专题50 三角形相似-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN＝45°，则下列结论：①MN＝BM+DN；②△AEF∽△BEM；③AFAM=22；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是 ．（填写正确序号）
【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵∠M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN；故①正确；
∵∠FDM′＝135°，∠M′AN＝45°，
∴∠M′+∠AFD＝180°，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFE＝∠M′，
∵∠AMB＝∠M′，
∴∠AMB＝∠AFE，
∵∠EAF＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△BEM，故②正确；
∴AEBE=EFEM，即AEEF=BEEM，
∵∠AEB＝∠MEF，
∴△AEB∽△FEM，
∴∠EMF＝∠ABE＝45°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴AFAM=22；故③正确；
在△ADF与△CDF中，
AD=DC∠ADF=∠CDF=45°DF=DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，
∵AF＝MF，
∴FM＝FC，
∴△FMC是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①②③④．
【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM．有如下结论：①AE＝BF；②AN=24AD；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF=19S△ABC，上述结论中，正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
二、反比例函数中的相似应用
【典例】如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K＝ ．
【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：
则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°
易证△ADF∽△GFE
∴AFEG=DFFE，
∴AF：EG＝BD：BE，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵D、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴E（k4，4）、D（﹣8，-k8）
∴OG＝EC=-k4，AD=-k8，
∴BD＝4+k8，BE＝8+k4，
∴BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，
∴AF=12EG＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：（-k8）2+22＝（4+k8）2
解得：k＝﹣12
故答案为：﹣12．
【巩固】如图，已知动点A在函数y=4x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 ．
三、二次函数中的相似问题
【典例】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为4912，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）
∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴﹣12a＝6
∴a=-12
∴抛物线解析式为y=-12（x+2）（x﹣6）=-12x2+2x+6=-12（x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH＝n=-12m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°
∴DH＝PH＝n
∵PG∥AB
∴∠PGH＝∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴PHAO=GHBO
∴GH=BO⋅PHAO=2PH6=13n
∴d＝DH﹣GH＝n-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=-13m2+43m+4（2＜m＜6）
（3）①∵S△PDG=12DG•PH=4912
∴12⋅23n•n=4912
解得：n1=72，n2=-72（舍去）
∴-12m2+2m+6=72
解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5
∴点P坐标为（5，72）
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y＝kx+6
把点P代入得：5k+6=72
∴k=-12
∴直线AP：y=-12x+6
i）若∠RAS＝90°，且S在线段AC上，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6
∴直线AR解析式为y＝x+6
y=x+6y=-12x2+2x+6 解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45°
∴RS∥y轴
∴xS＝xR＝2
∴S（2，4）
∴直线OM：y＝2x
∵y=2xy=-12x+6 解得：x=125y=245
∴M（125，245），
同理，若S在CA的延长线上，R（2，8），S（﹣2，8）
∴直线OM：y＝﹣4x
∵y=-4xy=-12x+6，解得：x=-127y=487
∴M（-127，487）；
ii）若∠ASR＝90°，如图4
∴∠SAR＝∠ACO＝45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（125，245）
iii）若∠ARS＝90°，如图5
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y=12x
∵y=12xy=-12x+6 解得：x=6y=3
∴M（6，3）
综上所述，M1（125，245），R1（2，8）；M2（-127，487），R2（2，8）；M3（125，245），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）．
【巩固】
如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
巩固练习
1．如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则S△AEGS四边形DCFG=（ ）
A．3：7B．4：9C．5：11D．6：13
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为（ ）
A．﹣12B．12C．﹣24D．24
3．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）
A．4B．103C．3D．83
4．如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线y=kx经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若S△EBD=32，AE=13BC，则k的值为（ ）
A．-325B．-165C．﹣2D．2
5．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N．已知DF＝6，AN＝56．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则△ABE的面积为 ．
6．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1……按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为 ．
7．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F在BC边上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG，以下四个结论：①△ACF∽△ADG；②CF=2DG；③DG⊥AC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等；⑤AH•AC＝2AE2；其中正确的是 ．（只填序号）
8．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求FGGH的值．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y=kx相交于点A，B．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．