专题53 全国初中数学竞赛模拟卷（三）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【解答】解：去分母得：（x2﹣bx）（m+1）＝（ax﹣c）（m﹣1），
整理得：（m+1）x2﹣b（m+1）x＝amx﹣ax﹣cm+c，即（m+1）x2﹣（bm+b+a﹣am）x+cm﹣c＝0，
由方程有绝对值相同，符号相反的两个根，得到bm+b+am﹣a＝0，
整理得：m=a-ba+b，
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，a），D（6，a）和E（6，0）．若直线l：y=-13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则a＝（ ）
A．92B．113C．4D．3
【解答】解：设直线l：y=-13x+154将多边形OABCD的边交于点F、G两点，
当x＝0时，y==-13x+154=154，
∴FO=154，
当x＝6时，y=-13x+154=74，
∴GE=74，
∴S四边形OFGE=12×(154+74)×6=332，
∵直线l：y=-13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，
∴S多边形OABCDE＝2S四边形OFGE＝2×332=33，
∴4×6+2a＝33，
解得a=92．
故选：A．
3．已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 2 个．
【解答】解：设两条直角边为a，b，斜边为c，
则面积S=12ab，周长l＝a+b+c，a2+b2＝c2；
又∵2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a+b）2﹣c2＝（a+b+c）（a+b﹣c）
∴12ab=14（a+b+c）（a+b﹣c），
∵12ab＝a+b+c，
∴（a+b+c）（a+b﹣c）/4＝a+b+c
∴14（a+b﹣c）＝1，
∴a+b﹣c＝4，
∴a2+b2＝c2＝（a+b﹣4）2＝a2+b2+16﹣8a﹣8b+2ab
∴16﹣8a﹣8b+2ab＝0，
即ab﹣4a﹣4b+8＝0，
即（a﹣4）（b﹣4）＝8，
又∵边长为整数，
∴a﹣4＝1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，﹣8
∴a＝5，6，8，12，3，2，0，﹣4
又∵a＞0，
∴a＝5，6，8，12，2，3，
∴b＝12，8，6，5，2，﹣4，
又∵a，b，c都是整数，
∴有两种直角三角形，
分别是6，8，10和5，12，13；
故答案为2．
4．若a、b、c均为整数，且满足（a﹣b）2+（a﹣c）2＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝ 2 ．
【解答】解：因为a，b，c均为整数，所以a﹣b和a﹣c均为整数，
从而由（a﹣b）2+（a﹣c）2＝1可得|a-b|=1|a-c|=0或|a-b|=0|a-c|=1，
若|a-b|=1|a-c|=0，则a＝c，
从而|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝|a﹣b|+|b﹣a|+|a﹣a|＝2|a﹣b|＝2．
若|a-b|=0|a-c|=1，则a＝b，
从而|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝|a﹣a|+|a﹣c|+|a﹣c|＝2|a﹣c|＝2．
因此，|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝2．
故答案为：2．
5．已知二次函数y＝2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是 y＝﹣2x2+1 ．
【解答】解：∵y＝2x2+bx+1的顶点坐标是（-b4，8-b28），
设x=-b4，y=8-b28，
∴b＝﹣4x，
∴y=8-b28=8-(-4x)28=1﹣2x2．
所求解析式为：y＝1﹣2x2，即y＝﹣2x2+1．
故答案为：y＝﹣2x2+1．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP＝PQ＝QC＝BC，则∠A的大小是 (1807)° ．
【解答】解：∵AB＝AC，AP＝PQ，QP＝QC，QC＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠A＝∠AQP，∠QPC＝∠QCP，∠BQC＝∠B（等边对等角），
设∠A＝x°，则∠AQP＝x°，
∵在△AQP中，∠QPB是外角，
∴∠QPC＝∠A+∠AQP＝2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵在△BCQ中，∠BQC是外角，
∴∠BQC＝∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠BQC＝3x°，
∴∠B＝3x°，
∴∠ABC＝3x°，
∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴x°+3x°+3x°＝180°（三角形三个内角的和等于180°），
解得x＝（1807）°，
∴∠A＝（1807）°．
7．如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE＝5DF，则PFPE= 310 ．
【解答】解：连接OE，如图，
∵AB⊥PO，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，sin∠DAO=ODOA=23，
设OD＝2x，OA＝3x，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠APO＝∠OAD，
在Rt△APO中，sin∠APO=OAOP=23，
∴OP=32×3x=92x，
∵∠APD＝∠OPA，
∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PD：PA＝PA：PO，即PA2＝PD•PO，
∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、
∴PA2＝PF•PE，
∴PD•PO＝PF•PE，即PF：PO＝PD：PE，
而∠DPF＝∠EPO，
∴△PDF∽△PEO，
∴DFOE=PFPO，
∴PF=92x3x•DF=32DF，
而PE＝5DF，
∴PFPE=32DF5DF=310．
故答案为310．
8．已知正整数x，y满足2xy+x+y＝117，求x+y的值．
【解答】解：∵2xy+x+y＝117，
∴y=117-x2x+1≥1，可得x≤1163，
结合正整数的条件可得x=2y=23或x=23y=2，
∴x+y＝25．
9．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为23+2时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，EC与BD的交点即为所求M点，使得EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF=32x，EF=x2．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（x2）2+（32x+x）2＝（23+2）2．
解得x1＝22，x2＝﹣22（舍去负值）．
∴正方形的边长为22．
10．如图，△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，⊙O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，∠CDO＝45〫，l为过点C圆的切线，作DE⊥l，CF也为圆的直径．
（1）证明：△CFB∽△DCE．
（2）已知⊙O的半径为3，求AD2+CD2的值．
【解答】解：（1）∵CF也为圆的直径，
∴∠CBF＝90°，
∵DE⊥l，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠CBF，
∵l为过点C圆的切线，PQ是⊙O的直径，
∴CF⊥CE，
∴DE∥CF，
∴∠CDE＝∠BCF，
∴△CFB∽△DCE；
（2）∵PQ是⊙O的直径，直径PQ恰好经过AB的中点M，
∴PQ垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ADQ＝∠BDQ，
∵∠BDQ＝∠CDP＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝BD，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
连接AF，
∴∠AFC＝∠ABC＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AC=22CF，
∵⊙O的半径为3，
∴CF＝6，
∴AC＝32，
∴AD2+CD2＝AC2＝18．
11．已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF＝∠ABE
（1）如图1，若DE＝BG＝n，cs∠AEB=23，GE＝3，求AE的长（用含n的代数式表示）；
（2）如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE＝1，作点A关于BE的对称点A′，A′到CG的距离为324，求DE的长．
【解答】解：（1）作GH⊥AD于H，AI⊥BE于I，
∵GE＝3，cs∠AEB=23，
∴EH＝2，HG=5，
设AE＝3x，则EI＝2x，AI=5x，
∴GI＝3﹣2x，BI＝BG+GI＝n+3﹣2x，
∴DH＝DE+EH＝n+2，
∵∠ADF＝∠ABE，
∴∠DHG＝∠AIB＝90°，
∴△GHD∽△AIB，
∴DHBI=HGAI，
∴n+2n+3-2x=55x，
解得：x=n+3n+4，
∴AE＝3x=3n+9n+4；
（2）如图2，连接AA′交BE于M，连接AG，作A′N⊥CG于N，
∵四边形ABCD为矩形，G恰为BE中点，
∴CG＝DG，
∴∠GCD＝∠GDC，
∴∠BCG＝∠ADG＝∠ABE＝90°﹣∠CBG，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴CG⊥BE，
∵AA′⊥BE，A′N⊥CG，
∴四边形MA′NG是矩形，
∴GM＝A′N=324，
设ME＝x，则AG＝BG＝GE＝x+342，
∴AM2＝AG2﹣GM2＝AE2﹣EM2＝（x+324）2﹣（342）2＝1﹣x2，
解得：x=24，
∴BG＝GE＝ME+GM=2，
∴BE＝22，
∵∠ABE＝∠BCG，∠BAE＝∠BGC＝90°，
∴△GCB∽△ABE
∴BCBE=BGAE，
∴BC22=21，
解得：BC＝4，∴AD＝BC＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3．
12．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断PMBE+PNAD是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断PAPB=EFEG是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3（1分）
将A（﹣1，0）代入：0＝a（﹣1﹣1）2﹣3，
解得a=34（2分）
所以，抛物线的解析式为y=34（x﹣1）2﹣3，即y=34x2-32x-94（3分）
（2）是定值，PMBE+PNAD=1（4分）
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以PMBE=APAB①
同理：PNAD=PBAB②（5分）
①+②：PMBE+PNAD=APAB+PBAB=1（6分）
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠AEB＝90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°（7分）
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．
∴PH＝ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP＝∠PHB＝90°，∠EAB＝∠BPH＝45°，
∴PH＝BH，且△APM∽△PBH，
∴PAPB=PMBH，
∴PAPB=PMPH=PMME①（8分）
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG＝90°，
∵∠MEP+∠SEG＝90°，
∴∠FGE＝∠MEP，
∵∠PME＝∠FEG＝90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴PMME=EFEG②
由①、②知：PAPB=EFEG（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）