2023-2024学年安徽省天一大联考高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年安徽省天一大联考高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|0A. (0,1]B. (0,1)C. (2,3)D. (2,3]
2.已知幂函数f(x)=(m+2)xn的图象经过点(4,2)，则m−n=( )
A. −3B. −52C. −2D. −32
3.若sinθtanθ>0，则θ为( )
A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第一、四象限角
4.已知函数f(x)=2−x−a⋅2x是奇函数，则a=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
5.函数f(x)=sin(2x+π3)在[0,π2]上的值域为( )
A. [− 32,1]B. [− 32, 32]C. [ 32,1]D. [0,1]
6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1+1%)35=1.01345；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的()365≈1481倍.照此计算，大约经过天“进步者”是“退步者”的2倍.(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈−0.00436，lg2≈0.3010)( )
A. 33B. 35C. 37D. 39
7.已知函数f(x)=21+3x，则f(−2024)+…+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=( )
A. 4047B. 4048C. 4049D. 4050
8.已知函数f(x)=x+2,x≤0,1x,0A. (1,2]B. [0,94]C. (34,2]D. [34,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>b>0，则下列结论成立的是( )
A. a2>ab>b2B. 若c∈R，则ac2>bc2
C. 若m>0，则b+ma+m>baD. 2a+ba>a+2bb
10.下列计算结果正确的是( )
A. cs(7π3)=−12B. 2sin75∘cs75∘=12
C. 若sin(π2+θ)=45，则cs2θ=725D. 若tan(θ+π4)=12，则tanθ=−13
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=2sin(2x+π6)
B. f(x)的一个单调递增区间为[11π6,7π3]
C. 函数f(x)的图象关于点(−7π12,0)对称
D. 若函数f(λx)(λ>0)在[0,π]上没有零点，则λ∈(0,512)
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为高斯函数.例如[−3.5]=−4，[2.1]=2，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=sinπ[x]2是周期函数
B. 函数f(x)=x2−[x2]在区间[ k−1, k)(k∈N*)上单调递增
C. 关于x的不等式[x]2−4[x]−12≤0的解集为[−2,6]
D. 若函数f(x)=3x1+3x−13，则函数y=[f(x)]的值域是{−1,0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合M={x|x2−11x+10<0}，N={x|x−k>0}，若M∩N=⌀，则k的取值范围是______.
14.已知实数m，n满足2m=9n=18，则1m+1n=______.
15.已知tanα=34，则2sinαcsα−sin2α+1=______.
16.已知函数f(x)=1−|x−1|,x≤2,−f(x−2),x>2,则函数g(x)=f(x)−|lgx|的零点个数为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设函数f(x)= x2−2x的定义域为集合A，集合B={0,1,2,3,4,5}.
(Ⅰ)求A∩B；
(Ⅱ)设函数g(x)=3x(x∈(1,m),m>1)的值域为集合C，若”x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知α,β∈(0,π2)，csα=35，角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合.终边经过点P(7 210, 210).
(Ⅰ)求sin(α−β)；
(Ⅱ)设函数f(x)=cs(α−β−x)cs(π4+x)+sin(α−β+x)sin(π4−x)，求f(x)的最小正周期.
19.(本小题12分)
(Ⅰ)已知正数a，b满足a+b=1，若a+9b=λab，求λ的最小值；
(Ⅱ)求x2−4x+5≥|x−1|的解集.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)+g(x)=2x+1.
(Ⅰ)求f(x)，g(x)的解析式；
(Ⅱ)设函数h(x)=[g(x)]2−4f(x)，求h(x)在[1,+∞)上的最小值，并求对应的x的值.
21.(本小题12分)
对于定义域为D的函数f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减.②存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则我们把f(x)(x∈D)称为闭函数，且区间[a,b]称为f(x)的一个“好区间”，其中b>a.
(Ⅰ)若[1,4]是函数g(x)=m x+nx的好区间，求实数m，n的值；
(Ⅱ)若函数h(x)=ln(e2x+k)为闭函数，求实数k的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6,2π3)上单调递增，且直线x=π6和x=2π3为函数f(x)的图象的两条对称轴.
(Ⅰ)求f(x)的一个解析式；
(Ⅱ)将f(x)的图象先向左平移5π12个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h(x)的图象，若对任意的x∈(0,π2)，不等式p[h(x)−1]⋅[h(x+π2)−1]答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意知∁RB=|x|x≤1或x≥3|，则A∩(CnB)=(0.1].
故选：A.
根据集合运算的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由f(x)=(m+2)xn是幂函数，
可得m+2=1，即m=−1，
由f(x)=xn的图象经过点(4,2)，可得2=4n，
解得n=12，
所以m−n=−1−12=−32.
故选：D.
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为sinθtanθ>0，
所以csθ>0且tanθ≠0.
由象限角的概念可知θ的终边在第一象限或第四象限．
故选：D.
由已知结合三角函数的定义即可判断．
本题考查三角函数定义及象限角的概念，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)是奇函数，又f(x)的定义域为R，
所以f(0)=1−a=0，
解得a=1.
故选：B.
利用奇函数的概念判断即可．
本题考查奇函数的概念及其应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由x∈[0,π2]，可得2x+π3∈[π3,4π3]，
所以f(x)=sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
即f(x)在[0,π2]上的值域为[− 32,1].
故选：A.
根据x的取值范围求得2x+π3，再结合正弦函数的图象求解即可．
本题考查了正弦函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：假设经过n天，“进步者”是”退步者”的2倍，
列方程得()n=2，
解得n=lg2lg1.01−lg0.99=−(−0.00436)≈35，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：B.
根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数和对数的运算问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=21+3x，
则f(−x)=21+3−x=2⋅3x3x+1，
故f(x)+f(−x)=2，
所以f(−2024)+f(−2023)+…+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)=4049.
故选：C.
根据已知条件，先求出f(x)+f(−x)=2，再运用这个结论，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设f(n)=f(m)=t，则m，n为直线y=t与函数y=f(x)图象的两个交点的横坐标，且14≤t≤2，
由f(n)=f(m)，得m+2=t1n=t，
则n+m=t+1t−2，
根据对勾函数的性质可知g(t)=t+1t−2在[14,1)上单调递减，
在(1,2]上单调递增，且g(14)=14+4−2=94，g(1)=1+1−2=0，g(2)=12+2−2=12，
所以n+m的取值范围是[0,94].
故选：B.
设f(n)=f(m)=t，则m，n为直线y=t与函数y=f(x)图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出n+m的取值范围．
本题考查了分段函数以及对勾函数的性质与应用问题，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为a>b>0，
所以a2−ab=a(a−b)>0，即a2>ab，
ab−b2=b(a−b)>0，即ab>b2，
故a2>ab>b2故A正确；
对于B，若c=0则ac2=bc2，故B错误；
对于C，b+ma+m−ba−m(a−b)a(a+m)>0，即b+ma+m>ba，故C正确；
对于D，2a+ba−a+2bb=ba−ab=b2−a7ab<0，故D错误．
故选：AC.
根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A.cs(7π3)=cs(2π+π3)=csπ3=12，故A错误；
对于B.2sin75∘cs75∘=sin150∘=12，故B正确；
对于C，csθ−sin(π2+θ)=45，cs2θ=2cs2θ−1=725，故C正确；
对于D.tan(θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=12，
解得tanθ=−13，故D正确．
故选：BCD.
由已知结合诱导公式，二倍角公式及和差角公式检验各选项即可判断．
本题考查诱导公式及三角恒等变换的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：A：由函数图象可得T2=11π12−5π12=π2，则T=π，所以ω=2，
又f(5π12)=0，则Asin(2×5π12+φ)=0，则φ+5π6=kπ,k∈Z，则φ=π6，则由f(0)=Asinπ6=1，解得A=2，
所以f(x)=2sin(2x+π6)，故A正确；
B：当x∈[11π6,7π3]时，2x+π6∈[2π+11π6,2π+17π6]；，则函数f(x)在x∈[11π6,7π3]不单调递增，故B错误；
C：当x=−7π12时，f(−7π12)=2sin(−2×7π12+π6)=0，所以f(x)的图象关于点(−7π12,0)对称，故C正确；
D：f(λx)的图象是由f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1λ倍得到的，由图可知f(x)在[0,5π12)上
没有零点，则f(λx)在[0,5π12λ)上没有零点，由题意得5π12λ>π，所以0<λ<512，故D正确．
故选：ACD.
A：利用图象求出函数的周期，由此求出ω，再由f(5π12)=0，求出φ的值，然后根据f(0)=1求出A的值，进而可以判断；B：利用x的范围求出2x+π6的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；C：判断f(−7π12)与0的关系，由此即可判断；D：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为f(x+4)=sinπ[x+4]2=sinπ([x]+4)2=sin(π[x]2+2π)=sinπ[x]2=f(x)，所以函数f(x)以4为周期，故A正确；
对于B，当x∈[ k−1, k)(k∈N*)时，x2∈[k−1,k),则[x2]=k−1，此时f(x)=x2−k+1单调递增，故B正确；
对于C，由[x]2−4[x|−12≤0得([x]+2)([x]−6)≤0，所以−2≤[x|≤6,所以−2≤x<7，不等式的解集为[−2,7),故C错误；
对于D：f(x)=3x1+3x−13=1+3x−11+3x−13=23−11+3x，因为3x>0，所以f(x)∈(−13,23)，
当f(x)∈(−13,0)时，y=[f(x)]=−1，当f(x)∈[0,23]时，y=[f(x)]=0，即函数y=[f(x)]的值域是{−1,0}，故D正确．
故选：ABD.
A：根据三角函数的性质以及新定义验证f(x+4)=f(x)是否成立，由此即可判断；B：根据新定义求出函数f(x)的解析式，由此即可判断；C：根据新定义解不等式即可判断；D：求出函数f(x)的值域，然后根据值域求出函数y=[f(x)]的值域即可判断．
本题考查了高斯函数的定义，涉及到函数的周期，值域问题的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
13.【答案】[10,+∞)
【解析】解：集合M={x|x2−11x+10<0}={x|10}={x|x>k},
因为M∩N=⌀，
所以k≥10，
即k的取值范围是[10,+∞).
故答案为：[10,+∞).
先求出集合M，N，再结合M∩N=⌀列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：2m=9n=18，
所以m=lg218，n=lg918，
所以1m+1n=lg1s2+lg189=lg1818=1.
故答案为：1.
根据已知条件，推得m=lg218，n=lg918，再结合对数的运算法则，即可求解．
本题主要考查对数的运算法则，属于基础题．
15.【答案】85
【解析】解：∵tanα=34，
∴2sinαcsα−sin2α+1=2sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=2tanα+1tan2α+1=4025=85.
故答案为：85.
由题意，利用同角三角函数基本关系，计算求得结果．
本题考查同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】6
【解析】解：函数g(x)的零点个数等价于函数f(x)与h(x)=|lgx|的图象交点个数，
当x>2时，f(x)=−f(x−2)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以当x>2时，f(x)是周期为4的函数；
当x≤2时，f(x)=1−|x−1|=2−x,1≤x≤2x,x<1；
所以f(x)的图象如图所示，
在同一坐标系下画出h(x)=|lgx|的图象，
因为0故答案为：6.
根据函数g(x)的零点个数等价于函数f(x)与h(x)=|lgx|的图象交点个数，在同一坐标系下画出f(x)与h(x)=|lgx|的图象，由此求出结果．
本题考查了分段函数、函数零点与图象交点问题，是中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，可得A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，
因为B={0,1,2,3,4,5}.
所以A∩B={0,2,3,4,5}；
(Ⅱ)函数g(x)=3x在(1,m)上单调递减，
所以C=(3m,3)，且m>1，
因为“x∈A”是”x∈C”的必要不充分条件，所以C是A的真子集，
则3m≥2m>1，解得1【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合交集的定义，即可求解；
(Ⅱ)先求出集合C，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为α,β∈(0,π2)，csα=35，
所以sinα=45，
因为角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(7 210, 210)，
所以sinβ= 210，csβ=7 210，
所以求sin(α−β)=sinαcsβ−sinβcsα=45×7 210− 210×35= 22；
(Ⅱ)由题意得，−π2<α−β<π2，
所以α−β=π4，
f(x)=cs(α−β−x)cs(π4+x)+sin(α−β+x)sin(π4−x)
=cs(π4−x)cs(π4+x)+sin(π4+x)sin(π4−x)
=cs2x，
故T=π.
【解析】(Ⅰ)由已知结合同角平方关系及三角函数的定义，两角差的正弦公式可求；
(Ⅱ)由(Ⅰ)先求出α−β，然后结合两角差的余弦公式进行化简，再由余弦函数的性质即可求解
本题考查任意角三角函数的概念、三角恒等变换的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为a，b均为正数，a+b=1，所以1≥2 ab，即ab≤14，1ab≥4.
所以a+9b=λab可转化为λ=a+9bab=1b+9a=(a+b)⋅(1b+9a)=(10+ab+9ba)≥10+2 ab⋅9ba≥16，
当且仅当9ba=ab，即a=14，且b=34时，等号成立．
所以λ的最小值为16.
(Ⅱ)原不等式等价于x≥1x2−5x+6≥0 ①或x<1x2−3x+4≤0②．
解①求得1≤x≤2或x≥3，解②求得x∈⌀.
所以原不等式的解集为(−∞,2]∪[3,+∞).
【解析】(Ⅰ)根据题意，由基本不等式利用1的代换，即可得到结果．
(Ⅱ)由题意分类讨论去掉绝对值，把原不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即可得出结论．
本题考查基本不等式的应用以及不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意得f(−x)+g(−x)=2−x+1，
因为f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
所以−f(x)+g(x)=2−x+1，
解得f(x)=2x−2−x，g(x)=2x+2−x；
(Ⅱ)由(1)可知h(x)=4x+4−x+2−4(2x−2−x)=(2x−2−x)2−4(2x−2−x)+4，
令t=2x−2−x，易知t在x∈R上单调递增，
所以当x∈[1,+∞)时，t≥32，
故h(x)=u(t)=t2−4t+4，t≥32，
对称轴t=2>32，
由二次函数的性质可得当t=2时，u(t)取得最小值0.
此时2=2x−2−x，
解得2x=1+ 2，即x=lg2(1+ 2).
综上：h(x)在[1,+∞)上的最小值为0，此时x=lg2(1+ 2).
【解析】(Ⅰ)根据奇函数、偶函数的定义求解即可；
(Ⅱ)由题意可得h(x)=(2x−2−x)2−4(2x−2−x)+4，令t=2x−2−x，结合指数函数、二次函数的性质求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、指数幂的运算、二次函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)若[1,4]是函数g(x)=m x+nx的好区间，
分2种情况讨论：
①若g(x)在1，4]上单调递增．则m+n=12m+n4=4，解可得m=157n=−87，
此时g(x)=157 x−87x在[1.4]上单调递增，符合条件；
②若g(x)在[1,4]上单调递减，则m+n=42m+n4=1，解可得m=0n=4，
此时g(x)=4x，符合题意，
综合可得：m=157n=−87或m=0n=4；
(Ⅱ)函数h(x)=ln(e2x+k)为闭函数，易得h(x)在定义域上单调递增，
则有ln(e2a+k)=aln(e2b+k)=b，故x=a和x=b是方程ln(e2x+k)=x，即e2x+k=ex的两根，
令t=ex，原方程等价于t2−t+k=0，
则方程t2−t+k=0有两个不等的正根，
则有Δ=1−4k>01>0k>0，解可得0【解析】(Ⅰ)根据题意，分g(x)为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于m、n的方程组，解可得答案；
(Ⅱ)根据题意，分析h(x)的单调性，可得x=a和x=b是方程ln(e2x+k)=x，即e2x+k=ex的两根，利用换元法分析可得方程t2−t+k=0有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可知T2=2π3−π6=π2，∴T=π，
取ω>0，则ω=2πT=2，
又根据”五点法”可得2×π6+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，∴φ=−5π6+2kπ(k∈Z)，
∴f(x)=sin(2x−5π6+2kπ)=sin(2x−5π6).
(Ⅱ)将f(x)=sin(2x−5π6)的图象向左平移5π12个单位长度得到y=sin[2(x+5π12)−5π6]=sin2x的图象．
再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到y=sinx的图象，故h(x)=sinx.
对任意的x∈(0.π2)，不等式p[h(x)−1][h(x+π2)−1]即对任意的x∈(0,π2)，p(sinx−1)[sin(x+π2)−1]当x∈(0.π2)时，sinx∈(0,1)，csx∈(0,1)，sin2x∈(0,1],当p≤0时，不等式恒成立．
当p>0时，1p>[(sinx−1)(csx−1)sin2x]max，
令F(x)=(sinx−1)(csx−1)sin2x=sinxcsx+1−csx−sinx2sinxcsx=12+1−csx−sinx2sinxcsx.
设t=csx+sinx= 2sin(x+π4)，x∈(0,π2)，则t∈(1, 2],2sinxcsx=t2−1.
令y=12+1−tt2−1=12−11+t，其值域为(0,32− 2],
∴1p>32− 2，即0综上，p的取值范围是(−∞,6+4 2).
【解析】(Ⅰ)根据正弦函数的性质确定解析式；(Ⅱ)先根据变换规律确定h(x)，再转化成，1p>[(sinx−1)(csx−1)sin2x]max即可．
本题考查三角函数的性质、三角恒等变换以及变量代换求最值，属于中档题．