2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积提能训练，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量a＝(－2,6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝( D )
A．－30 B．30
C．－100 D．100
[解析] 由已知得a与b共线，则－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2,6)＋(1，－3)＝(－5,15)，因此a·(3a＋b)＝(－2,6)·(－5,15)＝100.故选D.
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝( D )
A．13＋6eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(30) D．eq \r(34)
[解析] ∵a＝(1,1)，∴|a|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).∴a·b＝|a||b|cs 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(18＋4＋12)＝eq \r(34).故选D.
3．已知a，b是单位向量，若|a＋2b|＝|2a－b|，则a，b的夹角是( B )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
[解析] 根据向量模的数量积运算得a·b＝0，进而a，b的夹角是eq \f(π,2).因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，因为|a＋2b|＝|2a－b|，所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2，所以12＋4a·b＋4×12＝4×12－4a·b＋12，即a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夹角是eq \f(π,2).故选B.
4．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x等于( C )
A．－2 B．±eq \r(2)
C．±2 D．2
[解析] 解法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.
解法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.
5．已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝3，则向量a在向量b上的投影向量为( A )
A．－eq \f(1,2)b B．－b
C．－2b D．－4b
[解析] 首先根据|a－b|＝3，求出a与b的夹角，再根据向量a在向量b上的投影向量的定义即可求解．由题意可知，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9，又|a|＝1，|b|＝2，代入可得1－2a·b＋4＝9，a·b＝－2，则a·b＝|a|·|b|·cs θ＝－2，其中θ为a与b的夹角，解得cs θ＝－1.则向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ·eq \f(b,|b|)＝－eq \f(1,2)b.故选A.
6．(2023·湖南省澧县一中高三试题)若AC⊥BC，AC＝BC＝1，点P是△ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(－1,1)
[解析] 建立平面直角坐标系，设出点P坐标，根据向量数量积的坐标运算，转化成坐标间的关系；根据坐标的取值范围确定数量积的范围．建立平面直角坐标系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，
设点P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)；又P是△ABC内的一点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x＋y