专题21 反比例函数-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，；
2.如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典例】
如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|2，S△OAD=|k|2，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO＝4S□ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则k2+k2+9＝4k，
解得：k＝3．
故选：C．
【巩固】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y=6x（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴PF⊥AB，
∵顶点B在函数y=6x（x＞0）的图象上，
∴xy＝6，
∴S阴=12•OC•PE+12•AB•PF=12•OC•EF=12S矩形ABCO=12×6＝3．
故选：A．
二、反比例函数与几何综合
【学霸笔记】
1.设点的坐标，利用几何图形的性质得出相关线段的关系，再表示出相关点的坐标，最后带回到解析式中或直接求解；
2.变化是永恒的，不变是相对的，在复杂的变化中寻找不变量，以不变应万变，在反比例函数中，为定值是列方程、设而不求和整体代入求值思想的源泉.
【典例】如图，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，顶点B，C在反比例函数y=-5x（x＜0）的图象上，则平行四边形OABC的面积为 ．
【解答】解：如图，分别过A、B、C作x轴垂线于D、E、F，连接OB，
∵点A在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=-5x（x＜0）的图象上，
∴设A的坐标为（a，3a），B的坐标为（b，-5b），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴C的坐标为（b﹣a，-5b-3a），
∵C在反比例函数y=-5x（x＜0）的图象上，
∴（b﹣a）（-5b-3a）＝﹣5，
化简得：5a2﹣3b2+3ab＝0，
等式两边同除以b2得：5（ab）2+3ab-3＝0，
解得：ab=-3+6910或-3-6910，
∵a，b异号，
∴ab=-3-6910，
∵三角形OBC的面积＝四边形OBCF的面积﹣三角形OFC的面积＝梯形CBEF的面积+三角形OEB的面积﹣三角形OFC的面积＝梯形CBEF的面积，
∴三角形OBC的面积=12（-5b-3a-5b）a=-12（10b+3a）a=-5ab-32=692，
∴平行四边形OABC的面积＝三角形OBC的面积×2=69．
故答案为：69．
【巩固】如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若APBP=13，则DADO=14；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②C．②④D．①③
【解答】解：设点B的坐标为（b，a），
∵四边形ABCD为矩形，
∴A（0，a），C（b，0），
∵点P，E在反比例函数图形上，
∴P（ka，a），E（b，kb），
∴直线PE的解析式为y=-abx+kb+a，
令y＝0，则-abx+kb+a＝0，∴x=ka+b，∴F（ka+b，0），
∴CF=ka+b﹣b=ka，
∵P（ka，a），
∴AP=ka，∴AP＝CF，
∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，AB∥OC，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CF•OA=ka•a＝k，故①正确；
∵四边形ACFP是平行四边形，∴AC∥DF，
∵OA∥∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；
∵APBP=13，∴APAB=14，
∵B（b，a），∴AB＝b，
∵P（ka，a），∴AP=ka，∴kab=14，∴ab＝4k，
∵直线PE的解析式为y=-abx+kb+a，
∴D（0，kb+a），
∵A（0，a），∴AD=kb+a﹣a=kb，
∴DADO=kbkb+a=kk+ab=kk+4k=15，故③错误；
∵S△CEF＝1，
∴12×ka×kb=1，∴k2ab=2，
∵S△PBE＝4，
∴12（b-ka）•（a-kb）＝4，
∴ab﹣k﹣k+k2ab=8，
∴12k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
三、反比例函数中的规律探索
【典例】
如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2，…，An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1，A2B2，…，An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=1x（x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．BC与双曲线y=1x交于点E，若Bn-1EBn-1Cn-1=1415，则n的值为 ．（n为正整数）
【解答】解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn﹣1为CB的n等分点，∴OAn﹣1＝n﹣1，An﹣1Bn﹣1＝n，
把x＝n﹣1代入y=1x，得y=1n-1，
∴Cn﹣1（n﹣1，1n-1）＝n-1n-1
∴Bn﹣1Cn﹣1＝n-1n-1=n2-n-1n-1，
把y＝n代入y=1x，得x=1n，
∴E（1n，n），
∴Bn﹣1E＝n﹣1-1n=n2-n-1n，
∵Bn-1EBn-1Cn-1=1415，
∴n2-n-1nn2-n-1n-1=1415，
∴n-1n=1415，
解得n＝15；
故答案为：15
【巩固】
如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…Pn，再分别过P2，P3，P4，…Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 ．
【解答】解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣2An﹣1＝a，
∵x＝a时，y=1a，∴P1的坐标为（a，1a），
∵x＝2a时，y=12a，∴P2的坐标为（2a，12a），
∴Rt△P1B1P2的面积=12×a×（1a-12a），
Rt△P2B2P3的面积=12×a×（12a-13a），
Rt△P3B3P4的面积=12×a×（13a-14a），
…，
∴Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积=12×a×[1(n-1)a-1na]=12×1×（1n-1-1n）=12n(n-1)．
故答案为：12n(n-1)．
巩固练习
1．方程2x﹣x2=2x的正根的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数y＝2x﹣x2，y=2x的图象，如下图所示：
由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为负
即方程2x﹣x2=2x无正根，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为（ ）
A．32B．3+52C．4D．6
【解答】解：过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD=12OM＝1，MD=22-12=3，
∴M（1，3）；
∴反比例函数的关系式为：y=3x，
设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC=3a，
在Rt△BCN中，
NC=3BC，
∴3a=3（3﹣a），
解得：x=3+52，x=3-52（舍去），
∴点N的横坐标为3+52，
故选：B．
3．如图，Rt△ABC位于第一象限，AB＝4，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（ ）
A．5B．498C．12124D．4
【解答】解：由题意可知A的坐标是（1，1），C的坐标是（1，3），B的坐标是（5，1），
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
则k+b=35k+b=1，
解得：k=-12b=72，
则函数的解析式是：y=-12x+72，
根据题意，得：kx=-12x+72，即x2﹣7x+2k＝0，
Δ＝49﹣8k≥0，
解得：k≤498．
故k的最大值为498，
故选：B．
4．如图，点A在反比例函数y1=20x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=8x（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．20
【解答】解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等，
∵点A在反比例函数y1=20x（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2=8x（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△OAB=12×20＝10，S△OBC=12×8=4，
∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6，
∴△APC的面积为6，
故选：A．
5．某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是 min．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y＝k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y＝k1x+b得k1＝10，b＝30
∴y＝10x+30（0≤x≤7），令y＝50，解得x＝2；
设反比例函数关系式为：y=kx，
将（7，100）代入y=kx得k＝700，
∴y=700x，
将y＝35代入y=700x，解得x＝20；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7＝13（分钟）．
故答案为：13．
6．如图，平行于y轴的直线与函数y1=kx（x＞0）和y2=2x（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2=2x于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ ．
【解答】解一：设A（m，km），则B（m，2m），D（m，0），设C（n，2n），
∵S△OCD=12OD•yc=12•m•2n=2，
∴mn=2，
∴nm=12．
又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD
=12k-12•km•（m﹣n）
=12k（1-m-nm）
=12k•nm
=14k，
∴14k＝2，
∴k＝8．
解二：如图，过点C作CE⊥x轴于E，
∵点C在双曲线y2=2x上，
∴S△OCE＝1，
∵S△OCD＝2，
∴S△ECD＝S△OCE＝1，
∴点E为OD的中点，
∵CE∥AD，
∴点C是OA的中点，
∴S△OAD＝2S△OCD＝4，
∵函数y1=kx（x＞0）的图象过点A，AD⊥x轴，
∴k＝8．
故答案为：8．
7．如图，点A、B为直线y＝x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=1x（x＞0）于C，D两点，若BD=32AC，则9CO2﹣4DO2的值为 ．
【解答】解：点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），则点C的坐标为（m，1m），点D的坐标为（n，1n），
∴BD＝n-1n，AC＝m-1m，
∵BD=32AC，
∴n-1n=32（m-1m），
∴9CO2﹣4DO2＝9（m2+1m2）﹣4（n2+1n2），
＝9[（m-1m）2+2]﹣4[（n-1n）2+2]，
＝9（m-1m）2+18﹣9（m-1m）2﹣8，
＝10．
故答案为10．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=mx（m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点．若点D为线段AC上的一个动点．过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴当x＝0时，y＝b，
当y＝0时，kx+b＝0，
解得：x=-bk，
∴A（-bk，0），B（0，b），
∵点C（2，4），B为线段AC的中点
∴-bk+22=00+42=b，
解得：k=1b=2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
一次函数解析式为y＝x+2，
∵反比例函数y=mx（m＞0）的图象过点C（2，4），
∴将点C（2，4）代入，得：m＝8，
∴反比例函数y=8x，
延长ED交y轴于点F，如图所示：
设点E纵坐标为a，把y＝a代入y=8x，得x=8a，
则E（8a，a），F（0，a）
把y＝a代入y＝x+2，得x+2＝a，
∴x＝a﹣2，
∴D（a﹣2，a），
∴S△ODE＝S△OFE﹣S△OFD=12×OF×EF-12×OF×DF=12×a×8a-12×a×（a﹣2）=-12a2+a+4=-12（a﹣1）2+92，
∵-12＜0，
∴当a＝1时，S△ODE有最大值，最大值为92，
故答案为：92．
9．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？
（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．
【解答】解：（1）材料锻造时，设y=kx（k≠0），
由题意得600=k8，
解得k＝4800，
当y＝800时，
4800x=800，
解得x＝6，
∴点B的坐标为（6，800），
材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），
由题意得800＝6a+32，
解得a＝128，
∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．
∴锻造操作时y与x的函数关系式为y=4800x（x＞6）；
（2）把y＝400代入y=4800x中，得x＝12，
12﹣6＝6（min），
答：锻造的操作时间6min；
（3）当y＝400时，由128x+32＝400，
∴x=238，
从400℃升到800℃需要6-238=258（min），
∵加工每个零件需要12min，每次锻造6min，
∴加工第一个零件需要锻造、煅烧两次，一共需要12+258+6=1698min．
10．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则3x+2y=192x+y=11，解得x=3y=5，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y=50x，
当x＝55时，y=5055＜1，
故一班学生能安全进入教室．