2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法提能训练，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·河北省“五个一”名校联盟高三上学期数学摸底试卷)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是an＝( C )
A.eq \f(n2－n＋2,2) B．n2－n
C.eq \f(n2＋n,2) D．2n2－n
[解析] 因为数列1,3,6,10，…的前n项可写为eq \f(1×2,2)，eq \f(3×2,2)，eq \f(3×4,2)，…则可知其一个通项公式是eq \f(nn＋1,2)，也可以通过验证法排除得到选项C.
2．已知数列eq \r(6)，eq \r(10)，eq \r(14)，3eq \r(2)，eq \r(22)，…，则5eq \r(2)是这个数列的( B )
A.第11项 B．第12项
C.第13项 D．第14项
[解析] 根据题意，归纳数列的通项公式，进而可得an＝eq \r(4n＋2)＝5eq \r(2)，解可得答案.根据题意，数列eq \r(6)，eq \r(10)，eq \r(14)，3eq \r(2)，eq \r(22)，…，则通项公式an＝eq \r(4n＋2)，若an＝eq \r(4n＋2)＝5eq \r(2)，解可得n＝12，即5eq \r(2)是这个数列的第12项，故选B.
3．(2023·安徽淮南一模)设Sn是数列{an}的前n项和.若a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝1－eq \f(1,an)，则S2 025＝( B )
A.eq \f(2 013,2) B．eq \f(2 025,2)
C.eq \f(2 027,2) D．eq \f(2 024,2)
[解析] 在数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝1－eq \f(1,an)，则a2＝1－eq \f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq \f(1,a2)＝2，a4＝1－eq \f(1,a3)＝eq \f(1,2)，以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列.
又2 025＝3×675，因此S2 025＝675S3＝675×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1＋2))＝eq \f(2 025,2).故选B.
4．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an－1，则a5＝( D )
A.32 B．eq \f(1,32)
C．－eq \f(1,16) D．－16
[解析] 方法一：因为3Sn＝2an－1，所以当n≥2时，3Sn－1＝2an－1－1，两式作差得3an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝－2an－1(n≥2)，又当n＝1时，3S1＝2a1－1，所以a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，－2为公比的等比数列.所以an＝－1×(－2)n－1，则a5＝－1×(－2)5－1＝－16.故选D.
方法二：因为3Sn＝2an－1，所以当n≥2时，3Sn＝2(Sn－Sn－1)－1，整理得Sn＝－2Sn－1－1(n≥2)，即Sn＋eq \f(1,3)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Sn－1＋\f(1,3)))(n≥2)，又当n＝1时，3S1＝2a1－1，所以S1＝－1，所以S1＋eq \f(1,3)＝－eq \f(2,3)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,3)))是以－eq \f(2,3)为首项，－2为公比的等比数列.所以Sn＋eq \f(1,3)＝－eq \f(2,3)×(－2)n－1，Sn＝－eq \f(2,3)×(－2)n－1－eq \f(1,3)，则a5＝S5－S4＝－eq \f(2,3)×[16－(－8)]＝－16.故选D.
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( A )
A.2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D．1＋n＋ln n
[解析] an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝lneq \f(n,n－1)＋lneq \f(n－1,n－2)＋…＋ln eq \f(2,1)＋2
＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n－1)·\f(n－1,n－2)·…·\f(2,1)))＋2
＝ln n＋2(n≥2)，
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
综上，an＝ln n＋2.
6．(2023·辽宁沈阳交联体期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( C )
A.an＝2n－1 B．an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))n－1
C.an＝n D．an＝n2
[解析] 解法一：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))为常数列，即eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)＝1，所以an＝n.故选C.
解法二：当n＝1时，a1＝a2－a1，∴a2＝2，否定A、B、D，故选C.
7．数列{an}的通项公式an＝eq \f(n2＋90,n)，则数列{an}中的最小项是( B )
A.3eq \r(10) B．19
C．eq \f(1,19) D．eq \f(\r(10),60)
[解析] 令f(x)＝x＋eq \f(90,x)(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2eq \r(90)，当且仅当x＝3eq \r(10)时等号成立.因为an＝n＋eq \f(90,n)，所以n＋eq \f(90,n)≥2eq \r(90)，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝19最小，故选B.
8．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( C )
A.22项 B．23项
C.24项 D．25项
[解析] 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项.故选C.
二、多选题
9．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是( ABD )
A.an＝(－1)n－1＋1 B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,0，n为偶数))
C.an＝2sin eq \f(nπ,2) D．an＝cs(n－1)π＋1
10．(2022·潍坊一模)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n为奇数，,2－2n，n为偶数，))则( BC )
A.a6＝19 B．a7>a6
C.S5＝22 D．S6>S5
[解析] 因为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n为奇数，,2－2n，n为偶数，))所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a61，,63－a－86，))(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,63－a－8