专题48 韦达定理与根的判别式-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．8
【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，
即（x+3）（x﹣5）＝0，
∴x+3＝0，x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，
即（x﹣3）（x+5）＝0，
∴x﹣3＝0，x+5＝0，
解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，
③当x＝0时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．
或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，
即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，
∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），
解得x＝5或﹣5，
∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．
故选：A．
【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞-54，
即m的取值范围是m＞-54；
（2）由（1）知：当m＞-54时，方程有两个不相等的实数根，
∵m为不大于1的整数，
∴m＝0，﹣1，1，
又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，
当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0，
即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．
当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．
二、利用根的判别式求最值
【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，yx的最大值是多少？
【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，
把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，
∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，
解此方程得，k＝3+22或3﹣22．
所以yx=k的最大值是3+22．
【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：
分式2x+8x+2(x≥0)的最大值是多少？
解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)+4x+2=2+4x+2，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2(x≥0)的最大值是4．
根据上述方法，试求分式2x2+10x2+2的最大值是 ．
【解答】解：2x2+10x2+2=2x2+4+6x2+2=2(x2+2)+6x2+2=2+6x2+2，
∵x2≥0，
∴x2+2的最小值为2，
∴6x2+2的最大值为3，
∴2+6x2+2的最大值为5，
∴分式2x2+10x2+2的最大值是5，
故答案为：5．
三、韦达定理与根的判别式综合
【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，
x1+x2=-2m-1m-4，x1x2=1m-4，
s=1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2m+1，
由于m≠4，
所以s≠﹣7．
故答案为s≠﹣7．
【巩固】
已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，
∴﹣24m+16≥0，
∴m≤23，
∴实数m的取值范围为≤23；
（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m-34）2+78，
∵m≤23，23＜34，
∴当m=23时，x12+x22＝2（23-34）2+78=89，
∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．
巩固练习
1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1B．34≤mC．34≤m≤1D．34＜m≤1
【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，
∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；
当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．
即：4﹣4m＜1．解得m＞34．
∴34＜m≤1．
故选：D．
2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥14；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥14，
故选：D．
3．已知m，n是方程x2-5x+1＝0的两个根．记S1=11+m+11+n，S2=11+m2+11+n2，…，St=11+mt+11+nt（t为正整数）．若S1+S2+…St＝t2﹣56，则t的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：∵m，n是方程x2-5x+1＝0的两个根，
∴m+n=5，mn＝1，
∴S1=11+m+11+n
=1+m+1+n(1+m)(1+n)
=2+(m+n)1+m+n+mn
=2+51+1+5
＝1，
S2=11+m2+11+n2
=1+m2+1+n2(1+m2)(1+n2)
=2+(m+n)2-2mn1+(m+n)2-2mn+(mn)2
=2+5-21+5-2+1
＝1，
…，
∴St=11+mt+11+nt=1，
∴S1+S2+…St＝t2﹣56，
1+1+…+1＝t2﹣56，
t＝t2﹣56，
t2﹣t﹣56＝0，
（t﹣8）（t+7）＝0，
解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．
故选：B．
4．若关于x的一元二次方程12x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，
∴m2+2m=12，
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
＝﹣m2﹣2m+4
=-12+4
=72，
故答案为：72
5．设下列三个一元二次方程：x2+4ax﹣4a+3＝0；x2+（a﹣1）x+1+a2＝0；x2+2ax﹣2a+3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有16a2+16a-12＜0(a-1)2-4(a2+1)＜04a2-4(3-2a)＜0，
解得-32＜a＜12．
故答案为：a≤-32或a≥12．
6．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2k+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2k+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴1-2k≠0k+3≥0△=(-2k+3)2-4(1-2k)×(-1)＞0，
解得：﹣3≤k＜4且k≠12．
故答案为：﹣3≤k＜4且k≠12．
7．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的两个根分别为m、n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的两个根分别为m、n，
∴m2+am﹣1＝0，n2+an﹣1＝0，
设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，
∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，
故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．
8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．
【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得
（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，
则3x+1=0x-y=0，
解得 x=-13y=-13，
故x+y=-13-13=-23．
9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2-92ac＝0；我们记“K＝b2-92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2-mx+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2-92×1×（﹣2）＝10≠0；
在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2-92×1×8＝0．
∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．
故答案为：②．
（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，
∴K＝（n﹣2m）2-92m•（﹣2n）＝0，
∴4m2+5mn+n2＝0．
（3）∵x2-mx+23n=0是倍根方程，
∴K=(-m)2-92×23n=0，
整理得：m＝3n．
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此方程的表达式为x2-3x+23=0．
11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求mx121-x1+mx221-x2的最大值．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴m=5±172，
∵﹣1≤m＜1，
∴m=5-172；
（2）mx121-x1+mx221-x2=m[x12+x22-x1x2(x1+x2)](1-x1)(1-x2)=m(2m3-8m2+8m-2)m2-m
=2m(m-1)(m2-3m+1)m(m-1)=2(m2-3m+1)=2(m-32)2-52（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m=32，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
12．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p＝﹣4，q＝3，求方程x2+px+q＝0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求ab+ba的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
【解答】解：（1）当p＝﹣4，q＝3，则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5＝0的解，
当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，
ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2-2abab=152-2×(-5)-5=-47；
当a＝b时，原式＝2．
（3）设方程x2+mx+n＝0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则1x1+1x2=x1+x2x1x2=-mn，1x1•1x2=1x1x2=1n，
则方程x2+mnx+1n=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．