最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题

这是一份最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题，文件包含第31讲阿基米德三角形双切线问题定点定值定直线问题原卷版docx、第31讲阿基米德三角形双切线问题定点定值定直线问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题
【典型例题】
例1．已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则
A．B．C．D．2
例2．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为
A．B．C．D．
例3．过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为
A．B．C．D．
例4．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点．
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．
例5．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于，两点，为原点，的面积为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）为直线上一个动点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标．
例6．已知动点到直线的距离比到定点的距离大1．
（Ⅰ）写出动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设为过作曲线的任一条弦所在直线方程，弦的中点为，过点作直线与直线交于点，与轴交于点，且使得，，求的正弦值（其中为定点．
例7．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．
例8．设点，在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点．
（1）求证：三点、、共线．
（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程．
【同步练习】
一．选择题
1．数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，直线与抛物线交于、两点，、两点在轴上的射影分别为、，从长方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为
A．B．C．D．
2．已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线相切于，两点，则直线的斜率为
A．1B．C．D．3
3．过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，为的中点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设，，，，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴．
其中正确的个数是
A．2B．3C．4D．5
4．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．随位置变化前三种情况都有可能
5．已知，为抛物线上两点，点，的横坐标分别为4，，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为
A．1B．3C．D．
6．古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线交抛物线于，两点，点，在轴上的射影分别为，．从长方形中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为
A．B．C．D．
7．抛物线上任意两点、处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③．
若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为
A．B．C．D．
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为2，则直线的方程为
A．B．C．D．
9．已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，，分别是该抛物线在、两点处的切线，，相交于点，设，，则
A．B．C．D．
二．多选题
10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
三．填空题
11．已知点在抛物线的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率是 ．
12．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
13．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知，为抛物线上两点，则在点处抛物线的切线的斜率为 ．
四．解答题
14．如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．
15．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，过且垂直于轴的直线交抛物线于，两点，的面积为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作两条直线与抛物线分别交于，和，，再分别以线段和为直径作圆，两圆的公共弦所在直线记为，试判断是否过定点．若是，请求出该定点；若不是，请说明理由．
16．如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，．
（1）若，证明：直线经过点；
（2）若分别记，的面积为，，求的值．
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点，到准线的距离与到原点的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点．
18．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求；
（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为1，且，，是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线恒过定点．
21．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上．
22．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．
23．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且，
过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（1）证明线段被轴平分；
（2）计算的值；
（3）求证：．
24．已知动点在轴上方，且到定点的距离比到轴的距离大1，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，且，交于点，求证：在定直线上．
25．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为
（1）证明线段被轴平分；
（2）计算的值；
（3）求证．
26．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，经过、两点分别作抛物线的切线、，若切线与相交于点．当变化时，点的纵坐标是否为定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．