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2024届高考数学-第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结(解析版)
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这是一份2024届高考数学-第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结(解析版),共28页。试卷主要包含了如图,已知点为抛物线的焦点,已知椭圆的右焦点为,短轴长为,在平面直角坐标系中,椭圆过点,,定义等内容,欢迎下载使用。
第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结 参考答案与试题解析一.解答题(共19小题)1.如图,已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点右侧.记,的面积为,.(1)若直线的斜率为,求以线段为直径的圆的面积;(2)求的最小值及此时点的坐标.【解答】解:(1)由题意可得,解得,所以抛物线的方程为,由已知设直线的方程为,与抛物线联立可得,,所以,则线段,则以线段为直径的圆的半径为8,故圆的面积为;(2)设,,,,,,重心,,令,,则,由直线过点,故直线的方程为,代入,可得,所以,即,所以,又由于,,重心在轴上,故,所以,,所以直线的方程为,可得,,由于点在焦点的右侧,故,故,令,则,所以,当且仅当,即时,取得最小值,此时.2.如图,已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于,两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点的右侧.记,的面积分别为,.(Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程;(Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标.【解答】解:(Ⅰ)由抛物线的性质可得:,,抛物线的准线方程为;(Ⅱ)设,,,,,,重心,,令,,则,由于直线过,故直线的方程为,代入,得:,,即,,,又,,重心在轴上,,,,,,直线的方程为,得,,在焦点的右侧,,,令,则,,当时,取得最小值为,此时.3.已知椭圆的右焦点为,短轴长为.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆的右顶点,过点的直线与交于、两点(均异于,直线、分别交直线于、两点,证明:、两点的纵坐标之积为定值,并求出该定值;(3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为,如图,过点的直线与交于、两点,点在上,并使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在的右侧,设、的面积分别为、,是否存在锐角,使得成立?请说明理由.【解答】解:(1)依题意,得,且,,,椭圆的方程为.(2)证法由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在,则直线,,,直线、的方程分别为、,易得,,、两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在,则可设直线,联立椭圆的方程,得.设,,,,则,,直线的方程为,点的纵坐标.同理,点的纵坐标.所以.综上,、两点的纵坐标之积为定值.证法2:设直线的方程为,联立椭圆的方程,得.设,,,,则,,直线的方程为,点的纵坐标.同理,点的纵坐标.所以,故、两点的纵坐标之积为定值.证法3:由椭圆的方程可知.设,,则直线的方程为,由联立椭圆的方程,得,由韦达定理可得,即.,于是点的坐标为,同理,点的坐标为,,、、三点共线,,故,化简得.即、两点的纵坐标之积为定值.证法4:由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在,则直线,,,直线、的方程分别为、.可得,,、两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在,则可设,,这里,,,,,、、三点共线,,故,化简整理得,注意到直线的斜率存在,,于是便有,化简得,又直线的方程为,可得点的纵坐标,同理,点的纵坐标,所以,.即、两点的纵坐标之积为定值.(3)不存在.理由如下:显然,抛物线的方程为.方法1:设,,则直线方程可为,由可得故(注:这里表示点的纵坐标,余类似),,.重心在轴上,,即,,进而,.进一步可得直线,,,又在焦点的右侧,,即.因此.当(注意到,即时,取等号,即有(※).若存在锐角,使得成立,则,即,这与(※)矛盾.因此,不存在锐角,使得成立.方法2:设,,,,,,,三点共线,,即,即,同理可得,为的重心,,,且.,.,设,则,不妨设,在焦点的右侧,,而,即,,进而,即.因此,,当且仅当,即时,取等号,即有(※).若存在锐角,使得成立,则,即与(※)矛盾,因此,不存在锐角,使得成立.4.已知双曲线的焦距为,其中一条渐近线的方程为.以双曲线的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为,过原点的动直线与椭圆交于、两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点为椭圆的左顶点,,求的取值范围;(Ⅲ)若点满足,求证为定值.【解答】(Ⅰ)解:双曲线的焦距为,,,①一条渐近线的方程为,,②由①②解得,,椭圆的方程为.(Ⅱ)解:点为椭圆的左顶点,,,设,,由,得,,,,解得,,,设,,则,,,又,,,,,的取值范围是.(Ⅲ)证明:由,知在线段垂直平分线上,由椭圆的对称性知,关于原点对称,①若、在椭圆的短轴顶点上,则点在椭圆的长轴顶点上,此时.②当点,,不是椭圆的顶点时,设直线的方程为,则直线的方程为,设,,由,解得,,,用代换,得,,综上所述:.5.已知椭圆的左右焦点分别为、,且经过点,为椭圆上的动点,以为圆心,为半径作圆.(1)求椭圆的方程;(2)若圆与轴有两个交点,求点横坐标的取值范围.【解答】解:(1)由椭圆定义得,(1分)即,(3分).又,.(5分)故椭圆方程为.(6分)(2)设,,则圆的半径,(7分)圆心到轴距离,(8分)若圆与轴有两个交点则有即,(9分)化简得.(10分)为椭圆上的点,(11分)代入以上不等式得,解得.(12分),(13分).(14分)6.已知椭圆的左、右焦点分别为,,且椭圆上的点满足,.(1)求椭圆的标准方程;(2)作直线垂直于轴,交椭圆于点,,点是椭圆上异于,两点的任意一点,直线,分别与轴交于,两点,判断是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【解答】解:(1)依题意得:,.由椭圆定义知,又,则,在△中,,由余弦定理得:,即,解得,又,故所求椭圆方程为.(2)依题意得知:,两点关于轴对称,设,,,,则,,则,,,同理,又直线的方程为,由得点的横坐标,同理直线的方程为,由得点的横坐标,,为定值.7.已知椭圆的左右焦点坐标为,且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点,,分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求四边形的面积.【解答】解:(1)因为椭圆焦点坐标为,且过点,所以,所以,(3分)从而,故椭圆的方程为. (6分)(2)设点,,,,,因为,且,,三点共线,所以,解得,所以,(8分)同理得,(10分)因此,,(12分)因为点,在椭圆上,所以,即,代入上式得:.四边形的面积为2. (14分)8.在平面直角坐标系中,椭圆过点,.(1)求椭圆的方程;(2)点,是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足,求证:直线与的斜率乘积为定值.【解答】解:(1)由题意得,,解得,.故椭圆方程为;证明:(2)令,,,,则由,可知,,故,整理得.又,,,故,故.9.在平面直角坐标系中,椭圆过点,.(1)求椭圆的方程;(2)点,是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足,探讨是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.【解答】解:(1)由题意得,解得,.椭圆的方程为;(2)是定值,等于9.证明如下:令,,,,由,得,,故,整理得:,又,,,故,得..故,则.故是定值,等于9.10.定义:在平面内,点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中,已知圆及点,动点到圆的距离与到点的距离相等,记点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)过原点的直线不与坐标轴重合)与曲线交于不同的两点,,点在曲线上,且,直线与轴交于点,设直线,的斜率分别为,,求.【解答】解:(Ⅰ)由题意知:点在圆内且不为圆心,圆及点,动点到圆的距离与到点的距离相等,故,所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆,(2分)设椭圆方程为,则,所以,故曲线的方程为.(5分)(Ⅱ)设,,,,则,,则直线的斜率为,又,所以直线的斜率是,记,设直线的方程为,由题意知,,由得:.,,由题意知,,所以,(9分)所以直线的方程为,令,得,即,.可得.(11分)所以,即.(12分)(其他方法相应给分)11.已知椭圆的离心率为,且过点,动直线交椭圆于不同的两点,,且为坐标原点)(1)求椭圆的方程.(2)讨论是否为定值.若为定值,求出该定值,若不是,请说明理由.【解答】解:(1)由题意可知,所以,整理,得,①又点在椭圆上,所以有,②由①②联立,解得,,故所求的椭圆方程为.(2)为定值,理由如下:设,,,,由,可知.联立方程组,消去,化简得,由△,得,由根与系数的关系,得,,③由,,得,整理,得.将③代入上式,得.化简整理,得,即.12.已知,分别是椭圆的左、右焦点,,分别为椭圆的上、下顶点,到直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过的直线交椭圆于,两点,求的取值范围;(Ⅲ)过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点(点异于点,与轴交于点(点异于坐标原点,直线与交于点.证明:为定值.【解答】解:(Ⅰ),分别是椭圆的左、右焦点,,分别为椭圆的上、下顶点,到直线的距离为.,,,解得,椭圆的方程为.(Ⅱ)的斜率不存在时,,解得,,;的斜率存在时,设直线,代入椭圆方程可得,设,,,,则,,,,,.综上可得的取值范围是,;(Ⅲ)证明:椭圆的右顶点,,设直线,,则,联立,得,,,设点,直线的方程为,、、三点共线,则有,,,,又,,将代入,得:,,,,.即为定值1.13.已知椭圆经过点,且离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与曲线相交于异于点的两点、,且直线与直线的斜率之和为,则直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)因为椭圆经过,所以,①因为离心率为,所以,②又,③由①②③,解得,,所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设,,,,联立,得,,,则,,因为直线与直线的斜率之和为,所以,所以,①所以,把①代入,得,所以,化简得,因为直线不过点,所以,即,所以,所以直线方程为,所以直线过定点.14.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线上的点和椭圆上点的最小距离为1.(1)求椭圆的方程;(2)已知椭圆的上顶点为,点,是上的不同于的两点,且点,关于原点对称,直线,分别交直线于点,.记直线与的斜率分别为,.①求证:为定值;②求的面积的最小值.【解答】解:(1)由题知,又,,.故椭圆的方程为;(2)①设,,则,点,关于原点对称,则,,;②直线的方程为,令,得,直线的方程为,令,得,,由,,,即的最小值为,的面积的最小值为.15.在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为、,右焦点为.设过点的直线、与椭圆分别交于点,、,,其中,,.(1)设动点满足,求点的轨迹;(2)设,,求点的坐标;(3)设,求证:直线必过轴上的一定点(其坐标与无关).【解答】解:(1)设点,则:、、.由,得,化简得.故所求点的轨迹为直线.(2)将分别代入椭圆方程,以及,,得、,直线方程为:,即,直线方程为:,即.联立方程组,解得:,所以点的坐标为. (3)点的坐标为直线方程为:,即,直线方程为:,即.分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,,解得:、.(方法一)当时,直线方程为:,令,可得,即为,令,解得:.此时必过点;当时,直线方程为:,与轴交点为.所以直线必过轴上的一定点.(方法二)若,则由及,得,此时直线的方程为,过点.若,则,直线的斜率,直线的斜率,得,所以直线过点.因此,直线必过轴上的点.16.已知是椭圆的左顶点,斜率为的直线交于、两点,点在上,且.(1)当时,求的面积;(2)当时,求的值.【解答】解:(1)设,,由题可知,,因为,可得,故直线的方程为,联立,得,解得或,所以,所以.(2)由题意可得,设直线的方程为,联立,得,所以,即,所以,同理可设直线的方程为,解得,由,得,即,即,因为,所以,所以.17.已知椭圆的离心率为,右焦点.过点作斜率为的直线,交椭圆于、两点,是一个定点.如图所示,连、,分别交椭圆于、两点(不同于、,记直线的斜率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在直线的斜率变化的过程中,是否存在一个常数,使得恒成立?若存在,求出这个常数;若不存在,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设,由题意,.解得,.椭圆的方程为.(5分)(Ⅱ)存在常数.设,,,,,,,.联立,可得于是,.直线的斜率,联立,可得则,进一步可得.将代入,则同理可得.则,由,两式相减可得,综上可知,存在常数.(15分)18.已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点,为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设,延长,分别与椭圆交于、两点,直线的斜率为,求的值及直线所经过的定点坐标.【解答】解:(1)依题意,得,解得,在椭圆中,.椭圆的标准方程为:(4分)(2)设,,,,,,,,显然,,故直线的方程为,代入椭圆方程,消去得:,由韦达定理得:,代入直线的方程得,,,,则,即,,同理得,显然,两点坐标均满足直线的方程,所以直线的方程为,,且直线过定点,(12分)19.已知椭圆的离心率为,以的四个顶点为顶点的四边形的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设,分别为椭圆的左、右顶点,是直线上不同于点的任意一点,若直线,分别与椭圆相交于异于,的点、,试探究,点是否在以为直径的圆内?证明你的结论.【解答】解:(Ⅰ)依题意得,,又,由此解得,.所以椭圆的方程为.(Ⅱ)点在以为直径的圆内.证明如下:方法1:由(Ⅰ)得,.设,.点在椭圆上,. ①又点异于顶点、,.由、、三点共线可以得.从而,,.. ②将①代入②,化简得.,,于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.方法2:由(Ⅰ)得,.设,,,,则,,又的中点的坐标为,依题意,计算点到圆心的距离与半径的差 ③直线的方程为,直线的方程为,而两直线与的交点在直线上,,即 ④又点在椭圆上,则,即 ⑤于是将④、⑤代入③,化简后可得.
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