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新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结(2份打包,原卷版+解析版)
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1.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,短轴的两个端点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程;
(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为2,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
2.已知动圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ,且在 SKIPIF 1 < 0 轴上截得的弦 SKIPIF 1 < 0 的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(Ⅱ)已知点 SKIPIF 1 < 0 ,设不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 轴是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线,证明直线过定点.
3.设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆的短轴长为4,离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点,点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为原点),求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
4.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ,抛物线 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 ,斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 ,经过点 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若抛物线的准线经过点 SKIPIF 1 < 0 ,求抛物线的标准方程和焦点坐标:
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积取得最大值?若存在,请求出这个最大值及 SKIPIF 1 < 0 的值;若不存在,请说明理由.
5.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 恰好为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率;
(2)与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率相同的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,求当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
6.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点(不同于点 SKIPIF 1 < 0 ,记直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,试判断是否存在定值 SKIPIF 1 < 0 ,使当 SKIPIF 1 < 0 变化时 SKIPIF 1 < 0 总成立?若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值;若不存在,请说明理由.
7.如图,已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ,离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅰ)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程;
(Ⅱ)设 SKIPIF 1 < 0 是经过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的任一弦(不经过点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
8.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的线段的长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 为原点)的斜率的取值范围.
9.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点,且在第一象限,满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)已知经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,经过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ,问直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.
10.设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是正三角形 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点),求此三角形的边长;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(3)试对 SKIPIF 1 < 0 进行讨论,请你写出符合条件的直线 SKIPIF 1 < 0 的条数(只需直接写出结果)
11.如图,已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都在圆 SKIPIF 1 < 0 上,且线段 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
12.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆右焦点的连线垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切于第一象限的直线 SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最小值.
13.已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 .判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值.若是,求出这个定值,若不是,说明理由.
14.下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索,现邀请你一起合作学习,请你思考后,将答案补充完整.
(1)圆 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 .理由如下: .
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 外一点,过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,如图,则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 .这是因为在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点处,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .两切线都过 SKIPIF 1 < 0 点,所以得到了 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,由这两个“同构方程”得到了直线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(4)问题(3)中两切线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得△ SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ,则由这个方程可知 SKIPIF 1 < 0 点一定在一个圆上,这个圆的方程为 .
(5)抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
(6)抛物线 SKIPIF 1 < 0 ,过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,分别过点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 作抛物线的两条切线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .则①点 SKIPIF 1 < 0 在以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上;②点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上.
15.如图1,在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左右顶点, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是左、右焦点.
(1)已知椭圆内有一点 SKIPIF 1 < 0 ,在椭圆上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ,则求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别是多少?
(2)如图1,若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴,点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的任意一点,直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,设过点 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 .求证:直线 SKIPIF 1 < 0 过定点,并求出定点的坐标.
(3)如图2,若直线 SKIPIF 1 < 0 过左焦点 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,求证:以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过两个定点.
(4)如图3,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点,点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上除 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 外的任意一点,当直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在,并记为 SKIPIF 1 < 0 为定值.
(5)如图4,若动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的两点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
(6)如图5,若过点 SKIPIF 1 < 0 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点.试探究:线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,若存在,求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围,若不存在,说明理由.
(7)如图6,若点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点,设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的 SKIPIF 1 < 0 ?①点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上;②点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心,若存在,求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,若不存在,说明理由.
16.已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,过点 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .如图所示.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标;
(2)求经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标;
(3)过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.
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