新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（2份打包，原卷版+解析版）

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1．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，使得 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 右侧．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的面积；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
2．如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，使得 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右侧．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点（均异于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，证明： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，并使得 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在锐角 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立？请说明理由．
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，其中一条渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的动直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左顶点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（Ⅲ）若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 为定值．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的动点，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴有两个交点，求点 SKIPIF 1 < 0 横坐标的取值范围．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）作直线垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限内的动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和下顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
8．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于顶点的三点且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为定值．
9．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于顶点的三点且满足 SKIPIF 1 < 0 ，探讨 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
10．定义：在平面内，点 SKIPIF 1 < 0 到曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值称为点 SKIPIF 1 < 0 到曲线 SKIPIF 1 < 0 的距离．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知圆 SKIPIF 1 < 0 及点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到圆 SKIPIF 1 < 0 的距离与到 SKIPIF 1 < 0 点的距离相等，记 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 不与坐标轴重合）与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，动直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）讨论 SKIPIF 1 < 0 是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的上、下顶点， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 异于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于异于点 SKIPIF 1 < 0 的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 上的点和椭圆 SKIPIF 1 < 0 上点的最小距离为1．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的不同于 SKIPIF 1 < 0 的两点，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
②求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．
15．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ．设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与椭圆分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）设动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的一定点（其坐标与 SKIPIF 1 < 0 无关）．
16．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是一个定点．如图所示，连 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点（不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）在直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 变化的过程中，是否存在一个常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出这个常数 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，经过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及直线 SKIPIF 1 < 0 所经过的定点坐标．
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点为顶点的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆相交于异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试探究，点 SKIPIF 1 < 0 是否在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内？证明你的结论．