最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第32讲 解析几何中长度面积和、差、商、积

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第32讲 解析几何中长度面积和、差、商、积
【典型例题】
例1．如图．已知抛物线，直线过点与抛物线相交于，两点，抛物线在点，处的切线相交于点，过，分别作轴的平行线与直线上交于，两点．
（Ⅰ）证明：点在直线上，且；
（Ⅱ）记，的面积分别为和．求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为不平行于轴，设直线的方程为，，，，，
因为，不妨令，则，
所以，所以，
所以过点的切线方程为，
整理得，
同理，过点的切线方程为，
联立两切线方程，解得，，
又，得，
所以，，
代入可得，满足，
所以点在直线上，
又，，
所以，
所以为，的中点，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，，
所以，同理，
所以
，
当时，有最小值．
例2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，△面积最大值为2，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，问：是否存在实数，使得恒成立．如果存在．求出的值．如果不存在，说明理由．
【解析】解：（1）由题意可得
解得，，．
故椭圆的标准方程为．
（2）如图，由（1）可知．
当直线的斜率不存在时，，
则，
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则直线的方程为，，，．
联立，
整理得，
则，
从而，
故，
由题意可得，
则，
因为，
所以，
综上，存在实数，使得恒成立．
例3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点，且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意可知，，且，又因为，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）存在实数，使得为定值．理由如下：
因为是的中点，故，
由题意可知，直线的斜率不为0，设的方程：，，，
与椭圆的方程联立，，消去，整理得，
设，，，，则，，
因为，所以，，
则，
所以，
若对任意，为定值，则或，
因为，所以，此时，．
存在实数，使得为定值，且定值为0．
例4．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，且离心率为，过坐标原点的任一直线交椭圆于、两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，试判断是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【解析】解：（1）由已知，得为平行四边形，
所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆的标准方程为（5分）
（2）直线的方程为，设，，，，
联立方程，得，所以，
所以
为定值（12分）
例5．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
求证：线段的中点在直线上；
求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得，，，
故所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为：，代入椭圆方程得，
则判别式△，
设，，，，的中点，，
则，，
则，，
即，，
，
设直线的方程为：，得点坐标为，
，
，
即线段的中点在直线上；
当时，的中点为，，
则，，，
当时，，
，
则，
设，则，
则在为增函数，
则，
则，
综上，
故求的取值范围是，．
例6．若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，为坐标原点）且，求实数的取值范围．
【解析】解：由已知得，，，
又，，，
椭圆的方程为：．
的斜率必须存在，即设，
联立，消去得，
得，
由△可得，
设，，，，
由韦达定理可得：，，
为坐标原点）
，，，
，，
，
点在椭圆上，
，
，
，
，
，
．
将代入得，即或，
则的取值范围是，，．
例7．如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值为，的最小值为，满足．
（Ⅰ）若线段垂直于轴时，，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的焦距为2，设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ） 设，，则根据椭圆性质得
，而，
所以有，即，即，
又且，
得，，
因此椭圆的方程为：，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，椭圆的方程为．
根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
并设，，，，
则由直线与椭圆方程消去并整理得，
从而有，，（6分）
所以，．
因为，所以，所以．
得到
由与相似，所以．（10分）
令，则，从而，
即的取值范围是．
例8．平面直角坐标系中，已知椭圆，抛物线的焦点是的一个顶点，设，是上的动点，且位于第一象限，记在点处的切线为．
（Ⅰ）求的值和切线的方程（用，表示）；
（Ⅱ）设与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
（ⅰ）求证：点在定直线上；
（ⅱ）设与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值．
【解析】解：由题意椭圆，可得，椭圆的上顶点，
因为，抛物线的焦点是的一个顶点，所以，
所以抛物线的焦点为，则，，
直线方程为．即
（Ⅱ）证明：设，，，，，，
，，两式相减可得：，
可得，
所以，，即有，
直线的方程为，当时，可得
即有点在定直线上；
直线的方程为，令，可得，
则，
则令，
则，
当，即时，取得最大值
例9．斜率为的直线交抛物线于，两点，已知点的横坐标比点的横坐标大4，直线交线段于点，交抛物线于点，．
（Ⅰ）若点的横坐标等于0，求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】解：，，，，
联立方程组：，可得，
设，，，，则，，
．
设的方程为，代入得：，
，．
联立方程组可得，
联立方程组，得，
，，
，
当时，取得最大值．
例10．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求△的周长；
（2）求△面积的取值范围；
（3）设、分别为△、△的内切圆半径，求的最大值．
【解析】解：（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
，从而得到△的周长为．
由题意，得，即△的周长为．
（2）由题意可设过的直线方程为，，，，，，
联立，消去得，
则，
所以，
令，
则（当时等号成立，即时），
所以，
故△面积的取值范围为．
（3）设，，直线的方程为，
将其代入椭圆的方程可得，
整理可得，
则，得，，
故．
当时，直线的方程为，
将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为．
例11．如图，是抛物线上一点，直线过点且与抛物线交于另一点．
（Ⅰ）若直线与过点的切线垂直，求线段中点的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线不过原点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）设，，，，，，依题意，，．
由，①
得．
过点的切线的斜率，
直线的斜率，
直线的方程为，②
联立①②消去，得．
是的中点
，
消去，得，
中点的轨迹方程为．
（Ⅱ）设直线，依题意，，则．
分别过、作轴，轴，垂足分别为、，则．
由，消去，得．③
则，．
．
、可取一切不相等的正数，
的取值范围是．
【同步练习】
1．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点．为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于，两点．
①若轴上任意一点到直线与距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
若直线的斜率是直线，斜率的等比中项，求面积的取值范围．
【解析】解：（1）由抛物线的方程得其焦点为，则椭圆中，
当点为椭圆的短轴端点时，△面积最大，此时，
，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，△面积的最大值为1，
，
椭圆的方程为；
（2）联立，得，
由△，得
设，，，，
则，
①，由，得，
所以，即，得，
直线的方程为，
因此直线恒过定点，该定点坐标为．
②直线的斜率是直线，斜率的等比中项，
，即，得，得，
，又，
，代入，得．
．
设点到直线的距离为，则，
，
当且仅当，即时，面积取最大值．
故面积的取值范围为．
2．已知，分别是椭圆的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，，直线与相交于点，与椭圆相交于点，两点，求四边形面积的最大值．
【解析】解：（1）由抛物线的焦点，得焦点．
设，，由点在抛物线上，
，，解得，．
而点在椭圆上，，化为，
联立，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由（1）可知：，．设，，，，其中，
把代入，可得，，，且．
，，
故四边形的面积
．
当且仅当时上式取等号．
四边形面积的最大值为．
3．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且△的周长是6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线交轴于点，交曲线于，两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知，，
解得，，
，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在，则，设，，，，
设直线的方程为：，，
联立方程，消去得：，
，，
△，
，
要使为定值，
则有，所以，
所以．
4．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．
（1）求的圆心轨迹的方程；
（2）已知点，，，，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．
【解析】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为，、，，
由题意得：或，
，
可知圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，
因此，，则，
所以轨迹的方程为；
（2）过点，的直线的方程为，
即，代入，解得：，，
故直线与双曲线的交点为，，，，
因此在线段外，在线段内，故，
，若点不在上，则，
综上所述，只在点处取得最大值2，此时点的坐标为，．
5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程：
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一交点分别为，（其中为坐标原点），求与的面积之比的最大值．
【解析】解：（1）设动圆的圆心为，因为经过，且与轴、轴分别交于点，两个动点，
则，半径为，
圆的方程为，与轴的另一个交点为，与轴的交点为，
即，，
，
即的方程为；
（2）由（1）作下图：
设过点的直线方程为，显然是存在的，
联立方程：，得，
①，②，
设，，，，
代入①②得，③
则直线的方程为，直线的方程为，
联立方程：，
解得，，同理，，
，
同理可得：，
，，
④，
由③得，代入④得：，
显然当时最大，最大值为．
6．已知椭圆过点，且焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
【解析】解：（1）依题意椭圆过点，且焦距为2．
有，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其直线方程为，
由，消去得，
所以△，即，
设，，，，，
则．
由，得，
代入椭圆的方程，
得，
由，得，
，
令，则，
所以．
7．已知椭圆的右焦点为，过椭圆中心的弦长为2，且，的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设、分别为椭圆的左、右顶点，为直线上一动点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设、分别为△、的面积，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）弦过椭圆中心，且，则，（2分）
不妨设，，，
，的面积，则，，（4分）
，
椭圆方程为；（5分）
（Ⅱ）设，，直线，则，
整理，解得，（7分）
同理，设直线，
得，解得，（8分）
则（10分）
，（11分）
当且仅当，即时取“” （12分）
8．已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围．
【解析】解：由已知得，解得，（3分）
椭圆，（4分）
设，，，，，
由已知得，，（5分）
由消去得（6分）
则（7分）
又（9分）
又△，
（10分）
，
，
．（11分）
的取值范围是（12分）
9．如图，过点作两条直线和分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方，的斜率大于，直线，交于点．
（1）求证：点在定直线上；
（2）若，求的最小值．
【解析】解：证明：设，，，，
因为过点作两条直线和，
设代入得
，
所以，
由直线的两点式可得，的直线方程，
，
，
联立消得
，
故点在定直线上，
（Ⅱ）由题意可得，；
因为，
所以，
令，
则，
当且仅当时取到；
所以的最小值为．
10．在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【解析】解：（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，
根据题意，解得，
的方程为；
（2）（法一）设，直线的参数方程为，
将其代入的方程并整理可得，，
由参数的几何意义可知，，，则，
设直线的参数方程为，，，同理可得，，
依题意，，则，
又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．
（法二）设，直线的方程为，，，，，设，
将直线方程代入的方程化简并整理可得，，
由韦达定理有，，
又由可得，
同理可得，
，
设直线的方程为，设，
同理可得，
又，则，化简可得，
又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．
11．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，右顶点为，以为直径的圆过点，直线与圆相交得到的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点，与轴，轴分别相交于，两点，满足：①记的中点为，且，两点到直线的距离相等；②记，的面积分别为，，若．当取得最大值时，求的值．
【解析】解：（Ⅰ）因为以为直径的圆过点，所以，则圆的方程为，
直线的方程为，
则，解得，
所以，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，，，，，
则．
由方程组，得，
△，所以，
由韦达定理得，
因为，两点到直线的距离相等，
所以线段的中点与线段的中点重合，
所以，解得．
于是，
．
由及，解得．
所以，当时，有最大值，
此时，故．
12．已知两点，、，，设圆与轴交于、两点，且动点满足：以线段为直径的圆与圆相内切，如图所示，记动点的轨迹为，过点与轴不重合的直线与轨迹交于、两点．
（1）求轨迹的方程；
（2）设线段的中点为，直线与直线相交于点，求证：；
（3）记、面积分别为、，求的最大值及此时直线的方程．
【解析】解：（1）依题意：设的中点为，切点为，由图可知为△的中位线，
所以，
所以点的轨迹为椭圆，所以，，．
所以方程为．
证明：（2）设直线，，，，．
所以，整理得，
变形为，
所以，．
点的横坐标．
点的纵坐标．
直线为与直线相交于点，所以．
由，直线的方向向量，
所以，即：；
（3）在（2）的基础上设点和在轴的上下两侧，
所以，．
．
由，所以，代入，
所以，
当且仅当，即时，的最大值为，
直线方程为．
13．如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）已知，求切线的方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）情况1．当切线斜率不存在时，有切线，
情况2．设切线：，即．
由得，解得，切线为，
综上：切线为；
（Ⅱ），在以点为圆心，切线长为半径的圆上，即在圆上，
联立得，
所以过定点；
（Ⅲ），
设，；
得，，
，，
切线统一记为，即，
由得，得两根为，，
所以，
所以，则，
记，
当，即时，．
14．已知直线与椭圆交于，，，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．
（Ⅰ）证明和均为定值；
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，
所以，，
，在椭圆上，
①
又，
②
由①②得，．此时，；
当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得
，△
即，
又，，
，
点到直线的距离为，
，
又，
整理得，此时，
；
综上所述，．结论成立．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
，，
因此．
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，
，
所以
．
．当且仅当，
即时，等号成立．
综合得的最大值为；
（Ⅲ）椭圆上不存在三点，，，使得，
证明：假设存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得
，，；，，
解得；．
因此，，只能从中选取，
，，只能从中选取，
因此点，，，只能在，这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾．
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，．
15．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，若三直线、、的斜率，，成等比数列，求直线的斜率及的值．
【解析】解：（1）依题意得，，得，
又得，
椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，，
由，得，
，．
由题设知，
，，
，，
此时，，
则，
故直线的斜率为，．
16．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点，过点、分别作与直线垂直的直线，交轴于、两点，求的最小值．
【解析】解：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
所以，
同理可得，
因为，
所以，
因为直线斜率为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当时，取最小值，
所以最小值为．
17．如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，，直线与轴相交于点，记，的面积分别是，．
（1）若，求点的纵坐标；
（2）求的最小值．
【解析】解：（1）因为，，，
所以，
；
由，得，
即，得；
所以点的纵坐标为；
（2）设直线，则，，
由，知；
联立，消去得，
则，，；
所以，
同理，
点到直线的距离为
；
所以
；
故当时，有最小值为．
方法2：设，，则，
所以直线，则；
又直线，；
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为；
所以
；
故当时，有最小值．
18．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
【解析】（1）解：方法一：由离心率，得：，
所以，
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得，
所以，
解得：，，所以柯圆的标准方程为：．
方法二：由椭圆定义；，
，
得到：，即，又，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：设直线的方程为：．
得，
，
设过点且平行于的直线方程：，．
19．已知是椭圆的一个顶点，，分别是的左，右焦点，△是面积为的等边三角形．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】解：（1）依题意，是短轴的端点，
因为△是面积为的等边三角形，所以，
设，则，且，
所以，
所以，
即的方程为．
（2）当的斜率存在时，设其方程为，
联立方程，消去得：，
整理得：，
由△，即，得，
设，，，，
则，，
则，
同理，
则，
令，则，且，，
则，
由，得，
因为在单调递减，且，，
则，所以，
所以，
当的斜率不存在时，，即为短轴端点，且都在的下方，
此时，
综上，的取值范围是．
20．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过
作的垂线交于点．求与的面积之比．
【解析】解：（Ⅰ）焦点在轴上，两个顶点分别为，，
，
由，，
，；
（Ⅱ）设，，，，，，，
可得，
直线的方程是，
，
，直线的方程是，
直线的方程是，
直线与直线联立可得，，
整理为：，
即，
即，
解得，
代入直线方程，求得，
则 又
，
则与的面积之比为．
21．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：与的面积之比为．
【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程：，
则，，则，
，
椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：设，，，，，，，，
则直线的斜率，直线的斜率，
直线的方程：，
直线的斜率，直线的方程，
，解得：，
过做轴，，
则，
则，
与的面积之比为．
22．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点，，设直线与椭圆的另一交点为，连接得到直线，交轴于点，交轴于点．
（Ⅰ）若，求直线的斜率：
（Ⅱ）记，，的面积分别为，，，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ），
，，
由，，可得所在直线方程为．
联立，可得，解得，，
；
（Ⅱ）设，，，，，，
则．
，在直线上，
．
．
，．
直线．
，，．
．
（当且仅当时等号成立）．
的最大值为．
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图过原点的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点，设直线与椭圆的另一个交点为，连接得到直线，交轴于点，交轴于点，记、的面积分别为，，求的最小值．
【解析】解：（1）由题知椭圆的离心率，且，所以，，
所以，故椭圆的标准方程为．（4分）
（2）令直线的方程为，，，，，，，由轴，则，，
则，，则，
由将点，代入椭圆的方程可得：两式作差可得：，
所以，（6分）
由，所以，（7分）
所以直线的方程可设为，令时，，
令时，，
则的面积为，
的面积为，（10分）
则，当且仅当时取等，
所以的最小值为4．（12分）
24．如图所示，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值为，的最小值为，满足．
（1）若线段垂直于轴时，，求椭圆的方程；
（2）线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【解析】解析：（1）设，，由椭圆性质得，，
而，有，
又且，得，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可知，椭圆的方程为，
由题意知直线的斜率一定存在不为零，设直线的方程为，，，，，
则联立方程，消去整理可得，
，
，，，，
由与相似得，
所以的取值范围为．
25．已知抛物线，过抛物线上第一象限的点作抛物线的切线，与轴交于点．过作的垂线，交抛物线于，两点，交于点．
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）证明：抛物线切线
设点，，则，
直线的方程为：，
即，，又，，
直线的方程：经过定点．
（Ⅱ）解：点坐标求解
由（Ⅰ）直线的方程为：，
与抛物线联立得，
解得，而，即，
，解得，
，，
，
当时，．