专题40 全国初中数学竞赛分类汇编卷（八）分式综合（简单）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【解答】解：分式12a-ba+0.5b中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是a-2b2a+b，
故选：A．
2．如果对于任何实数，分式7-x2+3x+m总有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-94B．m＜-94C．m＞0D．非以上答案
【解答】解：∵分式7-x2+3x+m总有意义，
∴﹣x2+3x+m≠0，
即x2﹣3x﹣m≠0，
∴9+4m4＜0，
∴m＜-94，
故选：B．
3．已知式子(x-8)(x+1)|x|-1的值为0，则x的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．8D．﹣1或8
【解答】解：由题意可得（x﹣8）（x+1）＝0且|x|﹣1≠0，
解得x＝8．
故选：C．
4．当m=-16时，代数式21-5mm2-9-mm2-9÷mm+3-m-3m+3的值是（ ）
A．﹣1B．-12C．12D．1
【解答】解：21-5mm2-9-mm2-9÷mm+3-m-3m+3，
=21-5mm2-9-m(m+3)(m-3)×m+3m-m-3m+3，
=21-5mm2-9-1m-3-m-3m+3，
=21-5m(m+3)(m-3)-m+3(m+3)(m-3)-(m-3)(m-3)(m+3)(m-3)，
=21-5m-m-3-m2+6m-9(m+3)(m-3)，
=9-m2(m+3)(m-3)，
=9-m2m2-9，
＝﹣1．
故选：A．
5．设a，b，c满足abc≠0，a+b＝c，则b2+c2-a22bc+a2+b2-c22ab的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【解答】解：∵a+b＝c，
∴a﹣c＝﹣b，c﹣b＝a，
则b2+c2-a22bc+a2+b2-c22ab
=b2-a2+c22bc+a2-c2+b22ab
=(b+a)(b-a)+c22bc+(a+c)(a-c)+b22ab
=c(b-a)+c22bc+-b(a+c)+b22ab
=b-a+c2b+-a-c+b2a
=b-(a-c)2b+-a-(c-b)2a
=b-(-b)2b+-a-a2a
＝1+（﹣1）＝0．
故选：A．
6．一件工程，甲乙合作2天可以完工，乙丙合作2天，可以完成全工程的59；丙甲合作2天后，剩余工程由丙单独去做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是（ ）
A．6B．9C．12D．18
【解答】解：设工程总量为1，并设甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为x、y、z，
则可得甲的速度为1x，乙的速度为1y，丙的速度为1z，
由题意得：1x+1y=122(1y+1z)=592(1z+1x)+1z=1，
解得：x=3y=6z=9，
即丙单独完成全部工程需要的天数为9天．
故选：B．
7．已知x2﹣5x﹣2012＝0，则代数式(x-2)3-(x-1)2+1x-2的值是（ ）
A．2013B．2015C．2016D．2017
【解答】解：原式=(x-2)3-[(x-1)2-1]x-2
=(x-2)3-x(x-2)x-2
＝（x﹣2）2﹣x
＝x2﹣4x+4﹣x
＝x2﹣5x+4．
∵x2﹣5x﹣2012＝0，
即x2﹣5x＝2012，
∴原式＝2012+4＝2016．
故选：C．
8．已知实数p、q满足条件：1p-1q=1p+q，则代数式qp-pq的值为 1 ．
【解答】解：∵1p-1q=1p+q，
∴q-ppq=1p+q，
∴pq＝（p+q）（q﹣p）＝q2﹣p2，
∴qp-pq=q2-p2pq=pqpq=1，
故答案为1．
9．已知1x-1y=2，则分式3x+2xy-3yx-2xy-y的值等于 1 ．
【解答】解：∵1x-1y=2，
∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式=3(x-y)+2xy(x-y)-2xy
=-6xy+2xy-2xy-2xy
=-4xy-4xy
＝1．
故答案为：1．
10．化简：2xx+1-2x+4x2-1÷x+2x2-2x+1，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
【解答】解：原式=2xx+1-2(x+2)(x+1)(x-1)⋅(x-1)2x+2
=2xx+1-2x-2x+1
=2x-2x+2x+1
=2x+1
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴把x＝0代入2x+1=2．
11．已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【解答】解：（1）4x+1+3x-1=kx2-1，
4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
解得：x=k+17，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，k+17=1，
解得：k＝6，
当x＝﹣1时，k+17=-1，
解得：k＝﹣8，
∴k的值为6或﹣8；
（2）∵方程的解为负数，
∴x＜0且x≠±1，
∴k+17＜0且k+17≠±1，
∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8，
∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8．
12．已知aba+b=115，bcb+c=117，cac+a=116，求abcab+bc+ca的值．
【解答】解：∵a+bab=1a+1b=15，b+cbc=1b+1c=17，c+aca=1a+1c=16，
∴1a+1b+1c=24，
则原式=11a+1b+1c=124．
13．根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式2x+12-3|x|＜0的解集．
【解答】解：依题意得2x+1＞02-3|x|＜0或2x+1＜02-3|x|＞0，
⇒x＞-12①|x|＞23②或x＜-12①|x|＜23②，
解得第一个不等式组中的②得：x＞23或x＜-23，与①取公共解集得：x＞23；
解得第二个不等式组中的②得：-23＜x＜23，与①取公共解集得：-23＜x＜-12，
所以原不等式的解集为：x＞23或-23＜x＜-12．
14．有趣的“约分”
“约去”指数：如33+1333+23=3+13+2，53+2353+33=5+25+3你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然是正确的，这是什么原因？
仔细观察式子，我们可作如下猜想：a3+b3a3+(a-b)3=a+ba+(a-b)你能证明吗？
【友情提示：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）】
【解答】解：∵a3+（a﹣b）3
＝[a+（a﹣b）][a2﹣a（a﹣b）+（a﹣b）2]
＝[a+（a﹣b）]（a2﹣a2+ab+a2﹣2ab+b2）
＝[a+（a﹣b）]（a2﹣ab+b2），
∴a3+b3a3+(a-b)3=(a+b)(a2-ab+b2)[a+(a-b)][a2-ab+b2]=a+ba+(a-b)．