最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第30讲 圆锥曲线设点、设线技巧归纳总结

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第30讲 圆锥曲线设点、设线技巧归纳总结
【典型例题】
例1．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，，两点．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．
【解析】解：（1）设的方程为，且，
将两点代入得，
解得，，
故的方程为；
（2）由可得线段
（1）若过点的直线斜率不存在，直线．代入，
可得，，将代入，可得，得到，求得 方程：，过点．
②若过的直线的斜率存在，设，，，，，
联立，得，
故有，，
，
，
联立，可得，
可求得此时，
将代入整理得，
将代入，得，
显然成立．
综上，可得直线过定点．
例2．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求；
（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
【解析】解：（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，，，则易得，从而得到，
设，联立抛物线方程，消去并整理可得，
△，即，且，，
，
，，
①，
又点在圆上，故，代入①得，，
而，，
当时，．
例3．在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【解析】解：（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，
根据题意，解得，
的方程为；
（2）（法一）设，直线的参数方程为，
将其代入的方程并整理可得，，
由参数的几何意义可知，，，则，
设直线的参数方程为，，，同理可得，，
依题意，，则，
又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．
（法二）设，直线的方程为，，，，，设，
将直线方程代入的方程化简并整理可得，，
由韦达定理有，，
又由可得，
同理可得，
，
设直线的方程为，设，
同理可得，
又，则，化简可得，
又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．
例4．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最大值为6．
（1）求的方程；
（2）若点在圆上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
【解析】解：（1）抛物线的焦点为，圆，圆心，半径，，
所以，与圆上点的距离的最大值为，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点，，，，，，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，
所以，当时，的面积取最小值．
例5．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的动直线与椭圆交于，两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标．
【解析】解：（1）由题意可得，
且，
可得，由题意可得，可得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，
设，，，，
联立，整理可得：，
△，即，
，，
由题意可得
，
因为其值为定值，所以时，定值为，
所以．
【同步练习】
1．已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】解：（1）将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故；
（2）设直线的倾斜角为，由，
，得
由，，
得，即，
联立，及得，
同理，
故，
而，由，得，
故．
1．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
（1）求的方程；
（2）设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．
【解析】解：（1）由题意可知，当时，，得，可知，．
则在中，，得，解得．
则的方程为；
（2）设，，，，，，，，
当与轴垂直时，由对称性可知，也与轴垂直，
此时，则，
由（1）可知，，则，
又、、三点共线，则，即，
，
得，即；
同理由、、三点共线，得．
则．
由题意可知，直线的斜率不为0，设，
由，得，
，，则，，
则，
，，
与正负相同，
，
当取得最大值时，取得最大值，
当时，；当时，无最大值，
当且仅当，即时，等号成立，取最大值，
此时的直线方程为，即，
又，，
的方程为，即．
2．已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．
【解析】（1）解：由题意知，，
．
（2）由（1）知，抛物线，，
设点的坐标为，
则，
点坐标为，
将点代入得，
整理得，
当时，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值．
故答案为：．
3．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，点是的中点，且到抛物线的准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆，圆的一条切线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：，的斜率之差的绝对值为定值．
【解析】解：（1）根据题意可得，
故抛物线的方程为；
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，，；
②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为，
因为圆的一条切线1与抛物线交于，两点，
故，
设，，，，
把直线的方程与抛物线进行联立，
所以，
，
故
．
综上所述：，的斜率之差的绝对值为定值为2．
4．已知椭圆的左右焦点分别是，，离心率，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆的右焦点，且与轴不重合，交椭圆于，两点，求的取值范围．
【解析】解：（1）设过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段为，
由题意可知，则，，即，①
在椭圆上，
，②
将①代入②解得，
，，，
，
椭圆的方程为．
（2）设存在过点的直线与椭圆交于，两点，
设，，，，直线的方程为，
联立直线的方程：与椭圆的方程：
，得，
，，
弦长，
时，取最小值3，当时，．
的取值范围是，．
5．已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与轴不重合，直线，分别与轴交于，两点．求证：为定值．
【解析】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）证明：由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，△，
设，，，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
6．已知椭圆的离心率为，，为椭圆上两个动点，，当，分别为椭圆的左，右顶点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线的方程为，且，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意可得，，
则，，，解得，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立，得，
由△，得，
设，，，
则，，
设的中点为，，则，，
由于点在直线上，所以，得，
代入，得，所以①，
因为，，，，
所以，，，
由，得，
解得，
所以，
即②，
由①②得，
所以实数的取值范围为，．
7．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）为第一象限内椭圆上一点，直线，与直线分别交于，两点，记和△的面积分别为，，若，求的坐标．
【解析】解：（1）将代入椭圆的方程，可得，
由题意可得，即，
由离心率为，即，得，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，，设，，
则直线的方程为，与相交于点，
则直线的方程为，与相交于点，
，
，，，
当时，，解得或（舍去），
当时，，方程无解，
把代入椭圆方程可得，
的坐标为．
8．在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且经过点，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线过的右焦点，且交于，两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．
【解析】解：（1）因为长轴长为，则，因为椭圆经过，所以，
由因为，所以，所以，解得，（舍去），
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：由（1）可知，，，
解法一：当的斜率不存在时，的方程为，
若在轴上方，则，，
所以直线的方程：，的方程：，联立可得，同理若在轴下方，可得，
与均在直线上，
当直线的斜率存在时，设直线的方程：，，，，，
联立方程组，消去，整理得，
显然，△，则，，
又因为直线的方程：，直线的方程：，消去，可得
，
所以点在直线上，
总是可知，点在定直线上．
方法二：显然直线的斜率不为0，设直线的方程：，，，，，
联立方程组，得，显然△，
所以，，
又因为直线的方程：，直线的方程：，消去，可得
，
因为，所以，
所以点在定直线上．
方法三：设，，，，所以，，
因为，所以，①
且满足，，所以，
所以，结合①可得，，②
由①②可得：，，
又满足：，，所以，
解得：，
所以点在定直线上．
9．已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程．
【解析】解：（1）由题意可知，，，则，
，
可得椭圆方程为；
（2），直线的方程为，
联立，得．
设，，，，
则，，
，
在以为直径的圆上，，
即，则，，，
可得，
，
即，
得，
整理得：，，
则直线的方程为；
此时的中点坐标为，
圆的半径，
圆的方程为．