最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第33讲 几何法求角和距离

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第33讲 几何法求角和距离
【典型例题】
例1．直三棱柱中，侧棱，，，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
例2．平行六面体中，，，点在平面内的射影是与的交点，则异面直线与所成的角为
A．B．C．D．
例3．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形，点为线段的中点．
（1）证明；
（2）当时，求点到平面的距离．
例4．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
例5．如图所示，多面体中，是直角梯形，，，，平面，正平面，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
例6．如图，在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
例7．如图1，平行四边形中，，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中△的位置，使得．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．
【同步练习】
一．选择题
1．在三棱锥中，已知所有棱长均为2，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
2．已知三棱锥的棱长都相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
3．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
4．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．0
5．如图，在棱长为2的正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为
A．B．C．D．
二．多选题
6．正方体的棱长为1，为的中点
A．直线与直线是异面直线
B．在直线上存在点，使平面
C．直线与平面所成角是
D．点到平面的距离是
7．如图，在平行六面体中，平面，且，，，则
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面
D．二面角的角度为
8．已知正方体的棱长为2，则
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角为
三．解答题
9．在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设．
（1）求的值；
（2）设是上的任意一点，求到平面的距离．
10．在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
11．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面且，求直线与平面所成角的正弦值．
12．如图，在三棱台中，平面平面，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
13．如图，在三棱台中，平面平面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
14．如图，四棱锥中，底面为正方形，且，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的正切值；
（Ⅲ）求与底面所成角的余弦值．
15．如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设，求三棱锥夹在平面与平面间的体积．
16．如图甲，在平面四边形中，已知，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值大小．
17．如图，四面体中，，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
18．在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，，．点在线段上（端点除外），平面交于点．
（1）求证：四边形为直角梯形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图所示为一个半圆柱，为其轴截面，为半圆弧上的任意点（异于、两点）．
（1）求证：不论在何处总有；
（2）已知，，．求四棱锥的体积．
20．如图（1），在梯形中，且，线段上有一点，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积．
21．如图，已知平行四边形，，，，，分别为线段，上的点，且，现将沿翻折至△．
（Ⅰ）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）当三棱锥的体积达到最大时，求直线与平面所成角的余弦值．
22．如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面，点在侧棱上．
（1）当为侧棱的中点时，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求的值．
23．如图，四棱锥的底面是菱形，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，为的中点，求三棱锥的体积．
24．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点．
（1）求证平面；
（2）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．
25．如图在三棱柱中，侧面为菱形，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设为线段上一点，求三棱锥的体积．
26．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面底面，记平面平面．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
27．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，其对角线交点为，侧面底面，且．
（1）求证：面平面；
（2）求点到面的距离．
28．在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
29．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若点到平面的距离为2，记二面角的正切值为，求的最小值．
30．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，，，求异面直线与所成角的余弦值．
31．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）当，时，求三棱锥的体积．
32．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
33．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．
（1）证明：．
（2）求点到平面的距离．
34．如图，在四棱柱中，底面为菱形，其对角线与相交于点，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
35．如图在三棱柱中，平面，，，、分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
36．如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，，已知，，，四边形为矩形，平面平面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
37．如图，点是以为直径的圆上异于，的动点，平面，四边形是直角梯形，且，，，，．
（1）证明：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．
38．如图，在四棱锥中，，，，，为正三角形，是的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求四棱锥的体积．
39．如图，在直三棱柱中，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若三棱柱的体积为4，求异面直线与夹角的余弦值．
40．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，与平面所成角的正切值依次是1和，，，依次是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
41．如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点．
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若四棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正切值．
42．如图，正四棱锥 中，，侧棱 与底面 所成角的正切值为．
（1）若 是 中点，求异面直线 与 所成角的正切值；
（2）求侧面 与底面 所成二面角的大小．