2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用提能训练，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若O为△ABC内一点，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的( B )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
[解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.
2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－6，则点P的轨迹是( D )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.
3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，则|a－b|的最大值为( B )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
[解析] ∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，
∴a－b＝(0，sin θ－cs θ)．
∴|a－b|＝eq \r(02＋sin θ－cs θ2)＝eq \r(1－sin 2θ).
∴|a－b|最大值为eq \r(2).故选B.
4．已知A，B是圆心为C半径为eq \r(5)的圆上两点，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))等于( A )
A．－eq \f(5,2) B．eq \f(5,2)
C．0 D．eq \f(5\r(3),2)
[解析] 由于弦长|AB|＝eq \r(5)与半径相等，则∠ACB＝60°⇒eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(CB,\s\up6(→))|·cs ∠ACB＝－eq \r(5)×eq \r(5)·cs 60°＝－eq \f(5,2).
5．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)点P是△ABC内一点且满足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为( A )
A．4∶3∶2 B．2∶3∶4
C．1∶1∶1 D．3∶4∶6
[解析] 由P是△ABC内一点且满足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，根据向量的几何运算作出图形如下，
其中|PA|＝eq \f(1,4)|PA′|，|PC′|＝2|PC|，
|PB|＝eq \f(1,3)|PB′|，
虚线为垂线，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，
|A′G|＝4|AN|.
所以S△PBC＝eq \f(1,2)|PC||BF|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,3)×|B′D|＝eq \f(1,6)S△PB′C′，
S△PAC＝eq \f(1,2)|PC||AE|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,4)×|A′M|＝eq \f(1,8)S△PA′C′，
S△PAB＝eq \f(1,2)|PB||AN|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)|PB′|×eq \f(1,4)×|A′G|＝eq \f(1,12)S△PA′B′，
又PA′C′B′为平行四边形，
所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，
所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝eq \f(1,6)∶eq \f(1,8)∶eq \f(1,12)＝4∶3∶2，
选A.
6．(2022·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为eq \f(2π,3)，P是 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上的动点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为( C )
A．－eq \r(2) B．0
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
[解析] 由题设，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OP,\s\up6(→))2－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))2＝1，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，要使eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))最小，即eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))同向共线．
又|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OP,\s\up6(→))|＝1，
∴(eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→)))min＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
故选C.
二、多选题
7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( AD )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|
[解析] f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b.故选AD.
8．如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，下列选项正确的是( BCD )
A.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq \r(3)
B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq \r(3)
D.eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
[解析] 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq \(CA,\s\up6(→))|cseq \f(π,6)＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故A错误，C正确．因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，故B、D正确．
三、填空题
9．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2，则边AB的长等于 2 .
[解析] 由题意知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 eq \f(2π,3) .
[解析] 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cs θ＝0，所以cs θ＝－eq \f(1,2)，又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
11．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin \f(x,4)，1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,4)，cs2\f(x,4))).若m·n＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝ －eq \f(1,2) .
[解析] m·n＝eq \r(3)sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4)
＝eq \f(\r(3),2)sin eq \f(x,2)＋eq \f(1＋cs \f(x,2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因为m·n＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
12．(2024·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为 1 .
[解析] 解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝t≤1.
解法二：选取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}作为基底，设eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，0≤t≤1，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(teq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝t≤1.
解法三：设eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(DE,\s\up6(→))|·1·cs ∠AED＝|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|t||eq \(AB,\s\up6(→))|＝|t|≤1.
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
[解析] (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).因为0