最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第35讲 空间几何体的内切、外接、截面问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第35讲 空间几何体的内切、外接、截面问题
【典型例题】
例1．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的体积为
A．B．C．D．
例2．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为
A．B．C．D．
例3．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是
A．B．C．D．
例4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为则它的体积为
A．B．C．D．
例5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
例6．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
例7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
A．B．C．D．
例8．过正方体的棱、的中点、作一个截面，使截面与底面所成二面角为，则此截面的形状为
A．三角形或五边形B．三角形或四边形
C．正六边形D．三角形或六边形
例9．设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面
A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个
【同步练习】
一．选择题
1．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为
A．B．C．D．
2．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为
A．B．C．D．
4．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为
A．B．2C．3D．
5．已知在四面体中，，平面平面，则四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
二．多选题
6．已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则
A．该三棱锥的内切球半径为B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为D．该三棱锥体积为
7．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是
A．B．C．D．
8．传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等．因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则
A．
B．的展开式中的的系数为56
C．的展开式中的各项系数之和为0
D．，其中为虚数单位
9．已知四面体中，，，，直线与所成角为，则下列说法正确的是
A．的取值可能为
B．与所成角余弦值一定为
C．四面体体积一定为
D．四面体的外接球的半径可能为
三．填空题
10．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则球心到平面的距离为 ．
11．已知正三棱锥底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．
12．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是 ．
13．如图，正方体的一个截面经过顶点，及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 ．
14．古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的体积与圆柱的体积之比为 ．
15．在三棱锥中，面面，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16．在正三棱锥中，，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 ．
17．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
18．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的序号是 ．
①平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形；
②平面截直四棱柱所得截面的面积为；
③二面角的正切值为；
④点到平面的距离与点到平面的距离之比为．
19．如图，已知球与圆锥的侧面和底面均相切，且球心在线段上，圆锥的底面半径为1，母线长为2，则球的表面积为 ．
20．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是 ．
21．如图，设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ．
22．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ．
23．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ．
24．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ．
四．解答题
25．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球
（Ⅰ）求球的体积；
（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球的表面积之比．