专题52 全国初中数学竞赛模拟卷（二）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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A．32≤S＜6B．﹣6＜S≤-32C．﹣6≤S≤-32D．3≤S≤6
2．有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若22x-1=44x2-1，则x=12；③命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和-12．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF=14S矩形ABCD，则S△AEFS△CEF=（ ）
A．3B．92C．5D．112
4．若函数y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374B．390C．765D．578
5．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 ，B部分的数是 ．
6．方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝ ．
7．从﹣3，﹣2，﹣1，-12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组13(2x+7)≥3x-m＜0无解，且使关于x的分式方程xx+3+m-2x+3=-1有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 ．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM．连接DF、CF，则DF+12FC的最小值为 ．
9．记S（n）为n的各位数字之和，例如S（2019）＝2+0+1+9＝12．
（1）当10≤n≤99时，求nS(n)的最小值．
（2）当100≤n≤999时，求nS(n)的最小值．
（3）当1000≤n≤9999时，求nS(n)的最小值．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
（3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问M1P⋅M2PM1M2是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由．
11．如图，△ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q．
（1）证明：A，Q，D，E四点共圆；
（2）证明：A，Q，B，C四点共圆．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（-12，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，34x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．