最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第29讲 离心率问题速解

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第29讲 离心率问题速解
【题型归纳目录】
题型一：焦点三角形
题型二：黄金三角形
题型三：齐次化
题型四：圆
题型五：共焦点（乌龟图）
题型六：顶角最大问题
题型七：定比分点模型
题型八：第三定义
【典型例题】
题型一：焦点三角形
例1．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：，为双曲线的两个焦点，是上的一点，，
设，，由双曲线的定义可得，即，
所以，，因为，，
所以，整理得，
所以．
故选：．
例2．已知椭圆分别为其左、右焦点，过作直线轴交椭圆于，两点，将椭圆所在的平面沿轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后，两点的对应点分别为，，记．若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：将代入中，解得：，
所以，且，
则在△，△中分别由余弦定理得，，
所以，
又由得，
所以，即，所以，即离心率为．
故选：．
例3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：，分别为椭圆的左、右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，
可得，，，，
可得，，
在线段上取一点，，满足，则，
，．
，
整理得，
由题意可知，关于的方程为在时有两个不等的实根，
．
可得，
可得，
所以．
故选：．
变式1．已知椭圆，焦距为，以点为圆心，为半径作圆，若过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆，焦距为，以点为圆心，为半径作圆，若过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，
，，，
故，
在中，由，有，
故，得：，
有，
化为：，有，得，
解得．故选：．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点在第一象限）．若，，，四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，则四边形为矩形，
因为直线倾斜角为，所以，
在直角三角形中，可得，，
则，即，
椭圆的离心率为，
故选：．
变式3．已知椭圆，是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
则，，，
表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
所以，
所以，
若恒成立，则，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故选：．
变式4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为上一点，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：因为，且，
所以，，
由椭圆的定义知，，即，
化简得，
所以椭圆的离心率．
故选：．
变式5．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，
，
由于在以为直径的圆周上，，
为平行四边形，，，
在直角三角形中，，，
解得：，，；
在直角三角形中，，，
得，，
故选：．
变式6．（多选题）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
变式7．（理已知椭圆，，是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上一点，满足那么，且到直线的距离等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为 ．
【解析】解：点在椭圆上，
又，
过点作于点，则到直线的距离为，
因为，可得是的中点，所以，
△中，，即
整理得：，即
不为0，，得
因此椭圆的离心率为
故答案为：
题型二：黄金三角形
例4．已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线，与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于、，且为的中点，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：设切线的方程为，即，
联立切线方程和椭圆，可得，
由直线和椭圆相切可得△，
解得，
所以切线的方程为，令，可得，
双曲线的渐近线方程为，
联立切线的方程与渐近线方程，可得，，
联立切线的方程与渐近线方程，可得，，
由为的中点可得，
化为，
则双曲线的离心率为．
故选：．
例5．如图，设、是双曲线的左、右焦点，点，分别在两条渐近线上，且满足，，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【解析】解：渐近线的方程为，点，
因为，所以直线的斜率为，其方程为，
联立，可得点，，
设点，
因为，所以，，，
解得，，
将其代入渐近线，有，化简可得，
所以离心率．
故选：．
例6．设双曲线的右焦点为，的一条渐近线为，以为圆心的圆与相交于，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意做出图象，如图所示，由题意知，且设，
取为的中点，结合为等腰直角三角形，则，．
又在中，．
，．
又，，
整理得：，
，即．
．
故选：．
变式8．已知双曲线的焦距为4，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率为 ．
【解析】解：由焦距为4可得，设双曲线的一条渐近线方程为，
过、、分别作渐近线的垂线，垂足分别为、、，
过作，垂足为，交于，
可得到渐近线的距离为，
，即，
由，，，
在中，，
即为，化为，
即，则，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
变式9．已知双曲线的一条渐近线为，左、右焦点分别是，，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【解析】解：由题：把代入可得，
，
，
即，
，
可得．
故答案为：．
变式10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为 ．
【解析】解法一：由题得，不妨设过点作双曲线渐近线的垂线，
则由点到直线的距离得，又，所以，所以，
在中，，又在△中，，
所以，所以，又，所以，所以．
解法二：由题得，，
不妨过点作双曲线渐近线的垂线，则直线的方程为，
联立方程组得，所以，，
所以，化简得，所以．
故答案为：．
变式11．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且满足为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
【解析】解：法一：点到渐近线的距离为，在中，，，
所以，设，则，，
因为，所以，所以，所以，
在中，，所以，
解得，故双曲线的离心率为．
法二：点到渐近线的距离为，
因为，所以，所以，所以，
因为是的平分线，故可得，
所以，所以，
所以，故双曲线的离心率为．
故答案为：．
题型三：齐次化
例7．已知，为双曲线的左，右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，其中一角为，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【解析】解：设双曲线方程为，
若，为等腰三角形，其中一角为，
则只能是，，
过点作轴，垂足为，则，
在中，，，
即有，，
故点的坐标为，
代入双曲线方程得，
即为，即，
则．
故选：．
例8．已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：不妨取点在第一象限，如右图：
设双曲线的方程为：，
是顶角为的等腰三角形，
，，
点的坐标为，，
又点在双曲线上，
将坐标代入坐标得，
整理上式得，，而，
，因此，
故选：．
例9．已知双曲线的左，右顶点为，，点在上，为等腰三角形，且顶角满足，则的离心率为
A．B．2C．D．
【解析】解：不妨取点在第一象限，如右图：
是顶角满足的等腰三角形，
，，
点的坐标为，，即，，
又点在双曲线上，
将坐标代入坐标得，
整理上式得，，
而，
，
因此，
故选：．
变式12．已知椭圆，焦距为，以点为圆心，为半径作圆，若过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆，焦距为，以点为圆心，为半径作圆，若过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，
，，，
故，
在中，由，有，
故，得：，
有，
化为：，有，得，
解得．
故选：．
变式13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若△的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：设的焦距为．因为△的周长为54，所以，
所以，
因为的短轴长为18，所以，
因为，所以，
所以，，
故的离心率为．
故选：．
变式14．已知椭圆的左、右焦点分别为和为上一点，且△的内心为，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：连接，，，延长交轴于，
则，又，，，，
所以，
故，即，
又，
所以，即，
故选：．
变式15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，若，，，四点共圆，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，
所以，
故．
故选：．
变式16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交，两点，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：设，，椭圆的焦距为，
则，，可得，解得，
由，，
由勾股定理可得：，可得，
得．
故选：．
题型四：圆
例10．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：点的坐标为，设，，
则，
，
故，，，
又对称轴，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
故只需要满足，即，则，
所以，
又，
故的范围为，，
当时，即时，
则当时，最大，
此时，
当且仅当即时等号成立，
又，所以，即，
故不满足题意，
综上所述的的范围为，，
方法二：根据题意，有，设，，则，
也即，
不妨设，则，，，
也即，，，
也即，，，
从而可得，，
从而离心率的取值范围为，，
故选：．
例11．已知双曲线的两个顶点分别为，，若的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由题意设一条渐近线为：，取点，且，．
因为，，
整理得，该方程有解时，存在符合题意的点，
故，化简得，
．
故选：．
例12．设以原点为圆心的圆与轴交，两点，如果以，为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是 ．
【解析】解：若以，为焦点的椭圆与圆总有公共点，则椭圆的上、下顶点在圆内或圆上，
所以，即，
所以，即，
所以离心率，
因为，所以，
所以椭圆离心率的取值范围为，．
故答案为：，．
变式17．设，是椭圆的左右焦点，若该椭圆上一点满足，且以原点为圆心，以为半径的圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
【解析】解：点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得．
又，
过点作于点，过点作于点，
，
△是等腰三角形，可得是的中点，，
△中，，
．
△中，是中位线，．
又以原点为圆心，以为半径的圆与直线有公共点，
原点到直线的距离小于，即，得，
化简得，即，两边都除以得，解之得．
结合椭圆的离心率，可得．
又等腰△中，，
，得，所以．
综上所述，椭圆的离心率的取值范围是．
故答案为：
变式18．如图，设椭圆．
（Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用，表示）
（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：，
得或，
直线被椭圆截得到的弦长为：．
（Ⅱ）假设圆与椭圆有4个公共点，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足，
记直线，的斜率分别为：，；且，，，由（1）可知，
，
故：，
所以，，由，
，，可得：，
因此①，
因为①式关于，的方程有解的充要条件是：，
所以．
因此，任意点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：，
得，所求离心率的取值范围是：．
题型五：共焦点（乌龟图）
例13．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：设椭圆方程是，双曲线方程是，
由定义可得，，
，，
在△中由余弦定理可得，
，
即，
，
由柯西不等式得，
即，
即，当且仅当，时取等号．
故选：．
例14．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的平方之和的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，半焦距长为，
在△中，由余弦定理可得，
而，则，
在椭圆中，，可得，①
在双曲线中，，可得，②
①②可得，
整理可得：，
所以，
故选：．
例15．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，解得，，
设，，则：
在△中由余弦定理得，，
化简得：，该式可变成：，
即．
故选：．
变式19．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且．记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：不妨取点在第一象限，设，，，
在△中，由余弦定理知，，即①，
由椭圆的定义知，，即②，
由双曲线的定义知，，即③，
由①②可得，，，
由①③可得，，，
，化简得，，
两边同时除以，得，当且仅当时，等号成立，
，
的最大值为．
故选：．
变式20．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为
A．B．
C．D．
【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，解得，，
设，，则：
在△中由余弦定理得，，
化简得：，该式可变成：．
．
故选：．
变式21．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为
A．B．C．D．1
【解析】解：不妨设椭圆的方程为，双曲线方程为，
可设点在第一象限，，，，
由椭圆和双曲线的定义得，，
解得，，
在△中，由余弦定理得，
即，化为，
即，即为，
由，
可得，当且仅当时取得等号，
所以的最大值为，
故选：．
变式22．（多选题）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【解析】解：由题意，双曲线，；
双曲线，，
，
当时，；当时，，
故选：．
变式23．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且．设椭圆，双曲线的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【解析】解：由题意，可设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，
由椭圆和双曲线的定义可知，，，
则，，
又，由余弦定理可得，
整理得，即，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
故答案为：．
变式24．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，，则的最小值是 ．
【解析】解：设椭圆方程是，双曲线方程是，
由定义可得，，
，，
在△中由余弦定理可得，
即，
．
．
故答案为：．
题型六：顶角最大问题
例16．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，，若椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由椭圆的对称性可知，当为椭圆的上下顶点时，最大，
故只需即可满足题意，
设为坐标原点，则只需，则有，
所以，，
故选：．
例17．已知，是椭圆的长轴的两个端点．若上存在点满足，则的取值范围是 ．
【解析】解：当轴为长轴，即时，，，，
当点为轴与椭圆的交点时，最大，
要使椭圆上存在一点满足，则，
即，所以，
故，
当轴为长轴时，同理可得，
综上，的取值范围为，
故答案为：．
例18．设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 ．
【解析】解：假设椭圆的焦点在轴上，则时，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，
解得：；
当椭圆的焦点在轴上时，，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，解得：，
的取值范围是，，
故答案为：，，．
变式25．已知，是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点，且的最大值为，则椭圆的离心率为 ．
【解析】解：由题意可得当在椭圆的短轴的端点时最大，
因为的最大值为，所以，
即，
所以椭圆的离心率，
故答案为：
变式26．在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点．若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解析】解：由落在椭圆上，则，
又，得，
，
由得：，即，解得：，
又，．
故答案为：．
变式27．已知椭圆的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且△的面积等于6，则实数的值为 ．
【解析】解：由椭圆的定义可知：，
又，△的面积等于6，
，即，
由，，可得，
．
由，得，①
而椭圆，②
由①②得，，从而，
故（舍去），或，
的取值范围为，．
故答案为：；，．
题型七：定比分点模型
例19．过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：直线经过且倾斜角为，
的斜率，得直线方程为
将直线方程与椭圆联解，消去得：
设，，，，得，
，
，
消去，得（1）
又椭圆的焦点
，代入（1）式化简整理，得，解之得
由此可得，，所以椭圆的离心率
故选：．
例20．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为
A．B．C．D．
【解析】解：法一：由已知可设，则，，由椭圆的定义有，
．
在△和△中，由余弦定理得，
又，互补，，两式消去，，
得，解得．
，
所求椭圆方程为，
故选：．
法二：如图，由已知可设，则，，
由椭圆的定义有，．
在△中，由余弦定理推论得．
在△中，由余弦定理得，解得．
，
所求椭圆方程为，
故选：．
例21．过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解析】解：如图，设椭圆的左准线为，过点作于，
过点作于，再过点作于，
直角中，，所以，①
由圆锥曲线统一定义得：，
，
直角梯形中，②
①、②比较，可得，
又
故所求的离心率为．
故选：．
变式28．过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率等于
A．B．C．D．
【解析】解：作准线与轴交点为，过准线的垂线，垂足分别为、，过作，垂足为，交轴于．
设，因为，则，，
因为倾斜角为，所以，则，
，
所以，
故选：．
变式29．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 ．
【解析】解：作准线与轴交点为，过，准线的垂线，垂足分别为、，过作，垂足为，交轴于，
设，因为，则，，
因为倾斜角为，所以，则，
，
所以．
故答案为：．
变式30．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为 ．
【解析】解：设，则，，
由椭圆定义知，
所以，所以，
故点为椭圆的上（下顶点，设，
由，得，
点在椭圆上，故，
解得，
又由，可得，
故椭圆方程为．
故答案为：．
变式31．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，则点的坐标是 ．
【解析】解：因为，分别为椭圆的焦点，则，，，，
设，，，．
，
，，
解得，，
点，在椭圆上，
代入椭圆方程，解得，．
，
，．
故答案为：，．
题型八：第三定义
例22．（2022春·四川巴中·高二四川省平昌中学校考阶段练习）已知椭圆，的左顶点为，点P，Q均在上，且关于轴对称，若直线AP，AQ的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，则有，
可得，
，
故，化简得，
解之(2舍去).
故选：C
例23．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则， ，
所以，作差得，
所以，即，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.
例24．（2022春·吉林长春·高二德惠市实验中学校考阶段练习）椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.
【答案】
【解析】已知，设，则，
，，
故①，
∵，即②，
②代入①整理得：，
．
故答案为：．
变式32．（2022·广东珠海·统考一模）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】设，由题得
故填.