2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∪(∁RB)=( )
A. {x|x>1}B. {x|x≥−1}C. {x|12.下列四组函数中f(x)与g(x)是同一函数的是( )
A. f(x)=2lgx，g(x)=lgx2
B. f(x)=(12)x,g(x)=x12
C. f(n)=2n+1(n∈Z)，g(x)=2x+1(x∈R)
D. f(x)=|x|,g(x)= x2
3.若p：1a>−1，q：a<−1，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数g(x)=−lgbx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，若a=f(2cs23π)，b=f(lg124.1),c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a6.将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )
A. y=2sin(2x+π4)B. y=2sin(2x+π3)C. y=2sin(2x−π4)D. y=2sin(2x−π3)
7.已知常数a>0，函数f(x)=3x3x+ax经过点P(p,85)，Q(q,−35)，若3p+q=16pq，则a的值为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
8.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字申，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，若csa4π−θ=13，则sin2θ=( )
A. −79B. −29C. 29D. 79
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若−2C. 若bmb
D. 若a>b，c>d，则ac>bd
10.德国数学家狄利克雷(1805∼1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有( )
A. D( 2)=0B. D(x)的值域为{0,1}
C. D(x)为奇函数D. D(x−1)=D(x)
11.下列四个等式中正确的是( )
A. tan25∘+tan35∘+ 3tan25∘tan35∘= 3
B. 3tan12∘−3sin12∘(4cs212∘−2)=−4 3
C. sin(2024π−θ)=sinθ
D. tan15∘1−tan215∘= 36
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f(1−x)=−f(1+x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x−2，则( )
A. f(x)是以2为周期的周期函数
B. f(x−2)+f(−4−x)=0
C. f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)+f(2023)=2
D. 函数y=f(x)−lg2(x+1)有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题p：∀x>1，x3>x2，则p的否定是______.
14.已知函数f(x)=(m2−2m−2)⋅xm−2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m=______.
15.已知正实数x，y满足x+2y=3，则1x+1+12y的最小值为______.
16.已知函数f(x)=|lg3(x−1)|,14，若方程f(x)=n有4个解分别为x1，x2，x3，x4，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)(0.027)−13+ (π−3)2+212×618；
(2)lg25+lg22+lg2⋅lg25+lg25⋅lg258+eln2.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|(x+1)(x−a)<0}，B=[−1, 5).
(1)若a= 6，求∁RA，A∩B及A∪B；
(2)若A⊆B，求a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1.
(1)求f(x)的周期和单调区间；
(2)若f(α)=85，α∈(π4,π2)，求cs2α的值.
20.(本小题12分)
某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧AB、CD所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为θ(弧度).
(1)若θ=2π3，r1=3，r2=6，求花坛的面积；
(2)根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3x9⋅lg3(3x)，函数g(x)=4x−2x+1+2.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若∀m∈[−1,2]，不等式f(x)−g(m)≥0成立，求实数x的取值范围.
22.(本小题12分)
某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．
(提示：月总利润=月销售总收入-月总成本)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，
所以∁RB={x|x≥1}，
所以A∪(∁RB)={x|x≥−1}.
故选：B.
根据集合的定义计算即可．
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：f(x)=2lgx，
则函数f(x)的定义域为{x|x>0}，
g(x)=lgx2，
则g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；故A错误；
函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数；故B错误；
函数f(n)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，定义域不同，不是同一函数，故C错误；
f(x)=|x|，g(x)= x2=|x|，二者的解析式相同，定义域相同，映射关系相同，值域相同，故是同一函数，故D正确．
故选：D.
根据已知条件，结合同一个函数的定义，即可求解．
本题主要考查同一个函数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
先求出p成立时a的范围，根据包含关系可解决此题．
【解答】
解：由p：1a>−1，变形得1+aa>0，解得a<−1或a>0，
q：a<−1，
∴可知(−∞,−1)⫋(−∞,−1)∪(0,+∞)，
∴p是q的必要不充分条件．
故选B.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．
先求出a、b的关系，将函数g(x)进行化简，得到函数f(x)与函数g(x)的单调性在定义域内相同，再进行判定．
【解答】
解：∵lga+lgb=0，
∴ab=1，则b=1a，
从而g(x)=−lgbx=lgax，f(x)=ax，
∴函数f(x)与函数g(x)的单调性在定义域内相同，
结合选项可知选B，
故答案为B.
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)的定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，
a=f(2cs2π3)=f(2csπ3)=f(1)，b=f(lg124.1)=f(lg24.1)，c=f(20.8)，
又由函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，则f(x)在(0,+∞)上为增函数，
且1<20.8<2则a故选：A.
本题主要考查函数的奇偶性，单调性的应用，属于中档题．
根据题意，可得函数f(x)为偶函数，根据偶函数的性质和单调性求解即可．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象平移变换．
求得函数的最小正周期，根据平移规律得到平移后的函数式为y=2sin[2(x−π4)+π6]，化简整理即可得到所求函数式．
【解答】解：函数y=2sin(2x+π6)的周期为T=2π2=π，
由题意函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位，
可得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6]，
即y=2sin(2x−π3).
故选D.
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=3x3x+ax=11+ax3x.
f(p)=3p3p+ap=11+ap3p=85，即ap3p=−38，
f(q)=3q3q+aq=11+aq3q=−35，即aq3q=−83，
两式相乘得a2pq3p+q=1，所以a2pq=3P+q，
又因为3p+q=16pq，a>0，
所以a2=16，
解得a=4.
故选：C.
代入P，Q的坐标，得ap3p=−38，aq3q=−83，即有a2pq3p+q=1，再结合3p+q=16pq及a>0求解即可．
本题考查了指数运算，指数型函数的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意，任取数字2023，经过一步变为314，经过第二步变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a=123，
代入csa4π−θ=cs1234π−θ=cs34π−θ= 22sinθ− 22csθ=13，
所以sinθ−csθ= 23，
两边同时平方得：1−2sinθcsθ=1−sin2θ=29，
所以sin2θ=79，
故选：D.
由已知新定义可求a，代入到已知等式中进行化简，然后结合同角平方关系及二倍角公式可求．
本题以新定义为载体，主要考查了和差角公式，同角平方关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，c=0时，显然错误，
对于B，∵−2∴−2∴−4对于C，∵b∴1a<1b<0，
∴ma>mb，故C正确，
对于D，令a=−1，b=−2，c=2，d=1，显然错误，
故选：BC.
根据不等式的基本性质分别判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意可得狄利克雷函数D(x)={1,x为有理数0,x为无理数，
选项A：因为 2为无理数，则D( 2)=0，故A正确，
选项B：由函数的解析式可得狄利克雷函数D(x)的值域为{0,1}，
选项C：因为函数值0与1不关于原点对称，故C错误，
选项D：若x为有理数，则x−1也为有理数，所以D(x−1)=D(x)=1，
若x为无理数，则x−1为无理数，所以D(x−1)=D(x)=0，故D正确，
故选：ABD.
由已知可得狄利克雷函数D(x)={1,x为有理数0,x为无理数，然后对应各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题的应用，涉及到狄利克雷函数D(x)的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：tan25∘+tan35∘+ 3tan25∘tan35∘
=tan(25∘+35∘)(1−tan25∘tan35∘)+ 3tan25∘tan35∘= 3，故A正确；
3tan12∘−3sin12∘(4cs212∘−2)= 3sin12∘cs12∘−32sin12∘⋅cs24∘= 3sin12∘−3cs12∘2sin12∘⋅cs12∘cs24∘
=2 3(12sin12∘− 32cs12∘)sin24∘cs24∘=4 3sin(12∘−60∘)2sin24∘cs24∘=4 3sin(−48∘)sin48∘=−4 3，故B正确；
根据诱导公式知sin(2024π−θ)=−sinθ，故C错误；
tan15∘1−tan215∘=12×2tan15∘1−tan215∘=12×tan30∘= 36，故D正确．
故选：ABD.
利用三角相关公式逐个选项计算即可．
本题考查三角求值问题，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：已知f(x)为偶函数，且f(1+x)=−f(1−x)，又1−x+1+x2=1，即f(x)关于(1,0)对称，
则f(x+4)=f(1+x+3)=−f(1−(x+3))=−f(−2−x)
=−f(−(2+x))=−f(2+x)=−f(1+1+x)=f(1−(1+x))=f(−x)=f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，故A错误；
因为f(x)的周期为4，f(x)关于(1,0)对称，
所以(−3,0)是函数f(x)的一个对称中心，则f(x−2)+f(−4−x)=0成立，故B正确；
因为f(x)的周期为4，且f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0，
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)+f(2023)=0，故C错误；
作出函数f(x)与y=lg2(x+1)的图象，易得两个函数有3个交点，
所以函数y=f(x)−lg2(x+1)有3个零点，故D正确．
故选：BD.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期，属于中档题．
13.【答案】∃x0>1，x03≤x02
【解析】解：命题p：∀x>1，x3>x2的否定是：∃x0>1，x03≤x02.
故答案为：∃x0>1，x03≤x02.
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意得m2−2m−2=1，解得m=3或−1，
当m=3时，f(x)=x，在(0,+∞)上递增，满足要求，
当m=−1时，f(x)=x−3，在(0,+∞)上递减，不合要求，
故m=3.
故答案为：3.
根据系数为1得到方程，求出m=3或−1，结合单调性舍去m=−1，得到答案．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：因为正实数x，y满足x+2y=3，所以(x+1)+2y=4，
所以1x+1+12y=14(1x+1+12y)[(x+1)+2y]=14(2+2yx+1+x+12y)
≥14(2+ 2yx+1⋅x+12y)=1，
当且仅当2yx+1=x+12y，即x=y=1时取等号，
所以1x+1+12y的最小值为1.
故答案为：1.
由题意可得(x+1)+2y=4，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】10
【解析】解：作出函数f(x)的大致图象，如下：
可知，0lg3(x1−1)=−n，lg3(x2−1)=n，
得x1=3−n+1,x2=3n+1，∴1x1+1x2=13−n+1+13n+1=13n+1+3n1+3n=1；
当x>4时，由x2−10x+21=n有2个解x3，x4，根据图象的对称性，得x3+x4=10.
∴(1x1+1x2)(x3+x4)=1×10=10.
故答案为：10.
作出函数f(x)图象，由对数函数的性质可得1x1+1x2=1，由二次函数的对称性可得x3+x4=10，代入(1x1+1x2)(x3+x4)求解即可．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(0.027)−13+ (π−3)2+212×618=(100027)13+π−3+212×(12)12=103+π−3+1=43+π；
(2)lg25+lg22+lg2⋅lg25+lg25⋅lg258+eln2=lg25+lg22+2lg2⋅lg5+lg5lg2⋅3lg22lg5+2=(lg2+lg5)2+32+2=92.
【解析】结合指数的运算性质可求(1)，结合对数的运算性质可求(2).
本题主要考查了指数与对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a= 6时，A={x|(x+1)(x− 6)<0}={x|−1则∁RA={x|x≤−1或x≥ 6}，所以A∩B={x|−1(2)当a=−1时，A=⌀，显然A⊆B成立；
当a<−1时，A=(a,−1)，显然A⊆B不成立；
当a>−1时，A=(−1,a)，
因为A⊆B，B=[−1, 5),所以a≤ 5，即此时−1综上，a的取值范围是{a|−1≤a≤ 5}.
【解析】(1)运用集合交、并、补运算即可．
(2)分别解a=−1、a<−1、a>−1时一元二次不等式的解集，结合集合包含关系求解即可．
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)，
∴T=2π2=π；
∴令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，
(2)∵f(α)=2sin(2α+π6)=85，
∴可得sin(2α+π6)=45，
∵α∈(π4,π2)，可得2α+π6∈(2π3,7π6)，
∴cs(2α+π6)=− 1−sin2(2α+π6)=−35，
∴cs2α=cs(2α+π6−π6)=cs(2α+π6)csπ6+sin(2α+π6)sinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310.
【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f(x)的最小正周期；利用正弦函数的性质可求其单调区间．
(2)由已知可得sin(2α+π6)=45，可求范围2α+π6∈(2π3,7π6)，利用同角三角函数基本关系式可求cs(2α+π6)的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设花坛的面积为S，则S=12r22θ−12r12θ=12×36×2π3−12×9×2π3=9π
答：花坛的面积为9π(m2)
(2)AB的长为r1θ米，CD的长为r2θ米，线段AD的长为(r2−r1)米
由题意知S=12r22θ−12r12θ=12(r1θ+r2θ)(r2−r1)=32，
则r1θ+r2θ=64r2−r1，
记r2−r1=x，则x>0，装饰总费用为y，
则y=45×2(r2−r1)+90(r1θ+r2θ)=90(x+64x)，(0用定义法可证明y关于x在(0,8]单调递减，在[8,+∞)单调递增，
所以当x=8时，y有最小值为1440，
故当线段AD的长为8米时，花坛的装饰费用最小．
【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，属于中档题．
(1)设花坛的面积为S，则S=12r22θ−12r12θ，即可得出结论，
(2)记r2−r1=x，则x>0，装饰总费用为y，则y=90(x+64x)，(021.【答案】解：(1)f(x)=lg3x9⋅lg3(3x)=(lg3x−2)(lg3x+1)=(lg3x)2−lg3x−2=(lg3x−12)2−94，
∴显然当lg3x=12，即x= 3时，f(x)min=−94，
∴f(x)的最小值为−94；
(2)∵∀m∈[−1,2]，使不等式f(x)−g(m)≥0成立，
∴f(x)≥g(m)max，又g(x)=4x−2x+1+2=(2x−1)2+1，
∴g(m)=(2m−1)2+1，
又m∈[−1,2]，显然当m=2时，g(m)max=(22−1)2+1=10，
∴有f(x)≥10，即(lg3x)2−lg3x−2≥10，
可得(lg3x−4)(lg3x+3)≥0，
∴lg3x≤−3或lg3x≥4，解得0故实数x的取值范围为(0,127]∪[81,+∞).
【解析】(1)将f(x)化为关于lg3x的二次函数后求最小值；
(2)由题意知f(x)≥g(m)max，求得g(m)max后再解关于lg3x的二次不等式即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设饮料每瓶售价为a元，
由题意得[8−0.8(a−15)](a−10)≥(15−10)×8，即a2−35a+300≤0，
解得15≤a≤20，
故饮料每瓶售价最多为20元；
(2)每瓶售价x(x≥16)元，设下月总利润为W，则每瓶利润为(x−10)元，月销售量为8−0.8(x−15)2⋅(x−15)=(8−0.8x−15)万瓶，
由题意得W=(x−10)(8−0.8x−15)−334(x−16)=−14x−4x−15+51.2=−14[(x−15)+16x−15]+47.45(x≥16)，
∵x≥16，则x−15≥1，
∴(x−15)+16x−15≥2 (x−15)⋅16x−15=8，当且仅当x−15=16x−15，即x=19时，等号成立，
∴W=−14[(x−15)+16x−15]+47.45≤−14×8+47.45=45.45，
故当每瓶售价x为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．
【解析】(1)设饮料每瓶售价为a元，根据题意列出[8−0.8(a−15)](a−10)≥(15−10)×8，求解即可得出答案；
(2)每瓶售价x(x≥16)元，设下月总利润为W，表示出每瓶利润为(x−10)元，月销售量为(8−0.8x−15)万瓶，根据题意可得W=−14[(x−15)+16x−15]+47.45(x≥16)，利用基本不等式，即可得出最大值．
本题考查根据实际问题选择函数类型和一元二次不等式的解法，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．