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2024届高考数学-第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结(解析版)
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这是一份2024届高考数学-第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结(解析版),共25页。试卷主要包含了设椭圆的左焦点为,上顶点为,已知椭圆的离心率为,且过点,如图,已知椭圆经过点,离心率等内容,欢迎下载使用。
第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结 参考答案与试题解析一.解答题(共16小题)1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别是、.(1)若△为等边三角形,求椭圆的标准方程;(2)若椭圆的短轴长为2,过点的直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,求直线的方程.【解答】解:(1)椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别是、,△为等边三角形,,解得,椭圆的标准方程为.(2)椭圆的短轴长为2,椭圆的两个焦点分别为、,椭圆的标准方程为,过点直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,当直线的斜率不存在时,直线为,此时以为直径的圆不经过点,不成立;当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由,得.设,,,,则,,,,,,过点的直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,,,,解得,即.故直线的方程为或.2.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,,若轴是的角平分线,证明直线过定点.【解答】解:(Ⅰ)设圆心,,过点作 轴,垂足为,则,,,化为.当时,也满足上式.动圆圆心的轨迹的方程为.(Ⅱ)设,,,由题意可知,,.轴是的角平分线,,,,化为.直线的方程为,,化为,化为,,令,则,直线过定点3.设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点且为原点),求直线的斜率.【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,,,所以,椭圆的方程为.(2)由题意,设,,,,设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立整理得,可得,代入得,进而直线的斜率,在中,令,得,即,所以直线的斜率为,由,得,化简得,从而.所以,直线的斜率为或.4.已知椭圆,抛物线,点,斜率为的直线交抛物线于、两点,且,经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点.(1)若抛物线的准线经过点,求抛物线的标准方程和焦点坐标:(2)是否存在,使得四边形的面积取得最大值?若存在,请求出这个最大值及的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)抛物线的准线方程,焦点坐标,则,抛物线的标准方程为,焦点.(2)设,,,,,,,,由,得点在直线上,且,且四边形的面积.,由,得,则,,因为,所以,由,的斜率分别为,由图知必过点,可设,且,故直线,令,则直线,代入椭圆方程,得,,,点 到的距离,四边形的面积,当且仅当时,面积最大为.5.已知椭圆过点,左右焦点分别为,,且线段与轴的交点恰好为线段的中点,为坐标原点.(1)求椭圆的离心率;(2)与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于,两点,求当的面积最大时直线的方程.【解答】解:(1)由椭圆过点,则,①连接,由为线段的中点,为线段的中点,则,则,由,②由①②得,,则椭圆的离心率; (2)由(1)椭圆与方程,直线的斜率,不妨设直线的方程,设,,,,,整理得:,则△,解得:,,,,由到的距离,则的面积,当且仅当时,取等号,即,则直线的方程.6.已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆交于,两点(不同于点,记直线,的斜率分别为,,试判断是否存在定值,使当变化时总成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)因为椭圆的离心率为,则①,又过点,所以,解得,由①可得,所以椭圆的标准方程为;(2)由(1)可知,点,设,,,,联立方程组,可得,所以,所以,,因为,所以,整理可得,,所以,化简整理可得,,解得或,若,则过点,则,与点重合,不符合题意,所以,故存在定值,使当变化时总成立.7.如图,已知椭圆经过点,离心率.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设是经过右焦点的任一弦(不经过点,直线与直线相交于点,记,,的斜率分别为,,,求证:,,成等差数列.【解答】解:(Ⅰ)由点在椭圆上得,①②由①②得,,,故椭圆的标准方程为.(4分)(Ⅱ)证明:椭圆右焦点坐标,显然直线斜率存在,设的斜率为,则直线的方程为③.(5分)代入椭圆方程,整理得.(6分)设,,,,则有④.(7分)在方程③中,令得,,从而,,.(9分)又因为、、共线,则有,即有,所以⑤将④代入⑤得,(12分)又,所以,即,,成等差数列..(13分)8.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上,直线的斜率为,直线被圆截得的线段的长为.(1)求椭圆的方程;(2)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线为原点)的斜率的取值范围.【解答】解:(1)由已知有,又,可得,设直线的方程为,由圆心到直线的距离公式可得,,故所求的椭圆方程为;(2)设点的坐标为,直线的斜率为,联立消去整理,可解得或.再设直线的斜率为,再联立①当时,故得②当时,故得综上直线的斜率的取值范围.9.已知抛物线的焦点为,是抛物线上一点,且在第一象限,满足,(1)求抛物线的方程;(2)已知经过点的直线交抛物线于,两点,经过定点和的直线与抛物线交于另一点,问直线是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.【解答】解:(1)由抛物线的方程可得焦点,,满足,的的坐标为,,在抛物线上,所以,即,,解得,所以抛物线的方程为:;(2)设,,,,,,则,,直线的斜率,则直线的方程为:,即①,同理可得直线的方程整理可得②,将,分别代入①,②的方程可得,消可得,易知直线,则直线的方程为:,即,故,所以,因此直线恒过定点.10.设直线与抛物线相交于不同两点、,与圆相切于点,且为线段的中点.(1)若是正三角形为坐标原点),求此三角形的边长;(2)若,求直线的方程;(3)试对进行讨论,请你写出符合条件的直线的条数(只需直接写出结果)【解答】解:(1)设的边长为,则,,,;(2)设直线,时,,符合题意;时,方程联立可得,设,,,,则,,,,,,,△,,,,舍去,综上所述,直线的方程为,;(3)时,直线有4条;,,时,2条;,,1条.11.如图,已知椭圆与圆在第一象限相交于点,椭圆的左、右焦点,都在圆上,且线段为圆的直径.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于,两点,且直线与轴相交于点,为线段的中点,为坐标原点,若,求的最大值.【解答】解:(1)圆的圆心为,半径为,由题意可得,,由中位线定理可得,即,由椭圆的定义可得,即,又,即为,解答,,则椭圆方程为;(2)设直线的方程为,代入椭圆方程,可得,设,,,,可得:,,由中点坐标公式可得,,,由,可得,即,即有的坐标为,,,又,即有,当,即,时,取得最大值.12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴.(1)求椭圆的方程;(2)与抛物线相切于第一象限的直线,与椭圆交于,两点,与轴交于点,线段的垂直平分线与轴交于点,求直线斜率的最小值.【解答】解:(1)点与椭圆右焦点的连线垂直于轴,,将点坐标代入椭圆方程可得,又,联立可解得,,椭圆的方程为;(2)设切点坐标为,则.整理,得.,设,,,,联立,可得,△..的中点坐标为,的垂直平分线方程为,令,得,即,.,,当且仅当时取得等号.直线的斜率的最小值为.13.已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.(1)求圆的方程;(2)过点的直线与圆交于,两点,线段的中点为,直线与直线的交点为.判断是否为定值.若是,求出这个定值,若不是,说明理由.【解答】解:(1)设过点且与直线垂直的直线为,则,解得,即,由,解得,即圆心坐标为,所以半径,所以圆的方程为.(2)当直线的斜率存在时,设过点的直线为,所以,消去得,设,、,,则,,所以,所以的中点,由解得,即,所以,,所以;当直线的斜率不存在时,直线的方程为,由,解得或,即、,所以,所以,又解得,即,所以,所以,综上可得.14.下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索,现邀请你一起合作学习,请你思考后,将答案补充完整.(1)圆上点,处的切线方程为 .理由如下: .(2)椭圆上一点,处的切线方程为;(3)是椭圆外一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,如图,则直线的方程是 .这是因为在,,,两点处,椭圆的切线方程为和.两切线都过点,所以得到了和,由这两个“同构方程”得到了直线的方程;(4)问题(3)中两切线,斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为,由,得,化简得△得.若,则由这个方程可知点一定在一个圆上,这个圆的方程为 .(5)抛物线上一点,处的切线方程为;(6)抛物线,过焦点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,作抛物线的两条切线和,设,,,,则直线的方程为.直线的方程为,设和相交于点.则①点在以线段为直径的圆上;②点在抛物线的准线上.【解答】解:(1)圆上点,处的切线方程为.理由如下:①若切线的斜率存在,设切线的斜率为,则,所以,又过点,,由点斜式可得,,化简可得,,又,所以切线的方程为;②若切线的斜率不存在,则,此时切线方程为.综上所述,圆上点,处的切线方程为.(3)在,,,两点处,椭圆的切线方程为和,因为两切线都过点,所以得到了和,由这两个“同构方程”得到了直线的方程为;(4)问题(3)中两切线,斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为,由,可得,由△,可得,因为,则,所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为,则,可得,所以圆的半径为2,且过原点,其方程为.故答案为:(1),理由见解析;(3);(4).15.如图1,在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,,为椭圆的左右顶点,、是左、右焦点.(1)已知椭圆内有一点,在椭圆上有一动点,则求的最大值和最小值分别是多少?(2)如图1,若直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点,设过点垂直于的直线为.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.(3)如图2,若直线过左焦点交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点,求证:以线段为直径的圆恒过两个定点.(4)如图3,若,是椭圆上关于原点对称的两点,点是椭圆上除,外的任意一点,当直线,的斜率都存在,并记为为定值.(5)如图4,若动直线与椭圆有且只有一个公共点,点,是直线上的两点,且,,求四边形面积的最大值.(6)如图5,若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于,两点.试探究:线段上是否存在点使得,若存在,求出实数的取值范围,若不存在,说明理由.(7)如图6,若点为抛物线上的动点,设为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的?①点在椭圆上;②点为的重心,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由. 【解答】解:(1)设为椭圆的左焦点,连结,作过、的直线交椭圆于、两点,如图所示中,,,,可得,.由椭圆的定义,得,由平面几何知识,得,当与重合时,达到最大值;当与重合时,达到最小值.由,可得的最大值为,最小值为.的取值范围为,.(2)设,,设,,,则,,,,三点共线,,得,设直线的斜率为,直线的斜率为,则直线的方程为,,即.所以直线过定点.(3)证明:设,,,,,代入椭圆方程,整理,得,,,,,,,设与轴交于点,以线段为直径的圆与轴交于点,,则,,,点,的坐标为,,以线段为直径的圆过轴上的两个定点和.证明:设、是椭圆上关于原点对称点,设,,则,,(4)设点坐标为,则,.即,,为定值.(5)将直线的方程代入椭圆的方程中,得.由直线与椭圆仅有一个公共点知,△,化简得:.设,,法一:当时,设直线的倾斜角为,则,,,,当时,,,.当时,四边形是矩形,.所以四边形面积的最大值为.法二:,..四边形的面积,.当且仅当时,,故.所以四边形的面积的最大值为.(6)存在这样的点符合题意.设线段的中点为,,,,,,,直线的斜率为,注意到,则直线的方程为,由消去得:,所以,故,.又点在直线上,所以,由可得,,,整理得,所以,在线段上存在点符合题意,其中.(7)不存在,理由如下:若这样的三角形存在,由题可设,由条件①知,由条件②得,又因为点,所以即,故,解之得或(舍,当时,解得不合题意,所以同时满足两个条件的三角形不存在.16.已知直线与抛物线交于,、两点,过点与直线垂直的直线交抛物线于点,.如图所示.(1)求抛物线的焦点坐标;(2)求经过、两点的直线与轴交点的坐标;(3)过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.【解答】解:(1)抛物线的方程化为,,.(2分)抛物线的焦点坐标为.(4分)(2)联立方程组,解得点坐标为.(6分)联立方程组,解得点坐标为.(7分)所以直线的方程为,(8分)令,解得.点的坐标为.(9分)(3)结论:过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点.(10分)证明如下:设过抛物线的顶点的一条直线为,则另一条为,联立方程组,解得点坐标为.(11分)联立方程组,解得点坐标为,.(12分)所以直线的方程为,(13分)令,解得.直线恒过定点.(14分)
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