人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第二十二讲 第七章 复数 章末重点题型大总结（2份打包，原卷版+教师版）

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第05讲 第七章 复数 章末题型大总结一、重点题型题型01复数的概念【典例1】（2023上·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）已知复数，则的虚部是（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】复数，则的虚部是2.故选：C【典例2】（2023上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）若为虚数单位，则复数的实部为（     ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故复数的实部为.故选：B.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 .【答案】(答案不唯一)【详解】因为为实数,所以，解得,所以有序实数对可以是(答案不唯一)故答案为：(答案不唯一)【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），其中为的共轭复数，则复数在复平面上的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】设复数（，），则，由题得，即，∴，解得，，则复数在复平面上的对应点为，位于第一象限.故选：A．【变式2】（2023上·全国·高三校联考期中）的虚部为（    ）A．4 B． C． D．2【答案】B【详解】，则其虚部为，故选：B.【变式3】（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，则的虚部是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则，所以的虚部是.故选：A题型02共轭复数【典例1】（2023上·广东中山·高三中山一中校考阶段练习）复数满足，其中为虚数单位，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，得，，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：A【典例2】（2024·河南·模拟预测）已知,且,则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设复数则所以得则所以解得故选：.【典例3】（2024上·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）若复数z满足(其中是虚数单位),则复数z的共轭复数 .【答案】【详解】由,得.故答案为:.【变式1】（2024·安徽淮北·统考一模）已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，故，故选：A【变式2】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为复数对应的点的坐标是所以则故选：B【变式3】（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意可设，则，，所以由可得，所以,解得，即复数z的虚部为.故选：B题型03 复数相等【典例1】（2022上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若是虚数单位，，，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由，得，，所以.故选：A.【典例2】（2023上·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）若（其中为虚数单位），则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由，则，解得.故选：C【典例3】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）i是虚数单位，则，则的值为 ．【答案】【详解】由题意得，即，，故，故答案为：【变式1】（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知复数满足，其中是的共轭复数，则复数的虚部是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】设，则，所以，则解得即，所以的虚部为．故选：C【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知复数，，，则复数z的模为（    ）A． B．6 C． D．【答案】D【详解】由，得，由，得，即，根据复数相等，得，解得，所以.故选：D．【变式3】（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合的实数x、y的值为（    ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.故选：A．题型04复数的模【典例1】（2023·新疆·校联考一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，故.故选：B.【典例2】（2024·河南郑州·统考一模）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，故选：C.【典例3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知复数满足：，则（    ）A．1 B． C． D．5【答案】A【详解】由，,得，所以．故选：A．【变式1】（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由题意知，，则，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题，，故选：A．【变式3】（2023下·河南焦作·高二校考阶段练习）已知复数，则 ．【答案】/【详解】因为，所以，，所以.故答案为：题型05复数的四则运算【典例1】（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】若是关于的实系数方程的一个复数根，则另一个复数根为，由韦达定理可得得，解得，则，所以，故有.故选：A．【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）已知，则在复平面内对应的点所在象限为（     ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由题知在复平面内对应的点为故选：D【典例3】（多选）（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（    ）A．对应的点在复平面的第四象限 B．是一个纯虚数C． D．【答案】BCD【详解】由题意得：，对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；对于B项：为纯虚数，故B项正确；对于C项：，故C项正确；对于D项：，故D项正确；故选：BCD.【变式1】（2022宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）已知，则复数在复平面上对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】，，，则复数在复平面上对应点位于第四象限.故选：D.【变式2】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测），为虚数，则复数（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得.故选B.【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知，则的虚部为（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】B【详解】，所以，则的虚部为2，故选：B．题型06复数的分类【典例1】（2024·广东·高三学业考试）已知复数，，其中是虚数单位，．(1)若为纯虚数，求的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由z1为纯虚数，则，解得m＝－2.（2）由，得∴∵，∴当时，，当时，，∴实数的取值范围是.【典例2】（2023下·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知是关于的方程R的一个根．(1)求，的值(2)若是纯虚数，求实数的值和．【答案】(1)(2)；【详解】（1）因为是方程的一个根，所以，即，由，解得，（2）由知，，因为是纯虚数，所以，解得，所以，所以.【典例3】（2023下·江苏淮安·高一统考期末）设复数，，i为虚数单位.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若为实数，求.【答案】(1)(2)2【详解】（1）因为，若为纯虚数，则，解得.（2）因为，若为实数，则，解得，即，解法一：因为，则；解法二：可得.【变式1】（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位.(1)若复数z为纯虚数，求m的值；(2)若，求m的值.【答案】(1)或(2)【详解】（1）因为复数（）为纯虚数，所以，解得或，（2）设，则，因为，所以，即，所以，解得或，所以或，因为，，所以，或，解得【变式2】（2023下·广西北海·高一统考期末）已知，复数是虚数单位.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为是纯虚数，所以解得；（2）在复平面内对应的点为，由题意可得解得，即的取值范围是.【典例3】（2023下·四川巴中·高一统考期末）已知复数，，其中i是虚数单位，.(1)若为纯虚数，求m的值；(2)若，求的虚部.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，因为为纯虚数，所以且，解得.（2）因为，所以，即，所以，所以，所以的虚部为.题型07复数模最值问题【典例1】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（    ）A．2 B．C． D．3【答案】B【详解】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.【典例2】（2023·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【详解】设，在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，又，于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，所以.故选：D【典例3】（2023上·河北唐山·高三统考期中）若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【详解】设，则.由已知可得，.设，，则.所以，.当，即时，该式有最大值，所以，，所以，.故选：C.【变式1】（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，所以，，即，所以，，可得，解得，当的虚部取最小值时，即当时，则，解得，故，故选：A.【变式2】（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的最大值为 .【答案】/【详解】因为虚数为实系数方程的一个根，所以也是方程的一个根.所以，设，在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，又，于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，所以.故答案为：【变式3】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为 ．【答案】7【详解】令且，又，所以，即，所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，所以的最大值为.故答案为：7二、数学思想方法方法一：分类讨论思想【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内，菱形对角线交点为原点，且两条对角线长度之比为2：1，顶点对应的复数是，设，，三点对应的复数分别为，，，求，，，并计算出，，三点所对应的复数．【答案】答案见解析【详解】若、、、是逆时针方向，且长度比长度为，则，，，，，三点所对应的复数分别为，，；  若、、、是逆时针方向，且长度比长度为，则，，，，，三点所对应的复数分别为，，；  若、、、是顺时针方向，且长度比长度为，则，，，，，三点所对应的复数分别为，，；  若、、、是顺时针方向，且长度比长度为，则，，，，，三点所对应的复数分别为，，．  【典例2】（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知关于z的方程．(1)在复数域范围内求该方程的解集；(2)已知该方程虚根分别为、，若z满足，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，时，z为实数，当时，，解得，，舍去；当时，，解得，，舍去；时，当时，，解得，当时，，解得，综上，解集为（2）因为，即Z到的距离和到的距离相等，则Z的轨迹为x轴，那么点到x轴的最短距离为.【变式1】（2023下·陕西商洛·高一统考期末）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若的实部与虚部之和为7，且，求；(2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）依题意可设（a，b∈R，a>0，b<0），因为z的实部与虚部之和为7，且，所以解得a=12，b=-5，故（2）依题意可设因为 （a>0，b<0），所以，且．因为，所以， 所以 ．当时，，在复平面内对应的点位于第三象限；当时，，在复平面内对应的点位于第四象限．【变式2】（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知复数（，为虚数单位）．(1)当时，求；(2)设为复数z的共轭复数，若不是纯虚数，求m的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，所以.（2）依题意，，则，于是，当是纯虚数时，则，解得，则当不是纯虚数时，，所以的取值范围为.方法二：数形结合思想【典例1】（2023·北京东城·统考二模）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，由题意可知，与轴夹角为，绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，所以的坐标为，所以对应的复数为.故选：A.【典例2】（2022下·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知复数，其中为虚数单位.(1)当，且是纯虚数，求的值；(2)当时，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）是纯虚数，故有，经计算有，;（2）,所以有，如下图，根据几何意义，可知.【变式1】（2021下·湖北随州·高一广水市一中校考阶段练习）已知复数满足，则的最小值为 .【答案】【详解】设在坐标平面上所对应的点为，因为，所以Z的轨迹是单位圆，而，它表示单位圆上的点到点A（1，-2）距离的最小值，如图：  当位于点B时，所求最小值为.故答案为：.【变式2】（2020·全国·高三专题练习）在复平面内，把复数对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.【答案】，.【详解】解：在复平面中对应的坐标为，则，点绕逆时针旋转后的对应的坐标为，其对应的复数为，点绕顺时针旋转后的对应的坐标为，其对应的复数为.  方法三：方程思想【典例1】（2023下·河北·高一校联考期末）若复数满足（为实数），则的最大值为 ．【答案】2【详解】由题意知，因为，所以当故答案为：2.【典例2】（2023下·山东菏泽·高一统考期中）（1）在①，②z为纯虚数，③z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知复数，（i为虚数单位），为z的共轭复数，若______.求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（2）若是关于x的实系数一元二次方程：的一个根，求a，b的值及方程的另一个根.【答案】（1）答案见解析；（2），【详解】（1）选条件①：∵，，∴，解得；选条件②：∵z为纯虚数，∴，解得；选条件③：∵z为非零实数，∴，解得；（2）∵为实系数一元二次方程的一个根，∴，解得，∴原方程为，配方得，解得或，∴方程的另一个根为.【变式1】（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知为虚数单位，复数是关于的实系数方程的一个复数根，则 .【答案】【详解】由题意得和是实数系方程：的两个根，所以由根与系数的关系得：，得：或又因为：，所以：，所以：，得：.故答案为：.【变式2】（2023下·河北·高二校联考期末）方程在复数集中的解为 ．【答案】【详解】由方程，即，故，所以或，即方程在复数集中的解为或，故答案为：.方法四：转化与化归思想【典例1】（多选）（2022下·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期中）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（    ）A．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为B．若复数满足，则复数对应的点在一条直线上C．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为D．若复数是的共轭复数，则与对应的点关于实轴对称，且【答案】ABC【详解】对于选项A，由题意可知，所以，所以表示向量的复数为，故A正确；对于选项B，设复数，若，则，所以，所以复数对应的点在一条直线上，故B正确；对于选项C，设复数，若复数满足，即，则复数对应的点在以原点为圆心半径分别为和的同心圆形成的圆环内，所以复数对应的点所构成的图形面积为，故C正确；对于选项D，设复数，则，所以与对应的点分别为，所以与对应的点关于实轴对称，且，，所以，故D错误.故选：ABC.【典例2】（2022下·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期中）已知复数，，其中t，x，，且.（1）求点的轨迹方程（2）若，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】解：（1）根据复数相等的充要条件得，将代入，得，整理得，因此，所求点P的轨迹方程为.（2）由（1），知点P的轨迹是一个圆，其圆心为，半径为，当直线与圆有公共点时，，即，得，所以所求m的取值范围为【变式1】（2021上·云南·高三校联考阶段练习）已知为复数，且，则的最大值为 .【答案】【详解】由题意设，则，，即，即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.则，可理解为求点到点之间的距离，数形结合可知，的最大值为4．故答案为：【变式2】对于任意两个复数，（、、、均为实数），定义运算“”：.设非零复数、在复平面内对应的点分别为、，点为坐标原点，如果，那么在中，的大小为 .【答案】【详解】设，，则，.，，，.故答案为：.