专题28 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（简单）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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A．P＞N＞MB．M＞N＞PC．N＞P＞MD．M＞P＞N
【解答】解：∵a＞1
∴M﹣P＝a-2a+13=a-13＞0，P﹣N=2a+13-a+23=a-13＞0
∴M＞P，P＞N
∴M＞P＞N
故选：D．
2．若不等式组x+8＜4x-1x＞m的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＞3D．m＝3
【解答】解：由x+8＜4x﹣1得，
x﹣4x＜﹣1﹣8，
﹣x＜﹣9，
x＞3，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤3．
故选：A．
3．设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜ab＜0.91，则b2﹣a2等于（ ）
A．171B．177C．180D．182
【解答】解：∵0.9＜ab＜0.91，
∴0.9b＜a＜0.91b，
即0.9b+b＜a+b＜0.91b+b；
又∵56≤a+b≤59
∴0.9b+b＜59，b＜31.05；0.91b+b＞56，b＞29.3，
即29.3＜b＜31.05；
由题设a、b是正整数得，b＝30或31；
①当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得：27＜a＜28，这样的正整数a不存在．
②当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，
所以a＝28，
所以b2﹣a2＝312﹣282＝177．
故选：B．
4．一共有（ ）个整数x适合不等式|x﹣2000|+|x|≤9999．
A．10000B．20000C．9999D．80000
【解答】解：（1）当x＝2000时，原式可化为2000≤9999，
故x＝2000；其整数解有1个；
（2）当x＞2000时，原式可化为x﹣2000+x≤9999，
解得2000＜x≤5999.5，其整数解有3999个；
（3）当0≤x＜2000时，原式可化为2000﹣x+x≤9999，
即2000≤9999；其整数解有2000个；
（4）当x＜0时，原式可化为2000﹣x﹣x≤9999，
解得﹣3999.5≤x＜0；其整数解有3999个；
由上可得其整数解有9999个．
故选：C．
5．如果关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0的解集为x＜107，那么关于x的不等式mx＞n（m≠0）的解集为 x＜1345 ．
【解答】解：（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0解集为x＜107，
∴（2m﹣n）x＞m+5n，
∴x＞m+5n2m-n或x＜m+5n2m-n，
∴x＜m+5n2m-n，
则2m﹣n＜0，
由不等式的解集x＜107，则m+5n2m-n=107，即10（2m﹣n）＝7（m+5n）
得：13m＝45n，即：nm=1345，
因为2m﹣n＜0，则：2m-1345m＜0，
得：m＜0，
∵mx＞n，
∴x＜nm=1345．
故答案为x＜1345．
6．关于x的不等式：|2x﹣1|＜6的所有非负整数解的和为 6 ．
【解答】解：根据题意得：﹣6＜2x﹣1＜6，
即﹣5＜2x＜7
∴-52＜x＜72
则不等式的非负整数解是：0，1，2，3．
则所有非负整数解的和为6．
故答案是：6．
7．要使方程组3x+2y=a2x+3y=2的解是一对异号的数，则a的取值范围是 a＜43或a＞3 ．
【解答】解：方程组3x+2y=a2x+3y=2，
整理得，6x+4y=2a⋯①6x+9y=6⋯②，
由②得，6x＝6﹣9y…③，
把③代入①整理得，y=-2a-65．
（1）当x＞0，y＜0时，
∴6﹣9y＞0，即y＜69，
∴-2a-65＜0，
解得，a＞3；
（2）当x＜0，y＞0时，
∴6﹣9y＜0，即y＞69，
∴-2a-65＞69，
解得，a＜43；
综上，a的取值范围是a＜43或a＞3．
故答案为a＜43或a＞3．
8．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
（1）设甲种机器有x台，试写出x应满足的不等式；
（2）按照公司要求可以有几种购买方案？
（3）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【解答】解：（1）∵该公司共购进6台机器用于生产某种活塞，且购进甲种机器x台，
∴购进乙种机器（6﹣x）台．
依题意得：7x+5（6﹣x）≤34．
（2）∵7x+5（6﹣x）≤34，
∴x≤2，
又∵x为自然数，
∴x可以为0，1，2，
∴可以有3种购买方案．
（3）依题意得：100x+60（6﹣x）≥380，
解得：x≥12，
又∵x≤2，且x为自然数，
∴x可以为1，2，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进1台A种机器，5台B种机器，所需总资金为7×1+5×5＝32（万元）；
方案2：购进2台B种机器，4台B种机器，所需总资金为7×2+5×4＝34（万元）．
∵32＜34，
∴为了节约资金应选择购买方案1，即购进1台A种机器，5台B种机器．
9．试确定实数a的取值范围，使不等式组x2+x+13＞0x+5a+43＞43(x+1)+a恰有两个整数解．
【解答】解：由x2+x+13＞0，两边同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞-25，
由x+5a+43＞43（x+1）+a，两边同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，
∴原不等式组的解集为-25＜x＜2a．
又∵原不等式组恰有2个整数解，即x＝0，1；
则2a的值在1（不含1）到2（含2）之间，
∴1＜2a≤2，
∴0.5＜a≤1．
10．已知关于x、y的方程组2x+3y=3m+7x-y=4m+1的解x和y都是正数．求m的取值范围后再化简|m-1|+|m+23|．
【解答】解：先解二元一次方程组2x+3y=3m+7x-y=4m+1得：
x=3m+2y=-m+1；
又由于x、y为正数，则x＞0，y＞0；
故3m+2＞0-m+1＞0，
解得：-23＜m＜1；
则|m-1|+|m+23|=1﹣m+m+23=53．
11．小丽拟将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当她认为输完时，电脑上只显示输入（n﹣1）个数，且平均值为3557，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的一个数是多少？
【解答】解：1+2+…+n﹣1≤2507（n﹣1）≤2+3+…+n，
∴n2≤2507≤n+22．
∴6937≤n≤7137，
∴n＝70，71，
∵2507（n﹣1）是整数，
∴n＝71．
∴设被漏输入的数为m，
则m=1+712×71﹣70×2507=2556﹣2500＝56．
12．为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数．
【解答】解：设这所学校派出x名学生，参加y处公共场所的义务劳动，
依题意得：10y+15=x(1)10≤x-14(y-1)＜14(2)，
解得：334＜y≤434．
∵y为整数，∴y＝4．
∴当y＝4时，x＝10×4+15＝55．
答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动．
13．已知甲、乙、丙3种食物的维生素含量和成本如下表：
某食品公司欲用这3种食物研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含有36000单位的维生素A和40000单位的维生素B．
（1）研制100千克食品，甲种食物至少要用多少千克？丙种食物至多能用多少千克？
（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是多少？
【解答】解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x千克，y千克和z千克，
由题意，得x+y+z=100300x+600y+300z≥36000700x+100y+300z≥40000，
即x+y+z=100①x+2y+z≥120②7x+y+3z≥400③，
由①z＝100﹣x﹣y，代入②③，得y≥202x-y≥50，
∴2x≥y+50≥70，x≥35，
将①变形为y＝100﹣x﹣z，代入②，得
z≤80﹣x≤80﹣35＝45，
答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克．
（2）研制100千克食品的总成本S＝6x+4y+3z，
将z＝100﹣x﹣y代入，得S＝3x+y+300．
当x＝50时，S＝y+450，
20≤y≤50．
∴470≤S≤500．
答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（个）
100
60
甲种食物
乙种食物
丙种食物
维生素A（单位/kg）
300
600
300
维生素B（单位/kg）
700
100
300
成本（元/kg）
6
4
3