2024届高考数学-第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（解析版）

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第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题 参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得，再由，所以可得，所以，所以椭圆的方程为：；因为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的方程：，所以椭圆的方程为：，抛物线的方程：；（2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，，联立整理可得：，，，所以，，联立整理可得：，，所以，得，要使其为定值，则对应比成比例，所以可得，即时，为定值．2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设椭圆、抛物线的公共焦点，由点到直线的距离公式得解得，故，即，由，得，，即，又，解得故椭圆的方程为，抛物线的方程为．（2）设，，，，，，，．把直线的方程，与椭圆的方程联立，得，整理得，把直线的方程，与抛物线的方程联立，得，得，要使为常数，则，解得故存在，使得为常数．3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由右焦点到直线的距离为5，可得：，解得．又，，联立解得，．椭圆的标准方程为．（2）当直线与轴重合时，．当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，，．联立，化为：，△，，．，同理可得：．．综上可得：．4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．【解答】解：椭圆的右焦点为，设直线的方程为，，，，．由，得，直线过焦点，△，且，，，同理，故．由，，解得．所以直线的斜率的取值范围是，，．5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得，，△的周长为，，，椭圆的方程为，将代入得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，消去，整理得，设，，，，则，，不妨设，，，同理，所以，，即，所以存在实数，使得成立．6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．由题意知解得，所以椭圆的标准方程为．（2）因为，当直线的斜率不存在时，，则，不符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．由，消得．设，，，，则、是方程的两个根，所以，，（法一），，，当时，取最大值为3，所以的取值范围．又当不存在，即轴时，取值为．所以的取值范围，（法二），当时，取最大值为3，所以的取值范围．又当不存在，即轴时，取值为．所以的取值范围．7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得，由椭圆的定义可得△的周长为，又因为△的周长为8，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线的方程为，联立，得，设，，，，所以，，设的中点为，，所以，，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，，所以，当时，直线的方程为，此时，，所以，综上，．8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．【解答】解：（Ⅰ）是椭圆上的点，且，所以点，又，直线的方程为；坐标原点到直线的距离是，得，，即；解方程得或（不合题意，舍去）；故所求椭圆离心率为；（Ⅱ）证明：由椭圆离心率为，①；②由①②得；椭圆，其上顶点为；故直线的方程为，与椭圆方程组成方程组，消去，得，解得，所以，；又，，化简得；记，又，，函数的零点在区间内，存在，使得．9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又点，，，恰在以为直径，面积为的圆上，所以四边形为矩形，且，所以点的坐标为．（2分）又，所以，，．在△中，，由，（3分）解得，，所以椭圆的方程为．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知点坐标为，将与椭圆方程联立得，设，，，，得，，（8分）故．（9分）又，（10分）所以，解得．（11分）所以直线的方程为．（12分）10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，所以，椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得，所以，解得：，，所以柯圆的标准方程为：．方法二：由椭圆定义；，，得到：，即，又，得，所以椭圆的标准方程为：．（2）证明：设直线的方程为：．得，，设过点且平行于的直线方程：，．11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．求椭圆的方程；过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线所在直线方程上，的斜率为，，，，椭圆的方程为；（Ⅱ）由得，直线，联立，得，，，，直线与直线垂直，，则，解得．12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，所以，故直线斜率的取值范围是：；（Ⅱ）由知，，所以，，设直线的斜率为，则，即，则，，联立直线、方程可知，，故，，又因为，故，所以，令，，则，由于当时，当时，故，即的最大值为．13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）若，，求弦长的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，，即，，则，①把代入，得，则，②联立①②得：，．椭圆的方程为；（2）如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，得．设，，，，则，③由，得，，，，则，④把④代入③消去得：，当，时，，．解得：．．弦长的取值范围为．14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．【解答】解：（1）由，，，解得，，，所以椭圆的方程为；（2）证明：，，，又，设的方程为，由可得，设，，，，则△，，，由可得，，，即存在满足条件；（3）由题意可知：，，设，其中，，，，，，，，，，，将向量坐标代入并化简得：，因为，所以，而，所以，．15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．【解答】解：（1）原点到直线的距离为，所以，解得，又，得，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，，，则；当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，联立方程组，得，由△，得，所以，，显然，同号，，，故，，，，且，故的取值范围是，．16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．【解答】解：（1）原点到直线的距离为，所以，解得，又，得，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，；当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，联立方程组，得，由△，得，所以，，由，得，所以．综上可得：，即．17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．如果点的坐标为，求弦长；（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设，，因为抛物线的方程为，所以，则，则过、的切线方程分别为，，联立两条切线方程可得交点，又由，可知，即，所以，从而，，因为点的坐标为，则，不妨设，则，所以，，因此．（Ⅱ）令，由可得，所以，因此，因为，所以，所以，令，则，由得△，即，解得．即的取值范围为．18．已知曲线；曲线．（1）试判断曲线与的交点个数；（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．【解答】解：（1）由，得，所以，由，得，所以，即，由得，解得或，所以曲线与的交点有两个；（2）①当直线存在斜率时，设的方程为，，，，，由得，△，即恒成立，则，，，，，，又，所以；②当直线不存在斜率时，把代入得，此时，综合①②得的取值范围为，．19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），抛物线方程为．（4分） （Ⅱ）设方程为，，，，，，，，，由得，△，所以，，，，代入方程得：，（6分）所以，（8分）且直线，由得，则得，代入直线方程得，所以，（10分）则，（12分）令，则，而在单调递增，在单调递减所以（14分）20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．【解答】解：（Ⅰ）设，点坐标为，，，，，，，，，，，因此，解得，，椭圆的方程：；（Ⅱ）由题意可知，整理得，由直线与椭圆交于不同的两点、，设，，，，由，得，△，化简可得，，，，，，，，，21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．【解答】（Ⅰ）由题意椭圆过点，，设左焦点，满足．所以、、三点在一条直线上，，（Ⅱ）因为直线与椭圆交于不同两点，，设，，，则，联立可得，①则韦达定理有，②△，因为直线与圆相切，所以，③当且，时，，④将②③代入④可得，，，；⑤⑥将⑥代入⑤可得，，；所以，；22．设椭圆，为坐标原点，（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，，，由椭圆过点、得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设，，，由，得，，①，又在椭圆上，所以，得，代入①式得，化简得，则有，即，两边平方得，即，所以，解得，即．所以椭圆离心率的范围为：，．（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且，设该圆的切线方程为，，，，．由，得，则△则，要使，需使，所以，所以结合可得，解得或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为，或，满足，（其实与轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且．，①当时，因为，所以（当且仅当时取” ” ．当时，．综上，的取值范围为，23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．【解答】解：（1）设，则，，．由，得．化简得，即动点的轨迹的方程为．（2）设，，，，由题意知，，因为，所以，易知，所以．①设直线的方程为，联立消去，得，则△，，②，③由①②③解得，所以．24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．【解答】解：（1）抛物线，而，所以在抛物线的内部，过作准线的垂线交抛物线于一点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有，则， 即为 到 距离，，，抛物线的方程为．（2）设，，，，，，，，由题意 斜率必存在，设为，则，则，则，联立直线与抛物线得，消去得，由韦达定理得，根据抛物线的定义有，，，联立直线与抛物线得，消去得，由韦达定理得，，根据抛物线的定义有，，，，当且仅当16 或 取等，的取值范围为，．25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，解得，，即有椭圆的方程为；选②椭圆过点，即有，又，即，解得，即有椭圆的方程为；选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，即为，又，即，，，即有椭圆的方程为；（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，设，，，，可得，，可得，设的中点为，可得，，由题意可得，解得，可得，可得，即为定值．