2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg(−3−x)}，B=(−4,1)，则A∪B=( )
A. (−∞,1)B. (−4,−3]C. (−4,+∞)D. [−3,−1)
2.sin240∘=( )
A. − 32B. 32C. 12D. −12
3.“角α是第三象限角”是“sinα⋅tanα<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知x，y∈(0,+∞)，3x−4=(19)y，则xy的最大值为( )
A. 2B. 98C. 32D. 94
5.已知a=lg213，b=2−0.3，c=lg225，则a，b，c的大小关系为( )
A. a6.函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( )
A. y=2sin(2x−π4)B. y=2sin(2x+π4)
C. y=2sin(x+3π8)D. y=2sin(x2+7π16)
7.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=e2x−1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln13)=( )
A. 3B. −3C. 8D. −8
8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼(Riemann)发现提出黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为：当x=qp为真约数且p，q∈N*时，R(x)=1p，当x=0，1或[0,1]上的无理数时，R(x)=0，若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x∈R，f(x)+f(x+2)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(π)−f(20235)=( )
A. −25B. −15C. 15D. 25
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设α∈R，则下列结论中正确的是( )
A. sin(2π−α)=−sinαB. cs(α−π)=csα
C. cs(3π2−α)=−sinαD. tan(−α−π)=tanα
10.下列叙述正确的是( )
A. 若幂函数f(x)的图象经过点(27,13)，则该函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
B. 命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”
C. 函数f(x)=ln(x2+2x−3)的单调递增区间为(−1,+∞)
D. 函数f(x)=(12)x与函数g(x)=−lg2x互为反函数
11.已知函数f(x)=|tanx|，则下列关于函数f(x)的图象与性质的叙述中，正确的有( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)在(kπ,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
D. f(π5)12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2A. a>0
B. a+b+c<0
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−12或x>−13}
D. c2+4a+b的最小值为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg 2+12lg5+(278)13=______.
14.已知csα=23，270∘<α<360∘，则csα2的值为______.
15.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120∘，AC=2OC=4，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是______.
16.已知函数f(x)=cs(2x−π3),t四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知cs(π2+α)cs(π+α)=−2，求3sinα+2csαsinα−2csα的值.
(2)已知角α的终边过点P(3,4)，sinβ=513，β∈(π2,3π2)，求cs(α+β)的值.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2x+ 3sin2x.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[π3,5π6]上的值域.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x+a+b(a>0,b∈R)是定义在R上的奇函数，其图象经过点(2,−25).
(Ⅰ)求实数a，b的值；
(Ⅱ)求不等式f(x2−3x)−25<0的解集．
20.(本小题12分)
国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f(x)=44.21sin(π3x)+0.21,0≤x<254.27e−0.3x+10.18,x≥2.
根据上述条件，回答以下问题：
(1)试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算)(参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2x−4)+lga(5−x)(a>0且a≠1)的图象过点P(3,−2).
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在[3,92]上的最大值；
(3)若2m=3n=t(5222.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
(1)若f(x)为偶函数，求函数g(x)=lg[f(x−π6)+12]的定义域；
(2)若f(x)过点(π6,1)，设h(x)=cs2x+2asinx，若对任意的x1∈[−π2,π2]，x2∈[0,π2]，都有h(x1)答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A={x|y=lg(−3−x)}={x|x<−3}，B=(−4,1)，
则A∪B=(−∞,1).
故选：A.
先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=− 32，
故选：A.
由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：①当角α是第三象限角时，则sinα<0，tanα>0，∴sinα⋅tanα<0，∴充分性成立，
②当角α是第二象限角时，则sinα>0且tanα<0，∴sinα⋅tanα<0，∴必要性不成立，
∴角α是第三象限角是sinα⋅tanα<0的充分不必要条件．
故选：A.
利用三角符号的判断，充要条件的定义判定即可．
本题考查了三角符号的判断，充要条件的判定，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：∵3x−4=(19)y=3−2y，
∴x−4=−2y，∴x+2y=4，
∵x，y∈(0,+∞)，
∴4=x+2y≥2 2xy，∴xy≤2，
当且仅当x=2y，即x=2，y=1时取等号，
∴xy的最大值为2，
故选：A.
利用指数幂的运算求出x+2y=4，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，指数幂的运算，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
则lg213故a0则0综上所述，b>c>a.
故选：C.
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根据三角函数的部分图象求解析式，属于基础题．
观察图象可求出周期，进而求出ω，然后代入(π8,2)求出φ.
【解答】
解：由图象可知，T2=5π8−π8=π2，
所以T=π，
由T=2πω，得ω=2，
所以y=2sin(2x+φ).
∵点(π8,2)在函数图象上，
∴2=2sin(2×π8+φ)，因为|φ|<π2，
∴φ=π4，
所以解析式为y=2sin(2x+π4).
故答案为B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础题．
由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，则f(ln13)=f(−ln3)=−f(ln3)，代入已知可求．
【解答】
解：∵f(ln13)=f(−ln3)，
∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)
∵当x≥0时，f(x)=e2x−1，
则f(ln13)=f(−ln3)=−f(ln3)=−(e2ln3−1)=−(eln9−1)=−8.
故选D.
8.【答案】B
【解析】解：由题意f(x+2)=−f(x)⇒f(x+4)=−f(x+2)，则f(x+4)=f(x)，
所以偶函数f(x)的周期为4，
f(π)=f(π−4)=f(4−π)=R(4−π)=0，
f(20235)=f(404+35)=f(35)=R(35)=15，
所以f(π)−f(20235)=−15.
故选：B.
根据已知可推得偶函数f(x)的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，sin(2π−α)=sin(−α)=−sinα，
即A正确；
对于B，cs(α−π)=cs(π−α)=−csα，
即B错误；
对于C，cs(3π2−α)=−sinα，
即C正确；
对于D，tan(−α−π)=tan(−α)=−tanα，
即D错误．
故选：AC.
结合诱导公式逐一判断即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了诱导公式，属基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A项，设幂函数为y=xα，则13=27α，∴α=−13<0，故y=x−13，
则该函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，A项正确；
B项，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，B项正确；
C项，x2+2x−3>0，∴(x+3)(x−1)>0，∴x>1或x<−3，
则函数f(x)=ln(x2+2x−3)的单调递增区间为(1,+∞)，C项错误；
D项，函数f(x)=(12)x与函数g(x)=lg12x=−lg2x互为反函数，D项正确．
故选：ABD.
A项，设幂函数为y=xα，将点的坐标代入即可判断；B项，“∀”变成“∃x”，对结论否定；C项，求定义域，根据复合函数判断法则判断即可；D项，根据反函数的定义判断即可．
本题考查函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
去绝对值得到解析式，画出函数f(x)的部分图象，结合正切函数的图象与性质，对各选项进行分析即可．
【解答】
解：因为函数f(x)=|tanx|=tanx,x∈[kπ,kπ+π2),k∈Z−tanx,x∈(kπ−π2,kπ),k∈Z,画出函数f(x)的部分图象，如图所示：
对于A，函数f(x)=|tanx|的最小正周期为π，选项A正确；
对于B，函数f(x)在(kπ,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增，选项B正确；
对于C，根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，选项C正确；
对于D，f(4π5)=|tan4π5|=tanπ5=f(π5)，所以选项D错误．
故选ABC.
12.【答案】BCD
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2∴a<02+3=−ba2×3=ca，
即b=−5a，c=6a，且a<0，
故选项A错误；
a+b+c=a−5a+6a=2a<0，故选项B正确；
cx2−bx+a<0可化为6ax2+5ax+a<0，
即6x2+5x+1>0，
故不等式的解集为{x|x<−12或x>−13}，
故选项C正确；
c2+4a+b=36a2+4−4a=(−9a)+(−1a)≥6，
当且仅当a=−13时，等号成立，
故选项D正确；
故选：BCD.
由不等式与方程的关系得a<02+3=−ba2×3=ca，从而可得b=−5a，c=6a，且a<0，再依次对四个选项判断即可．
本题考查了二次不等式及二次方程关系及基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：原式=12lg2+12lg5+(32)3×13
=12lg10+32=12+32=2.
故答案为：2.
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
14.【答案】− 306
【解析】解：因为270∘<α<360∘，
所以135∘<α2<180∘，csα2<0，
因为csα=2cs2α2−1=23，
则csα2=− 306或 306(舍去).
故答案为：− 306.
利用二倍角的余弦公式即可求解．
本题主要考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】32π3
【解析】解：因为120∘=2π3，
由题意可得，扇形AOB的面积是12×2π3×62=12π，
扇形COD的面积是12×2π3×22=43π.
所以扇面(曲边四边形ABDC)的面积是12π−43π=32π3.
故答案为：32π3.
由大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求得．
本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
16.【答案】[−π12,0)∪[5π12,11π12)
【解析】解：由cs(2x−π3)=0，可得2x−π3=kπ+π2，
所以x=12kπ+5π12，k∈Z，
当k=2时，x=17π12<3π2，当k=1时，x=11π12，当k=0时，x=5π12，当k=−1时，x=−π12，
k=−2时，x=−7π12，
当x=0时，2x=0，
要使函数f(x)=cs(2x−π3),t结合图象可得t的取值范围是[−π12,0)∪[5π12,11π12).
故答案为：[−π12,0)∪[5π12,11π12).
由cs(2x−π3)=0，可得2x−π3=kπ+π2，当x=0时，2x=0，结合图象可得结论．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为cs(π2+α)cs(π+α)=−sinα−csα=−2，
所以tanα=−2，
所以3sinα+2csαsinα−2csα=3tanα+2tanα−2=1；
(2)因为角α的终边过点P(3,4)，
则sinα=45，csα=35，
因为sinβ=513，β∈(π2,3π2)，
所以csβ=− 1−sin2β=− 1−(513)2=−1213，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=35×(−1213)−45×513=−5665.
【解析】(1)先求出tanα=−2，再弦化切即可；
(2)求出α，β的正余弦值，代入即可．
本题考查三角函数求值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=2sin2x+ 3sin2x= 3sin2x+1−cs2x=2sin(2x−π6)+1，
令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
则f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；
(2)因为f(x)=2sin(2x−π6)+1，
将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，
可得g(x)=2sin[2(x−π12)−π6]+1=2sin(2x−π3)+1.
因为x∈[π3,5π6]，所以π3≤2x−π3≤4π3，
所以− 32≤sin(2x−π3)≤1，则− 3+1≤2sin(2x−π3)+1≤3，
即g(x)在区间[π3,5π6]内的值域为[− 3+1,3].
【解析】(1)根据三角恒等变换可得f(x)=2sin(2x−π6)+1，然后根据三角函数的性质即得；
(2)根据图象变换规律可得g(x)=2sin(2x−π3)+1，然后根据正弦函数的性质即得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)根据条件f(x)是R上的奇函数，a>0，
所以f(0)=0，即11+a+b=0，
又f(2)=19+a+b=−25，
解得a=1,b=−12，经检验，满足题意；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=13x+1−12，于是f(x)在R上严格减，
又f(2)=−25，于是不等式f(x2−3x)−25<0可化为f(x2−3x)+f(2)<0
因f(x)是R上的奇函数，所以f(x2−3x)<−f(2)=f(−2)，
于是x2−3x>−2，即x2−3x+2>0，解得x>2或x<1，
所以原不等式的解集为(−∞,1)∪(2,+∞).
【解析】(I)由已知结合奇函数性质f(0)=0及函数图象经过点(2,−25)代入可求a，b；
(II)先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了奇函数定义的应用，待定系数求解函数解析式，还考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由图可知，当函数f(x)取得最大值时，0此时f(x)=44.21sin(π3x)+0.21.
当π3x=π2时，即x=32时，函数f(x)取得最大值为ymax=44.21+0.21=44.42，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
(2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x>2，
由54.27e−0.3x+10.18<20，得e−0.3x<，
两边取自然对数得lne−0.3x<，
即−0.3x∴x>2.28−3.99−0.3=5.7，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．
【解析】(1)由图可知，当函数f(x)取得最大值时，0(2)由题意可得54.27e−0.3x+10.18<20，两边取对数，解得即可求出．
本题主要考查了分段函数求解析式，以及求函数的最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知f(3)=lga2+lga2=−2，a=12，
2x−4>05−x>0 解得2所以定义域为(2,5)；
(2)f(x)=lg12(2x−4)+lg12(5−x)=lg12(2x−4)(5−x)=lg12(−2x2+14x−20)，
因为−2x2+14x−20=−2(x−72)2+92，3≤x≤92，
则52≤−2(x−72)2+92≤92，
所以lg1292≤lg12(−2x2+14x−20)≤lg1252，
故最大值为f92=lg1252=−lg252；
(3)因为2m=3n=t(52所以2m=lg 2t，3n=lg33t，
又 2=68，33=69>68= 2>1，
所以2m>3n，
因为52因为27=256>34=81，所以7>4lg23，lg23<74，即2m<72，
所以3n<2m<72，
因为n=lg3t>lg352，3n>3lg352=lg31258>lg39=2，
所以2m∈(2,72)，3n∈(2,72)，
因为u=−2x2+14x−20在(2,72)上是增函数，又y=lg12u在u>0时是减函数，
所以f(x)在(2,72)上是减函数，
所以f(2m)【解析】本题主要考查函数的最值，对数函数的运算与性质，函数值的大小比较，属于中档题．
(1)由f(3)=−2求得a，由对数函数的定义得定义域；
(2)函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
(3)指数式改写为对数式，然后比较2m，3n的大小，并由已知得出2m，3n的范围，在此范围内由f(x)的单调性得大小关系．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)为偶函数，所以φ=π2，
所以f(x)=cs2x，由f(x−π6)+12>0，可得cs(2x−π3)>−12，
2kπ−2π3<2x−π3<2kπ+2π3，k∈Z，
所以kπ−π6所以g(x)的定义域是{x|kπ−π6(2)因为f(x)过点(π6,1)，所以1=sin(π3+φ)(0<φ<π),φ=π6，φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)，又因为x2∈[0,π2]，2x2+π6∈[π6,7π6]，
所以f(x2)=sin(2x2+π6)∈[−12,1]，
又因为对任意的x1∈[−π2,π2]，x2∈[0,π2]，都有h(x1)所以h(x1)maxh(x)=cs2x+2asinx=−sin2x+2asinx+1=a2+1−(sinx−a)2，
因为x1∈[−π2,π2]，所以sinx1∈[−1,1]，
设t=sinx1∈[−1,1]，
则有g(t)=a2+1−(t−a)2图像是开口向下，对称轴为t=a的抛物线，
当a≥1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递增，所以g(t)max=g(1)=2a，
所以2a<52，解得a<54，所以1≤a<54，
当a≤−1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递减，
所以g(t)max=g(−1)=−2a，所以−2a<−52，解得a>−54，
所以−54当−1所以a2+1<52，解得− 62所以−1综上所述：实数a的取值范围为(−54,54).
【解析】(1)由函数f(x)为偶函数可求出φ，从而可得f(x)的解析式，由对数函数的性质可得f(x−π6)+12>0，解三角函数不等式即可得解；
(2)由题意可将问题转化为h(x1)max本题主要考查函数恒成立问题，函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．