2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin600∘=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.函数f(x)= lg2(1−x)的定义域是( )
A. (−∞,1)B. (0,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0]
3.已知集合A={x∈Z|−1≤x<4}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=( )
A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. (0,4)
4.若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=( )
A. 2B. 32C. 1D. 12
5.函数f(x)=1+ex1−excsx的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.“关于x的不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. a>0B. a>1C. 02
7.已知w>0，函数f(x)=3sin(wx+π4)−2在区间[π2,π]上单调递减，则w的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,2]C. [12,34]D. [12,54]
8.已知函数f(x)=lg2(x+2),−20，若函数g(x)=[f(f(x))]2−(a+1)⋅f(f(x))+a(a∈R)恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. [0,1]C. (0,+∞)D. [0,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法不正确的是( )
A. 命题p：∃x∈R使得x2+2x+3<0，则¬p：∀x∈R，x2+2x+3>0
B. 若g(x)是奇函数，则一定有g(0)=0
C. 已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在R上是增函数，则实数a的取值范围是[−3,−1]
D. 若f(x)的定义域为[−2,2]，则f(2x−1)的定义域为[−12,32]
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. φ=π3
B. 函数f(x)的图象关于(16,0)对称
C. 函数f(x)在[16,23]的值域为[−2,5]
D. 要得到函数g(x)=Acs(ωx+φ)的图象，可将函数f(x)的图象向左平移14个单位
11.下列式子中最小值为4的是( )
A. sin2x+4sin2xB. 2x+22−x
C. 8+lg2(2x)⋅lg2x8D. 1sin2x+1cs2x
12.已知f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则( )
A. 若f(x+1)+f(1−x)=2，则f(x)的图象关于点(1,1)中心对称
B. 函数y=f(x−1)与y=f(1−x)的图象关于y轴对称
C. 若g(x+1)=−g(x)，则函数g(x)是周期函数，其中一个周期T=2
D. 若方程x−g(f(x))=0有实数解，则f(g(x))不可能是x2+x+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm−1在区间(0,+∞)上单调递增，则m=______.
14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18∘，若m2+n=4，则m+ nsin63∘=______.
15.对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈函数”，设函数f(x)=3x+tanx−2m+1(m∈R)是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是：[1,43].
16.对于函数f(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]上是单调的；②当f(x)的定义域是[m,n]时，f(x)的值域是[3m,3n]，则称[m,n]是该函数的“倍值区间”.若函数f(x)= x+1+a存在“倍值区间”，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+31.5×612× 3的值；
(2)已知2cs2α+3csαsinα−3sin2α=1，α∈(−32π,−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9csα的值.
18.(本小题12分)
设函数f(x)=cs(2x+π3)+2sin2x.
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)若α∈(π4,π2)，且f(α)=25，求sin2α的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xx2+4.
(1)判断f(x)在[−2,2]上的单调性，并用定义证明；
(2)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对任意的x1∈[−2,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围.
20.(本小题12分)
某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC(AC>5米)的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB=30∘.某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角∠DPE=θ.当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为 39.
(1)求扶梯AC的长；
(2)当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长.
21.(本小题12分)
设定义域为R的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，(其中a为实数).
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k和x∈[−1,3]，使不等式f(x2−kx)+f(2−x)>0成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
设m为给定的实常数，若函数y=f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+m)=f(x0)+f(m)成立，则称函数f(x)为“G(m)函数”.
(1)若函数f(x)=2x为“G(2)函数”，求实数x0的值；
(2)证明：函数h(x)=2x+x2为“G(1)函数”；
(3)若函数f(x)=lgax2+1为“G(1)函数”，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin600∘=sin(720∘−120∘)=−sin120∘=−sin(180∘−60∘)=−sin60∘=− 32，
故选：D.
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由1−x>0lg2(1−x)≥0，得1−x>01−x≥1，解得x≤0，
所以函数的定义域为(−∞,0].
故选：D.
利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：A={x∈Z|−1≤x<4}={−1,0,1,2,3}，B={x|0≤x≤4}，
所以A∩B={0,1,2,3}.
故选：C.
解一元二次不等式，化简集合，再求交集．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属于基础题．
x1=π4，x2=3π4是f(x)两个相邻的极值点，则周期T=2(3π4−π4)=π，然后根据周期公式即可求出ω.
【解答】
解：∵x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，
∴T=2(3π4−π4)=π=2πω
∴ω=2，
故选A.
5.【答案】D
【解析】解：∵f(−x)=1+e−x1−e−x⋅cs(−x)=ex+1ex−1⋅csx=−1+ex1−excsx=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除选项A和C；
当01，csx>0，∴f(x)<0，排除选项B，
故选：D.
根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为奇函数，排除选项A和C，再对比剩下选项，只需考虑0本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：当a=0时，不等式化为−2x+1>0，解得x<12，在R上不恒成立；
当a≠0时，若不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R恒成立，则a>0Δ=4−4a<0，解得a>1.
综上所述，“关于x的不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R上恒成立”的充要条件为“a>1”，
因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含(1,+∞)，对照各项可知A项“a>0”符合题意．
故选：A.
根据题意，分a=0、a≠0两种情况讨论：在a=0时，直接加以验证；在a≠0时，列出关于实数a的不等式组，解出实数a的取值范围．然后根据必要不充分条件的定义判断出正确答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由2kπ+π2≤wx+π4≤2kπ+3π2,k∈Z，得2kπw+π4w≤x≤2kπw+5π4w，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[2kπw+π4w,2kπw+5π4w],k∈Z，
令k=0，则函数f(x)其中一个的单调递减区间为：[π4w,5π4w]，
函数f(x)在区间[π2,π]内单调递减，
则满足5π4w≥ππ4w≤π2，得w≥12w≤45，所以w的取值范围是[12,54].
故选：D.
根据正弦函数的单调性求出函数f(x)的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由g(x)=[f(f(x))]2−(a+1)⋅f(f(x))+a=0得[f(f(x))−1][f(f(x)−a]=0,
则f(f(x))=1或f(f(x))=a，
作出f(x)的图象如图，
则若f(x)=1，则x=0或x=2，
设t=f(x)，由f(f(x))=1得f(t)=1，
此时t=0或t=2，
当t=0时，f(x)=t=0，有两个根，当t=2时，f(x)=t=2，有1个根，
则必须有f(f(x))=a，(a≠1)有5个根，
设t=f(x)，由f(f(x))=a得f(t)=a，
若a=0，由f(t)=a=0得t=−1，或t=1，f(x)=−1有一个根，f(−x)=1有两个根，此时有3个根，不满足条件．
若a>1，由f(t)=a得t>2，f(x)=t有一个根，不满足条件．
若a<0，由f(t)=a得−2若0当−1当1故0即实数a的取值范围是(0,1)，
故选：A.
利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法t=f(x)，作出f(x)的图象，利用数形结合判断根的个数即可，
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，命题p：∃x∈R使得x2+2x+3<0，则¬p：∀x∈R，x2+2x+3≥0，故A不正确；
对于B，若奇函数g(x)=1x，x=0时，g(x)无意义，故B不正确；
对于C，已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1) 在 R上是增函数，
首先当x>1时，f(x)=ax单调递增，则a<0，
其次当x≤1时，f(x)=−x2−ax−5(对称轴为x=−a2)单调递增，则−a2≥1，即a≤−2，
但若要保证函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1) 在 R上是增函数，还需满足−12−a×1−5≤a1，即a≥−3，
所以实数a的取值范围是[−3,−2]，故C不正确；
对于D，若f(x)的定义域为[−2,2]，则f(2x−1)的定义域满足−2≤2x−1≤2，解得−12≤x≤32，故D正确．
故选：ABC.
根据题意，对于A，得出命题的否定判断即可；对于B，取g(x)=f(x)=1x即可说明B；对于C，分段讨论，但要注意结合−12−a×1−5≤a1，由此即可判断；对于D，由−2≤2x−1≤2即可判断，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义域、单调性和命题的否定，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由图可知A=2,T4=13−112=14，
所以T=1，又因为T=2πω，
所以ω=2π，
所以f(x)=2sin(2πx+φ)，
又函数图象最高点为(112,2)，
所以f(112)=2sin(π6+φ)=2，即sin(π6+φ)=1，
所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，
解得φ=π3+2kπ,k∈Z，
由题意|φ|<π2，
所以只能k=0，此时φ=π3，故A选项正确；
对于B，由A选项分析可知f(x)=2sin(2πx+π3)，
因为f(16)=2sin(π3+π3)= 3≠0，所以函数f(x)的图象不关于(16,0)对称，故B选项错误；
对于C，当x∈[16,23]时，2πx∈[π3,4π3]，所以t=2πx+π3∈[2π3,5π3]，
而函数y=2sint在[2π3,3π2]上单调递减，在[3π2,5π3]上单调递增，
所以当x∈[16,23]时，−2=2×(−1)≤f(x)≤2× 32= 3，
所以函数f(x)在[16,23]的值域为[−2, 3]，故C选项正确；
对于D，若将函数f(x)=2sin(2πx+π3)的图象向左平移14个单位，
则得到的新的函数解析式为h(x)=2sin[2π(x+14)+π3]=2sin[(2πx+π3)+π2]=2cs(2πx+π3)=g(x)，故D选项正确．
故选：ACD.
根据函数f(x)的部分图象求出A，ω，φ的值，进而得到f(x)的解析式，再结合正弦函数的性质可判断ABC，由三角函数图象的变换规律可判断D.
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：sin2x+4sin2x≥2|sinx|⋅|2sinx|=4，
当且仅当|sinx|=|2sinx|，即当且仅当sinx=± 2时等号成立，
但sinx=± 2不成立，所以sin2x+4sin2x的最小值取不到4，故选项A错误；
对于B：因为2x>0，2−x>0，则2x+22−x≥2 2x⋅22−x=4，
当且仅当2x=22−x，即x=1时，等号成立，
所以2x+22−x的最小值为4，故选项B正确；
对于C：8+lg2(2x)⋅lg2x8=8+(1+lg2x)(lg2x−3)
=lg22x−2lg2x+5=(lg2x−1)2+4，
当x=2时，取得最小值4，故选项C成立；
对于D：由题意sin2x>0，cs2x>0，
则1sin2x+1cs2x=(sin2x+cs2x)(1sin2x+1cs2x)=cs2xsin2x+sin2xcs2x+2，
≥2 cs2xsin2x⋅sin2xcs2x+2=4，
当且仅当cs2xsin2x=sin2xcs2x，即tanx=±1时，等号成立，故选项D正确．
故选：BCD.
对于ABD，利用基本不等式运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了对数函数的运算性质，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，由f(x+1)+f(1−x)=2，得f(x+1)−1+f(−x+1)−1=0，设F(x)=f(x+1)−1，则F(x)+F(−x)=0，
所以F(x)是奇函数，图象关于(0,0)对称，
所以根据函数图象变换的知识可知f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，A选项正确；对于B选项，y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称，
所以y=f(x−1)与y=f[−(x−1)]=f(1−x)的图象关于直线x=1对称，B选项错误；
对于C选项，g(x+2)=g(x+1+1)=−g(x+1)=g(x)，所以g(x)是周期函数，其中一个周期T=2，C选项正确；
对于D选项，设x0是方程x−g(f(x))=0的一个解，
则x0−g(f(x0))=0，
所以x0=g(f(x0))，
所以f(x0)=f[g(f(x0))]，
令t=f(x0)，
则t=f(g(t))，
即方程x=f(g(x))有解，
当f(g(x))=x2+x+1时，方程x=x2+x+1无解，所以D选项正确．
故选：ACD.
根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案．
本题考查了抽象函数的对称性、奇偶性、周期性及转化思想，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：m2−2m−2=1，解得m=3或−1，
当m=−1时，f(x)=x−2，不满足在区间(0,+∞)上单调递增，舍去，
当m=3时，f(x)=x2，满足f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意，
故m=3.
故答案为：3.
根据已知条件，结合幂函数的定义，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：∵m=2sin18∘，
∴由m2+n=4，得n=4−m2=4−4sin218∘=4cs218∘，
则m+ nsin63∘=2sin18∘+2cs18∘sin63∘=2 2sin(45∘+18∘)sin63∘=2 2sin63∘sin63∘=2 2，
故答案为：2 2
根据三角函数同角三角函数关系表示n，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可．
本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．
15.【答案】解：因为函数f(x)=3x+tanx−2m+1(m∈R)是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，
所以存在x0∈[−1,1]，使f(−x0)=−f(x0)，
即−3x0−tanx0+2m−1=3−x0+tan(−x0)−2m+1，
即4m−2=3x0+3−x0，令t=3x0，则t∈[13,3]，
所以4m−2=t+1t≥2，当且仅当t=1，即x0=0时取等号，
解得m≥1，当t=13或t=3时，(4m−2)max=3+13=103，解得m≤43，
所以1≤m≤43.
故答案为：[1,43].
【解析】根据新定义得到存在x0∈[−1,1]，使f(−x0)=−f(x0)，转化为4m−2=3x0+3−x0有解，建立不等式求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】(−3712,−3]
【解析】解：由函数f(x)= x+1+a单调递增，且函数f(x)存在“倍值区间”，
存在−1≤m设u= m+1≥0v= n+1>0，则0≤u因此二次函数g(x)=3x2−x−3−a在[0,+∞)上有两个零点u，v且u则g(0)=−3−a≥012×3>0Δ=1+12(3+a)>0，解得−3712故答案为：(−3712,−3].
根据函数新定义及f(x)的单调性质，存在−1≤m本题主要考查函数单调性的应用以及函数值域问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+31.5×612× 3
=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.
(2)因为2cs2α+3csαsinα−3sin2α=1，
所以cs2α+3csαsinα−3sin2α+cs2α−1=0，
所以cs2α+3csαsinα−4sin2α=0⇒(csα−sinα)(csα+4sinα)=0，
所以csα=sinα或csα=−4sinα，即tanα=1或tanα=−14，
又α∈(−32π,−π)，α为第二象限角，所以tanα<0，所以tanα=−14；
所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9csα=2sinα−3csα4sinα−9csα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720.
【解析】(1)根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
(2)由已知条件可得tanα=−14，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
本题主要考查了对数及指数的运算性质，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=12cs2x− 32sin2x+1−cs2x=−sin(2x+π6)+1，
由2x+π6=kπ，得x=kπ2−π12,k∈Z，
所以f(x)的对称中心为(kπ2−π12,1),k∈Z；
(2)由f(α)=25，得1−sin(2α+π6)=25，即sin(2α+π6)=35，
由α∈(π4,π2),2α+π6∈(23π,76π)，知cs(2α+π6)=−45，
所以sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)csπ6−cs(2α+π6)sinπ6
=35⋅ 32−(−45)⋅12=3 3+410.
【解析】(1)先化简f(x)的解析式，再由正弦函数的性质得出f(x)的对称中心；
(2)由条件可得sin(2α+π6)=35，结合角α的范围，求出cs(2α+π6)的值，再由2α=(2α+π6)−π6，结合正弦函数的差角公式可得答案．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属中档题．
19.【答案】解：(1)设−2≤x1f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=(x2−x1)(x1x2−4)(x12+4)(x22+4)，
因为−2≤x1所以x2−x1>0，x1x2<4⇒x1x2−4<0，
所以f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[−2,2]单调递增；
(2)由于对任意的x1∈[−2,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，
所以函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
由(1)知f(x)在[−2,2]单调递增，f(−2)=−14，f(2)=14，
所以f(x)的值域为[−14,14]，
当k>0时，g(x)在[−1,2]单调递增，g(−1)=1−k，g(2)=8k+1，
所以g(x)∈[1−k,8k+1]，由1−k≤−1414≤8k+1，解得：k≥54，
当k<0时，g(x)在[−1,2]单调递减，g(−1)=1−k，g(2)=8k+1，
所以g(x)∈[8k+1,1−k]，由8k+1≤−1414≤1−k，解得：k≤−532，
综上所述，k∈(−∞,−532]∪[54,+∞).
【解析】(1)利用函数单调性的定义，即可证明；
(2)根据(1)的结果求函数f(x)的值域，讨论k>0和k<0两种情况求函数g(x)的值域，转化为子集问题，即可求解．
本题考查了指数函数的性质、用定义法证明函数的单调性及分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设|BC|=a.∵∠CAB=30∘，则|AB|= 3a.
tan∠EAB=5+b 3b，tan∠DAB=10+b 3b.
∴tan∠DAE= 39=tan(∠DAB−∠EAB)=10+b 3b−5+b 3b1+10+b 3b⋅5+b 3b.化为：2b2−15b+25=0，
解得b=5或52.
∵AC>5.
∴b=5.∴AC=10.
(2)设AP=kAC，A(−5 3,0)，C(0,5).
则P(5 3k−5 3,5k).(0≤k≤1).
作PF⊥BC，垂足为F点，则F(0,5k).
∴tan∠DPF=DFPF=15−5k5 3(1−k)，tan∠EPF=EFPF=10−5k5 3(1−k).
tanθ=tan(∠DPF−∠EPF)=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF= 3(1−k)4k2−11k+9=f(k)，
f′(k)=2 3(2k2−4k+1)(4k2−11k+9)2，k=2− 22时，
f(k)取得最大值，
CP= (5 3k−5 3)2+(5k−5)2=10(1−k)=5 2.
【解析】(1)设|BC|=a.由∠CAB=30∘，则|AB|= 3a.可得tan∠EAB=5+b 3b，tan∠DAB=10+b 3b.利用tan∠DAE= 39=tan(∠DAB−∠EAB)，代入即可得出．
(2)设AP=kAC，A(−5 3,0)，C(0,5).则P(5 3k−5 3,5k).(0≤k≤1).作PF⊥BC，垂足为F点，则F(0,5k).tan∠DPF=DFPF=15−5k5 3(1−k)，tan∠EPF=EFPF=10−5k5 3(1−k).可得tanθ=tan(∠DPF−∠EPF)=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF= 3(1−k)4k2−11k+9=f(k)，利用导数已经其单调性即可得出．
本题考查和差公式、利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由f(x)是定义在R的奇函数，则有f(0)=0，得a=1，
把a=1代入函数得f(x)=1−2x2x+1+2，
而f(−x)=1−2−x2−x+1+2=(1−2−x)2x(2−x+1+2)2x=2x−12+2x+1=−f(x)，
所以a=1符合题意；
(2)f(x)=1−2x2x+1+2=−2x−1+22(2x+1)=−12+12x+1，
因为函数2x+1>0且在R单调递增，
所以y=12x+1在R上单调递减，从而f(x)在R上单调递减．
f(x2−kx)+f(2−x)>0⇔f(x2−kx)>f(x−2)，
因为f(x)在R上单调递减．
得x2−kx令f(x)=x2−(k+1)x+2，x∈[−1,3]，
则依题意只需g(x)min<0，
易得g(x)的对称轴是x=k+12，
①当k+12≥3，即k≥5时，g(x)在[−1,3]上单减，
g(x)min=g(3)=8−3k<0，即k>83，
所以k≥5；
②当−1解得：k<−1−2 2或k>−1+2 2，
所以−1+2 2③当k+12≤−1，即k≤−3时，g(x)在[−1,3]上单增，
g(x)min=g(−1)=4+k<0，即k<−4，
所以k<−4，
综上知：存在实数k∈(−∞,−4)∪(−1+2 2,+∞)满足题设．
【解析】(1)由f(x)是定义在R的奇函数，利用f(0)=0，即可求出a的值，再利用定义验证．
(2)先假设存在实数k满足题意，然后再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，再根据有解问题进行求解即可．
本题考查了函数的奇偶性，单调性以及不等式的有解问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由f(x)=2x为“G(2)函数”，
得f(x0+2)=f(x0)+f(2)，即2x0+2=2x0+22，
解得x0=lg243，故实数x0的值为lg243.
(2)证明：由h(x)=2x+x2，
则h(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，h(x0)+h(1)=2x0+x02+3，
令2x0+1+(x0+1)2=2x0+x02+3，得2x0=−2x0+2，
设y=2x，g(x)=−2x+2，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数x0，使得h(x0+1)=h(x0)+h(1)成立，
所以函数h(x)=2x+x2为“G(1)函数”．
(3)函数f(x)=lgax2+1有意义，则a>0，定义域为R，
因为函数f(x)=lgax2+1为“G(1)函数”，
所以存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，
即存在实数x0使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，
所以存在实数x0使得2x02+2(x0+1)2+1=a成立，即(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，
所以当a=2时，x0=−12，满足题意；
当a≠2时，Δ=4a2−4(a−2)(2a−2)≥0，即a2−6a+4≤0，
解得3− 5≤a≤3+ 5且a≠2，
所以实数a的取值范围是[3− 5,3+ 5].
【解析】(1)根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果．
(2)令h(x0+1)=h(x0)+h(1)，得2x0=−2x0−2，设y=2x，g(x)=−2x−2，根据图象可知有解，得证．
(3)根据题意得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，a>0，进而整理得存在实数x0使得(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，再结合a=2和a≠2讨论求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，属于中档题．