意，利用终边相同的角，扇形面积公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，象限角的定义，得出结论．
本题主要考查终边相同的角，扇形面积公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，象限角的定义，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为f(x)，g(x)是定义在R上奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=ex，①
所以f(−x)+g(−x)=e−x，即−f(x)+g(x)=e−x，②
联立①②得：f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2，
对于A，可知g(x)min=g(0)=1，故选项A正确；
对于B，C：f(2x)=2f(x)g(x)，[g(x)]2−[f(x)]2=1，验算正确；
对于D：由函数f(x)在R上单调递增，故∀x∈R，恒有f(2x−1)0恒成立⇒16−4a<0，求得a>4为充要条件，故D选项错误；
故选：ABC.
依题意，可求得f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2，再对各个选项逐一判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：∵a≥1a+2b,b≥2a+1b，
∴a+b≥3a+3b=3(a+b)ab，
又a>0，b>0，
则ab≥3，A选项正确；
∵a+b≥3a+3b，
∴(a+b)2≥(3a+3b)(a+b)=3(2+ab+ba)≥12，当且仅当a=b时取等号，故B选项正确；
对于C，可取特殊值a=b=2，则1a+1b=1<2 33，故C选项显然错误；
对于D，∵a≥1a+2b,b≥2a+1b，
∴a>1a,b>1b，可知a>1，b>1，则1a+1b<2，故D正确．
故选：ABD.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于函数f(x)=sin(ωx+π4)，∵x∈[0,2π]，∴ωx+π4∈[π4,2πω+π4].
令t=ωx+π4，条件转化为y=sint在区间[π4,2πω+π4]上有5个零点，故有5π≤2πω+π4<6π.
解得ω∈[198,238).
f(x)在(0,2π)取最大值时，对应的x有且仅有3个．
f(x)在(0,2π)取最小值时，对应的x有2个或者3个，
故选项A、D正确，且B错误．
在(0,π12)上，ωx+π4∈(π4,ωπ12+π4)，
而ωπ12+π4<π12×238+π4<π12×3+π4=π2，故f(x)在(0,π12)单调递增，故C选项正确．
故选：ACD.
由题意可得，y=sint在区间[π4,2πω+π4]上有5个零点，结合正弦函数的图象和性质，求得ω的范围，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】[kπ+π3,kπ+π2),k∈Z
【解析】解：要使函数有意义，则tanx− 3≥0，即tanx≥ 3，即kπ+π3≤x即函数的定义域为[kπ+π3,kπ+π2),k∈Z,
故答案为：[kπ+π3,kπ+π2),k∈Z
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
14.【答案】6
【解析】解：因为同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，其中同时参加三项比赛的有2人，
故有3人只参加田径与球类两项比赛；同理有2人只参加田径与、趣味两项比赛．
因此，只参加田径比赛一项的有15−3−2−2=8人，作出Venn图，如图所示，
设只参加趣味比赛的有x人，只参加球类比赛的有y人，只参加趣味与球类两项比赛的有z人，
根据题意，可得x+y+z=155+y+z=14x+z+4=13，解得x=6y=3z=6，即只参加趣味比赛一项的有6人．
故答案为：6.
设只参加趣味比赛的有x人，只参加球类比赛的有y人，只参加趣味与球类两项比赛的有z人，画出Venn图，建立关于x、y、z的方程组，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查集合的概念及其应用、运用Venn图法解集合问题等知识，属于基础题．
15.【答案】4 33
【解析】解：由x24+y23=1，得34x2+y2=3，
所以 32x⋅ 1+y2= 34x2(1+y2)≤34x2+1+y22=2，
当且仅当34x2=1+y2，即x=2 63,y=1时，等号成立．
因此x 1+y2≤4 3=4 33，当x=2 63,y=1时，x 1+y2的最大值为4 33.
故答案为：4 33.
根据题意化简已知等式，可得34x2+y2=3，由此求出 32x 1+y2的最大值，进而算出答案．
本题主要考查运用基本不等式求最值的知识，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】−8094
【解析】解：∵f(x)=x3−3x2，
∴f(x+1)+2=(x+1)3−3(x+1)2+2=x3−3x为奇函数，
∴y=f(x)的图像关于点P(1,−2)成中心对称，
∴f(x)+f(2−x)=−4，
令S=f(−2022)+f(−2021)+⋯+f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)+f(2024)，
则S=f(2024)+f(2023)+⋯+f(0)+f(−1)+f(−2)+⋯+f(−2021)+f(−2022)，
∴2S=4047×(−4)，
∴S=−8094，即f(−2022)+f(−2021)+⋯+f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)+f(2024)=−8094.
故答案为：−8094.
令依题意，可求得f(x+1)+2=x3−3x为奇函数，得出y=f(x)的图像关于点P(1,−2)成中心对称，从而可求得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查转化与化归思想及运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，原式=sin(360∘+225∘)tan(−315∘+360∘)+cs(360∘+120∘)
=sin225∘tan45∘+cs120∘
=sin(180∘+45∘)tan45∘+cs(180∘−60∘)
=−sin45∘tan45∘−cs60∘
=− 221−12
=− 2；
(2)原式=lg2(lg2+lg50)+2lg2⋅lg25
=2lg2+2lg5
=2.
【解析】(1)利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
(2)利用对数函数的运算性质即可求解．
本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了对数函数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象可知，
A=2,T2=5π12−(−π12)=π2，即T=π=2πω，
∴ω=2，此时f(x)=2sin(2x+φ).
将点(−π12,0)代入f(x)，并由图可知，−π6+φ=2kπ,(k∈Z),|φ|<π2，所以φ=π6，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).
由2x+π6=kπ,k∈Z，可得x=kπ2−π12,k∈Z，
故函数的对称中心为(kπ2−π12,0),k∈Z.
(2)先将f(x)的图象横坐标缩短为原来的12倍，可得y=2sin(4x+π6)的图象．
再向右平移π12个单位后，得到g(x)=2sin[4(x−π12)+π6]=2sin(4x−π6)的图象，
因为x∈[π12,π4]，所以4x−π6∈[π6,5π6]，
当4x−π6∈[π2,5π6]，即x∈[π6,π4]时，g(x)单调递减．
所以g(x)在[π12,π4]上的单调递减区间为[π6,π4].
【解析】(1)由图象的顶点坐标(函数的最大值)求出A，由周期求出ω值，由特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，
设x>0，则−x<0，∴f(−x)=lg2(1+x)，
又f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∴−f(x)=lg2(1+x)，∴f(x)=−lg2(1+x)，
∴当x>0时，f(x)=−lg2(1+x)，
综上，函数f(x)在R上的解析式为f(x)=lg2(1−x),x≤0−lg2(1+x),x>0.
(2)当x≤0时，f(x)=lg2(1−x)，
易知y=lg2x在定义域上为增函数，y=1−x在定义域上为减函数，∴f(x)在(−∞,0]上单调递减，
又∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)在R上单调递减，
由f(x2+m)+f(2x2−mx+1)<0，可得f(x2+m)<−f(2x2−mx+1)=f(−2x2+mx−1)，
又∵f(x)在R上单调递减，∴x2+m>−2x2+mx−1，
∴3x2+1>m(x−1)对任意的x∈[1,+∞)恒成立，
当x=1时，4>0成立；当x≠1时，m<3x2+1x−1，
令g(x)=3x2+1x−1=3(x−1)+4x−1+6≥2 3(x−1)×4x−1+6=4 3+6，
当且仅当3(x−1)=4x−1即x=2 3+1时等号成立，∴m<4 3+6，
∴实数m的取值范围为(−∞,4 3+6).
【解析】(1)根据y=f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(0)=0，结合当x<0时，f(x)=lg2(1−x)，求出解析式即可；
(2)根据条件判断函数f(x)的单调性，结合函数的奇偶性，根据不等式f(x2+m)+f(2x2−mx+1)<0恒成立，求出参数的取值范围即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，基本不等式的应用，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知g(t)=1250−k(11−t)2,3≤t<101250,10≤t≤18(t∈N*),(k为常数)，
因为g(3)=1250−k(11−3)2=610，
解得k=10，
所以g(t)=−10t2+220t+40,3≤t<101250,10≤t≤18(t∈N*)；
(2)由题意可得，Q(t)=6(−10t2+220t+40)−2400t−360,3≤t<105100t−360,10≤t≤18，
即Q(t)=960−60(t+36t),3≤t<105100t−360,10≤t≤18(t∈N*)，
①当3≤t<10时，Q(t)=960−60(t+36t)≤960−60×12=240，当且仅当t=36t，即t=6时，等号成立，
②当10≤t≤18时，Q(t)=5100t−360在[10,18]上单调递减，当t=10时Q取最大值150，
因为240>150，
所以当发车时间间隔为t=6分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好．
【解析】(1)由题意可知g(t)=1250−k(11−t)2,3≤t<101250,10≤t≤18(t∈N*),(k为常数)，由g(3)=610可求出k的值，进而得到g(t)的解析式；
(2)由题意可知Q(t)=960−60(t+36t),3≤t<105100t−360,10≤t≤18(t∈N*)，结合基本不等式求出Q(t)的最大值即可．
本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=1−cs(2ωx+π6)2+1+cs(2ωx+π2)2−1
=12(− 32cs2ωx+12sin2ωx−sin2ωx)
=12(− 32cs2ωx−12sin2ωx)
=−12sin(2ωx+π3)，
∵相邻两对称轴之间的距离为π2，
∴T=π，
即2π2ω=π，
即ω=1；
(2)由题意可得y=|f(x)|=12|sin(2x+π3)|,x∈[−π6,5π6]，
其图象如图所示：
由图可知，当n=0时，|f(x)|=0有三个解：−π6,π3,5π6，
此时Sn=−π6+π3+5π6=π；
当n=12时，|f(x)|=12有两个解：π12,7π12，
此时Sn=π12+7π12=2π3；
当0此时Sn=x1+x2+x3+x4=π6+7π6=43π.
综上，当n=0时，Sn=π；当n=12时，Sn=2π3；当0【解析】(1)利用三角函数的恒等变换和周期公式即可求解；
(2)由题意可得y=|f(x)|=12|sin(2x+π3)|,x∈[−π6,5π6]，画出其图象数形结合即可求解．
本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)问题等价于方程f(x)+f(−x)=0有解，
所以ax2+3x−1x−9a+ax+ax2−2x+1x−9a=0，
所以2ax2−18a=0，
即2a(x2−9)=0有解，显然x=±3为方程的解，
所以f(x)为“倒戈函数”；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“倒戈函数”，
则f(x)+f(−x)=0在R上有解，即4x−m⋅2x+1+m2−1+4−x−m⋅2−x+1+m2−1=0在R上有解，
即4x+4−x−2m(2x+2−x)+2m2−2=0在R上有解．
令t=2x+2−x∈[2,+∞),则4x+4−x=t2−2，
从而关于t的方程t2−2mt+2m2−4=0在[2,+∞)上有解，
令F(t)=t2−2mt+2m2−4，
①当F(2)≤0时，t2−2mt+2m2−4=0在[2,+∞)上有解，
由F(2)≤0，即2m2−4m≤0，解得0≤m≤2；
②当F(2)>0时，t2−2mt+2m2−4=0在[2,+∞)上有解等价于Δ=4m2−4(2m−4)≥0m>2F(2)=2m2−4m>0，此不等式组无解．
则所求实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}.
令2x=s，因为x∈[−1,1]，所以s∈[12,2]，
则f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1可化为y=s2−2ms+m2−1，
令g(s)=s2−2ms+m2−1，对称轴为s=m，
当0≤m≤12时，g(s)在s∈[12,2]单调递增，所以s=12时，g(s)取得最小值，g(s)min=g(12)=m2−m−34，即x=−1时，f(x)min=m2−m−34；
当12即2x=m时，即x=lg2m时，f(x)min=−1，
综上，x∈[−1,1]，当0≤m≤12时，f(x)min=m2−m−34；
当12【解析】(1)问题转化为检验方程f(x)+f(−x)=0有解，代入即可求解；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“倒戈函数”，则f(x)+f(−x)=0在R上有解，即4x+4−x−2m(2x+2−x)+2m2−2=0在R上有解，令t=2x+2−x∈[2,+∞),则4x+4−x=t2−2，从而关于t的方程t2−2mt+2m2−4=0在[2,+∞)上有解，构造函数F(t)=t2−2mt+2m2−4，然后结合二次函数的性质即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了方程解的存在性条件的应用，二次函数性质的应用，属于中档题．