专题37 因式分解-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：
1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法
对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.
对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.
技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；
技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.
2.二次项系数不为1的十字相乘
在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：
按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.
PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.
【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【解答】C
【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑：
由①可得m＝1，由②可得，故选C.
【巩固】求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.
二、利用因式分解计算求值
【典例】已知x、y是二元一次方程组x-2y=32x+4y=5的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
【解答】解：x-2y=3①2x+4y=5②，
①×2﹣②得
﹣8y＝1，
y=-18，
把y=-18代入②得
2x-12=5，
x=114，
x2﹣4y2＝（114）2-4×(-18)2=152，
故答案为：152．
【巩固】设a=20042-2003×(20042+2005)2003×(20022-2001)-20023，b=20053-2004×(20052+2006)2004×(20032-2002)-20033，则a、b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定
三、利用因式分解证明
【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．
【解答】证明：原式＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2•4n＝8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．
【巩固】
（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；
（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．
巩固练习
1．已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．7B．9C．3D．5
2．已知a+b+c＝3，a2+b2+c2＝3，则a2017+b2018+c2019的值是 ．
3．已知：x2﹣8x﹣3＝0，则（x﹣1）（x﹣3）（x﹣5）（x﹣7）的值是 ．
4．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b＝0，求u＝9a2+72b+2的最小值．
5．已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，求多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
6．已知n是正整数，且n4﹣16n2+100是质数，求n的值．
7．设k为正整数，证明：
（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；
（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．
8．已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值．
9．已知四个实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a2+ac＝4，b2+bc＝4，c2+ac＝8，d2+ad＝8同时成立，试求a，c的值．
10．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c＝32 ①
b+c-abc+c+a-bca+a+b-cab=14②
是否存在以a，b，c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
11．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）＝321，规定F（n）=E(n)-D(n)198，如F（123）=321-123198=1．
（1）计算：F（159），F（246）；
（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）＝5，记k=2D(s)+D(t)9，求k的最大值．