2024届高考数学-第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（原卷版）

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第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题 一．解答题（共25小题）1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．求椭圆的方程；过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）若，，求弦长的取值范围．14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．如果点的坐标为，求弦长；（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．18．已知曲线；曲线．（1）试判断曲线与的交点个数；（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．22．设椭圆，为坐标原点，（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．