新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案32第五章平面向量与复数第四讲平面向量的综合应用

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案32第五章平面向量与复数第四讲平面向量的综合应用，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[32] 第四讲　平面向量的综合应用A组基础巩固一、单选题1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的( B )A．内心  B．外心 C．垂心  D．重心[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是( D )A．圆  B．椭圆C．双曲线  D．抛物线[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为( B )A．1  B． C．  D．2[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．∴|a－b|＝＝.∴|a－b|最大值为.故选B.4．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于( A )A．－  B． C．0  D．[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.5．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)点P是△ABC内一点且满足4＋3＋2＝0，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为( A )A．432  B．234C．111  D．346[解析]　由P是△ABC内一点且满足4＋3＋2＝0，根据向量的几何运算作出图形如下，其中|PA|＝|PA′|，|PC′|＝2|PC|，|PB|＝|PB′|，虚线为垂线，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，|A′G|＝4|AN|.所以S△PBC＝|PC||BF|＝×|PC′|××|B′D|＝S△PB′C′，S△PAC＝|PC||AE|＝×|PC′|××|A′M|＝S△PA′C′，S△PAB＝|PB||AN|＝×|PB′|××|A′G|＝S△PA′B′，又PA′B′C′为平行四边形，所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，所以S△PBCS△PACS△PAB＝＝432，选A.6．(2022·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，则·的最小值为( C )A．－  B．0 C．－  D．[解析]　由题设，＝－，＝－，∴·＝(－)·(－)＝2－·(＋)＋·，∵·＝－，2＝1，∴·＝－·(＋)，要使·最小，即，＋同向共线．又|＋|＝||＝1，∴(·)min＝－1＝－.故选C.二、多选题7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( AD )A．a⊥b  B．a∥bC．|a|＝|b|  D．|a＋b|＝|a－b|[解析]　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.依题意知f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b.故选A、D.8．如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列选项正确的是( BCD )A.在方向上的投影长为－B.·＝·C.在方向上的投影长为D.·＝·[解析]　由＋＋＝0，得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故A错误，C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B、D正确．三、填空题9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于_2__.[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 　.[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.11．已知向量m＝，n＝.若m·n＝1，则cos＝ －　.[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2＝sin ＋＝sin＋，因为m·n＝1，所以sin＝.因为cos＝1－2sin2＝，所以cos＝－cos＝－.故填－.12．(2022·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的最大值为_1__.[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.解法三：设＝t，则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．[解析]　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cos ＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝.因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.14．(2023·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[解析]　(1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，∴由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∴S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．∴△ABC的面积的最大值为.B组能力提升1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝( B )A.  B． C．  D．[解析]　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0<A<π，所以A＝.2．(2023·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( A )A．等边三角形  B．等腰三角形C．直角三角形  D．等腰直角三角形[解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.3．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为( B )A．双曲线  B．抛物线C．圆  D．椭圆[解析]　＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.4．(多选题)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是( AD )A．周期为4的函数  B．周期为2π的函数C．奇函数  D．偶函数[解析]　由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sin x，所以f(x＋1)＝sin ＝cos x，它是周期为4的偶函数．故选A、D.5．(2022·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．[解析]　(1)由题意知f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1，令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.　(2)∵f(A)＝sin＋1＝2，∴sin＝1.∵0<A<π，∴<2A＋<，∴2A＋＝，即A＝.由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2.又b＋c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，解得a＝－1.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.(1)求角B的大小；(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．[解析]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcosC．根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以sin Acos B＝sin (C＋B)，即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)．故△ABC的面积S＝acsin B≤，因此△ABC的面积的最大值为.