2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A={1,2}，B={1,4,5}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2,4,5}C. {1,2}D. {1,4,5}
2.下列各组函数表示相同函数的是( )
A. f(x)= x2和g(x)=( x)2B. f(x)=1和g(x)=x0
C. f(x)=|x|和g(x)=x,x≥0−x,x<0D. f(x)=x+1和g(x)=x2−1x−1
3.函数f(x)=lg2x+2x−7的零点所在的区间为( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
4.函数y=ln(1+x2)csx的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.设a=sin2,b=lg3a,c=4a，则a，b，c的大小关系为( )
A. a6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(3π4)=( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. − 2
7.已知α∈(0,π)，且sinα− 3csα=2，则tanα=( )
A. − 3B. − 33C. 33D. 3
8.已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1.若对任意的x1，x2∈R且x1−3，则不等式f[lg2(3x−2)]A. (23,1)B. (−∞,43)C. (23,43)D. (43,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. −4π3是第二象限角
B. 点(π3,0)是函数f(x)=cs(2x+π3)的一个对称中心
C. 若角α终边上一点P的坐标为(4t,−3t)(其中t>0)，则sinα=−35
D. 函数f(x)=2tan(2x+π3)的图象可由函数g(x)=2tan(2x)图象向左平移π3个单位得到
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1<0”
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=14
C. 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集(−2,3)，则不等式cx2−bx+a<0的解集为(−13,12)
D. “a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件
11.若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A. mn的最大值为18B. 1m+1n的最小值为4 2
C. 2m+1+9n+2的最小值为5D. 4m2+n2的最小值为12
12.已知函数f(x)=−x2+4x,x≥0e−x+2,x<0，函数g(x)=f(f(x))−m，则下列结论正确的是( )
A. 若x=0，则f(f(x))=0B. 若f(f(x))=0，则x=0
C. 若m=4，则g(x)有3个零点D. 若3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=2x,x≤0lg13x,x>0，则f[f(9)]=______.
14.已知cs(π6−α)=−12，则sin(4π3+α)=______.
15.已知函数f(x)=lga(mx2−4x+16),a>0且a≠1.若f(x)的值域为R，则m的取值范围为______.
16.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(−2)3]43+( 2−1)−1−212；
(2)lg12−lg58+lg12.5−lg89⋅lg278.
18.(本小题12分)
设全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|2a(1)若a=1时，求(∁UA)∩B；
(2)若(∁UA)∩B=B，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数h(x)=2f(x)−kx−1在[−1,1]是单调函数，求实数k的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3cs2(π2+x)−2sin(π+x)csx− 3.
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)若f(x0−π6)=1425,x0∈[3π4,π]，求sin2x0的值.
21.(本小题12分)
已知函数h(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最大值为 22，与直线y= 22的相邻两个交点的距离为π.将h(x)的图象先向右平移π8个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数f(x).
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)= 2f(x+π4)，且方程g(2x)+ag(x)−ag(π2−x)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)对任意的实数m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)−1，且当x>0时，有f(x)>1恒成立.
(1)求证：函数f(x)在R上为增函数.
(2)若f(6)=7，a>0，对任意的x∈[0,+∞),关于x的不等式f(lg0.5(e−x+1))+f(lg0.5(e−x+a))<5恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A={1,2}，B={1,4,5}，
所以A∩B={1}.
故选：A.
利用集合的交集运算即可得解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查相同函数的判断，结合两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【解答】
解：A.f(x)= x2=|x|的定义域是R，g(x)=( x)2=x的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
B.f(x)=1的定义域为R，g(x)=x0=1的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
C.f(x)=|x|=x,x≥0−x,x<0，两个函数的定义域都是R，对应法则相同，是相同函数，
D.g(x)=x2−1x−1=x+1的定义域为{x|x≠1}，f(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
故选C.
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lg2x+2x−7在(0,+∞)上单调递增，
f(2)=lg22+4−7=−2<0，f(3)=lg23+6−7=lg23−1>0，
故函数零点所在的区间为(2,3).
故选：B.
确定函数单调递增，计算f(2)<0，f(3)>0，得到答案．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=ln(1+x2)csx是偶函数，排除B，
当x∈(0,π2)时，y>0，判断C、D，
故选：A.
利用函数的奇偶性以及特殊值，判断即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是常用方法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：易知a=sin2∈(0,1)⇒b=lg3(sin2)40=1⇒b<0故选：B.
利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可．
本题主要考查了正弦函数，指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像可知A=2，
34T=13π12−π3=3π4，则T=π，∴ω=2πT=2.
由f(13π12)=2sin(2×13π12+φ)=2，解得φ=−5π3+2kπ，k∈Z，
∴f(x)=2sin(2x−5π3)，故f(3π4)=2sin(2×3π4−5π3)=2sin(−π6)=−1.
故选：B.
根据图象的特点可确定解析式，从而求值．
本题考查三角函数的性质和图象，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题设(sinα− 3csα)2=sin2α−2 3sinαcsα+3cs2α=4，
所以sin2α−2 3sinαcsα+3cs2αsin2α+cs2α=tan2α−2 3tanα+3tan2α+1=4，且α∈(0,π)，
故tan2α−2 3tanα+3=4tan2α+4，即3tan2α+2 3tanα+1=( 3tanα+1)2=0，
所以tanα=− 33.
故选：B.
将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵对任意的x1，x2∈R且x1−3，
∴f(x1)−f(x2)<−3x1+3x2，
即f(x1)+3x1令g(x)=f(x)+3x，则可得g(x1)∴g(x)在R上单调递增，且g(1)=f(1)+3=4，
∵f[lg2(3x−2)]∴f[lg2(3x−2)]+3lg2(3x−2)<4，
即g[lg2(3x−2)]∴lg2(3x−2)<1，
∴0<3x−2<2
∴23故不等式的解集为(23,43)
故选：C.
构造函数令g(x)=f(x)+3x，结合其单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，−4π3的终边与2π3的终边相同，所以−4π3为第二象限角，故A正确；
对于B，由f(π3)=cs(2×π3+π3)=csπ=−1≠0，故B错误；
对于C，利用三角函数的定义知sinα=−3t (4t)2+(−3t)2=−35，故C正确；
对于D，由f(x)=2tan(2x+π3)=2tan[2(x+π6)]，可由函数g(x)=2tan(2x)的图象向左平移π6个单位得到，故D错误．
故选：AC.
利用弧度制与角度制的转化及象限角的定义可判断A；直接代入检验即可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用三角函数的图象的平移变换可判断D.
本题主要考查三角函数图像和性质，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对A：命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≥0”，故A错误；
对B：当a=0时，集合A中也只有一个元素−1，故B错误；
对C：因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−2,3)，故a<0，不妨设a=−1，则由韦达定理可得b=1，c=6，所以不等式6x2−x−1<0⇒(2x−1)(3x+1)<0⇒−13对D：由“a>2，b>2”可得“ab>4”，但“ab>4”，比如a=b=−3时，“a>2，b>2”就不成立，故D成立．
故选：CD.
因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对a是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由m，n>0，得2m+n≥2 2mn，又2m+n=1，
所以1≥2 2mn，解得mn≤18，当且仅当2m=n，即m=14，n=12时等号成立，
所以mn的最大值为18，选项A正确；
1m+1n=(2m+n)(1m+1n)=3+nm+2mn≥3+2 nm⋅2mn=3+2 2，
当且仅当nm=2mn，即m=2− 22n= 2−1时等号成立，所以1m+1n的最小值为3+2 2，选项B错误；
由2m+n=1，得2(m+1)+(n+2)=5，
所以2m+1+9n+2=15[2(m+1)+(n+2)](2m+1+9n+2)=15[23+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2 36)=5，
当且仅当2(n+2)m+1=18(m+1)n+2，即m=0n=1时等号成立，又m，n>0，
所以2m+1+9n+2>5，选项C错误；
由m，n>0，2m+n=1，得(2m+n)2=4m2+n2+4mn=4m2+n2+2 4m2⋅ n2≤2(4m2+n2)，
则4m2+n2≥12，当且仅当4m2=n2，即m=14n=12时等号成立，
所以4m2+n2的最小值为12，选项D正确．
故选：AD.
由m，n>0，得2m+n≥2 2mn，即1≥2 2mn，从而即可判断选项A；由1m+1n=(2m+n)=3+nm+2mn即可利用基本不等式判断选项B；由3m+n=1可得2(m+1)+(n+2)=5，从而2m+1+9n+2=15[2(m+1)(n+2)](2m+1+9n+2)=15[23+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]，进一步即可利用基本不等式判断选项C；由m，n>0，2m+n=1，得(2m+n)2=4m2+n2+4mn=4m2+n2+2 4m2⋅ n2，从而即可判断选项D.
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对A：f(0)=0，f(f(0))=f(0)=0，故A正确；
对B：若f(f(x))=0，则f(x)=0或f(x)=4，
当f(x)=0时，x1=0或x2=4，
当f(x)=4时，
由图可知x3=t1或x4=2，故B错误；
对C：若f(f(x))=4，
由B分析中图可知f(x)=t1或f(x)=2，
当f(x)=t1时，由t1<0知只有一解，
当f(x)=2时，由图可知有两解，
故g(x)有3个零点，故C正确；
对D：若3由图知f(x)=t2<0或f(x)=t3∈(1,2)或f(x)=t4∈(2,3)，
当f(x)=t2<0时，只有一根，
当f(x)=t3∈(1,2)时，只有两根，
当f(x)=t4∈(2,3)时，只有两根，
所以f(f(x))=m共有5根，故D正确．
故选：ACD.
对A：直接计算即可；对B：先求得f(x)=0或f(x)=4，再求x值；对CD：先由f(f(x))=m求得f(x)=ti，i=1，2，3，…，再依次求f(x)=ti的解．
本题考查函数零点问题，数形结合思想，属中档题．
13.【答案】14
【解析】解：由题意得，f(9)=lg139=−2，所以f[f(9)]=f(−2)=2−2=14.
故答案为：14.
由已知先求f(9)，再计算f[f(9)]即可．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：sin(4π3+α)=sin(π+π3+α)=−sin(π3+α)=−sin[π2−(π6−α)]=−cs(π6−α)=12.
故答案为：12.
直接利用诱导公式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】[0,14]
【解析】解：当m=0时，f(x)=lga(−4x+16)值域为R，满足条件；
当m≠0时，f(x)的值域为R，则m>0Δ=16−64m≥0，解得0综上所述：m∈[0,14].
故答案为：[0,14].
考虑m=0和m≠0两种情况，根据值域得到m>0Δ=16−64m≥0，解得答案．
本题主要考查了对数函数及二次函数性质的应用，属于基础题．
16.【答案】143
【解析】【分析】
根据f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．
【解答】
解：如图所示，
∵f(x)=sin(ωx+π3)，
且f(π6)=f(π3)，
又f(x)在区间(π6,π3)内只有最小值、无最大值，
∴f(x)在π6+π32=π4处取得最小值．
∴π4ω+π3=2kπ−π2π2(k∈Z).
∴ω=8k−103(k∈Z).
∵ω>0，
∴当k=1时，ω=8−103=143；
当k=2时，ω=16−103=383，此时在区间(π6,π3)内已存在最大值．
故ω=143.
故答案为143.
17.【答案】解(1)原式=(14)12−(−2)2×(−2)4+( 2−1)−1−212=12−4×16+( 2+1)− 2=−1252.
(2)lg12−lg58+lg12.5−lg89⋅lg278=lg12+lg(58)−1+lg252−lg9lg8⋅lg8lg27
=lg(12×85×252)−2lg33lg3=lg10−23=1−23=13.
【解析】本题主要考查了指数幂及对数的运算性质的应用，属于基础题．
(1)根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
(2)根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解．
18.【答案】解：(1)因为CUA={x|x<1或x>3}，当a=1时，B={x|2所以(CUA)∩B={x|3(2)因为(CUA)∩B=B，所以B⊆CUA，
当B=⌀时，a+3≤2a，所以a≥3，此时满足条件，
当B≠⌀时，因为(CUA)∩B=B，所以a+3>2aa+3≤1或a+3>2a2a≥3，
解得a≤−2或32≤a<3，
综上a≤−2或a≥32，即a∈(−∞,−2]∪[32,+∞).
【解析】(1)求出∁UA={x|x<1或x>3}，当a=1时，求出集合B，然后进行交集的运算即可；
(2)根据条件得出B⊆∁UA，然后讨论B是否为空集，根据子集的定义即可求出a的范围．
本题考查了交集和补集的运算，子集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4).
所以4=2α，解得α=2，
所以函数f(x)=x2.
(2)h(x)=2f(x)−kx−1=2x2−kx−1，
对称轴为x=−−k4=k4，
因为h(x)在[−1,1]是单调函数，
所以k4≤−1或k4≥1，
解得k≤−4或k≥4，
所以实数k的取值范围为k≤−4或k≥4.
【解析】本题考查函数解析式的求法和函数的性质，属于基础题．
(1)根据题意可得4=2α，可得α的值，进而得到函数f(x)的解析式；
(2)由(1)可得h(x)=2x2−kx−1，其对称轴为x=k4，然后由h(x)在[−1,1]是单调函数，得到k4≤−1或k4≥1，再求出实数k的取值范围．
20.【答案】解：(1)f(x)=2 3[cs(π2+x)]2−2sin(π+x)⋅csx− 3
=2 3sin2x+2sinx⋅csx− 3= 3(1−cs2x)+sin2x− 3
=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
故周期为T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z，
−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
所以f(x)的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z.
(2)∵f(x0−π6)=2sin[2(x0−π6)−π3]=2sin(2x0−2π3)=1425，
∴sin(2x0−2π3)=725，∵3π4≤x0≤π，∴5π6≤2x0−2π3≤4π3，
∴cs(2x0−2π3)=− 1−sin2(2x0−2π3)=−2425，
故sin2x0=sin[(2x0−2π3)+2π3]
=sin(2x0−2π3)cs2π3+cs(2x0−2π3)sin2π3
=725×(−12)−2425× 32=−24 3+750.
【解析】(1)由诱导公式，二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简f(x)，由最小正周期公式求出f(x)的最小正周期；令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z，即可求出单调增区间；
(2)由题意可得sin(2x0−2π3)=725，由x0∈[3π4,π]，求出2x0−2π3的范围，再由三角函数的平方关系求出cs(2x0−2π3)，则sin2x0=sin[(2x0−2π3+2π3],由两角和的正弦公式化简即可得出答案．
本题考查三角函数的周期性及其求法，考查复合三角函数的单调性，考查三角函数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)h(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最大值为 22，与直线y= 22的相邻两个交点的距离为π.
所以A= 22，T=2πω=π，所以ω=2，则h(x)= 22sin2x，
将h(x)的图象先向右平移π8个单位，保持纵坐标不变，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数f(x)= 22sin(x−π4)；
(2)g(x)= 2f(x+π4)=sinx，
g(2x)+ag(x)−ag(π2−x)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
即sin2x+asinx−acsx−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
即2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
令sinx−csx=t，
所以t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
由−π4≤x≤π2，所以−π2≤x−π4≤π4，
所以− 2≤ 2sin(x−π4)≤1，所以− 2≤t≤1，
同时(sinx−csx)2=t2，所以2sinxcsx=1−t2，
所以2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解等价于1−t2+at−a−1=0在[− 2,1]上有解，
即a(t−1)=t2在[− 2,1]上有解，
①t=1时，a无解；
②t∈[− 2,1)时，a=t2t−1有解，
即a=t2t−1=t+1+1t−1在t∈[− 2,1)有解，
即a=t2t−1=t−1+1t−1+2在t∈[− 2,1)有解，
令h(t)=t−1+1t−1+2，t∈[− 2,1),t−1∈[− 2−1,0),
由于y=x+1x在[− 2−1,0)上单调递减，
所以h(t)=t−1+1t−1+2的值域为(−∞,0],
所以a=t2t−1=t−1+1t−1+2在t∈[− 2,1)有解等价于a≤0.
实数a的取值范围为(−∞,0].
【解析】(1)由最值求解A，由周期求解ω，然后结合函数图象的平移即可求解；
(2)由已知转化为2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，换元sinx−csx=t，结合对勾函数及正弦函数性质即可求解．
本题考查三角函数的图象和性质，函数的值域问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，
∵f(x1)−f(x2)=f(x1−x2+x2)−f(x2)，f(m+n)=f(m)+f(n)−1，
∴f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)+f(x2)−1−f(x2)，
故f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)−1，
∵x1>x2，∴x1−x2>0，
又∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x1−x2)>1，
∴f(x1−x2)−1>0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在R上为增函数；
(2)当m=n=3时，f(6)=2f(3)−1=7，解得f(3)=4，
关于x的不等式f(lg0.5(e−x+1))+f(lg0.5(e−x+a))<5恒成立，
等价于f(lg0.5(e−x+1))+f(lg0.5(e−x+a))−1<4恒成立，
∵f(m+n)=f(m)+f(n)−1，f(3)=4，
∴f(lg0.5(e−x+1)+lg0.5(e−x+a))即f(lg0.5(e−x+1)(e−x+a))∵f(x)在R上为增函数，
∴lg0.5(e−x+1)(e−x+a)<3=lg0.518，
又∵y=lg0.5x在(0,+∞)上单调递减，
由题意可得∀x∈[0,+∞),(e−x+1)(e−x+a)>18恒成立，
即(e−x)2+(a+1)e−x+a−18>0恒成立，
令t=e−x，∵x∈[0,+∞),则t∈(0,1],
∴(e−x)2+(a+1)e−x+a−18>0恒成立，
等价于∀t∈(0,1],t2+(a+1)t+a−18>0恒成立，
令g(t)=t2+(a+1)t+a−18，则g(t)min>0，
∵函数g(t)对称轴为t=−a+12<0，
∴函数g(t)在t∈(0,1]上单调递增，
故g(0)=a−18≥0，解得a≥18，
∴实数a的取值范围为[18,+∞).
【解析】(1)利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明；
(2)利用已知条件和函数单调性，转化为恒成立问题即可求解．
本题考查了用定义证明函数的单调性，考查了对数函数的性质、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．