新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的焦点与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 及抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
2．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，过 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 及抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，请问是否存在实常数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为常数．若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为5，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）给出定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 的任意一条过 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．”那么对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，问否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆两个焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为4，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若过椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，焦距为2，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率存在且不为零的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知弦 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
8．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，坐标原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（Ⅱ）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰在以 SKIPIF 1 < 0 为直径且面积为 SKIPIF 1 < 0 的圆上．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且△ SKIPIF 1 < 0 的面积为1．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
11．平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 的光线，经直线 SKIPIF 1 < 0 反射后通过左顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 为原点）与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
12．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，且当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
14．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点应分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．证明：存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上除长轴端点外的任一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的长轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴为直径的圆截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴为直径的圆截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
17．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 如果点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求弦长 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
18．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ；曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）试判断曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点个数；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
19．如图，设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，过准线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
（Ⅰ）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，试写出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式，并求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
20．椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求弦长 SKIPIF 1 < 0 的范围．
21．椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求弦长 SKIPIF 1 < 0 的范围，并求当弦长 SKIPIF 1 < 0 最大时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
22．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，
（1）椭圆 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在说明理由．
23．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的2倍，求 SKIPIF 1 < 0 ．
24．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
25．在①离心率 SKIPIF 1 < 0 ，②椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，③△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，_____．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．