专题20 一次函数-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】
如图，点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2022的坐标为 ．
【解答】解：∵点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，
∴A1（1，0），B1（1，12），
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2（32，0），B2（32，34），
A3（94，0），B3（94，98），
A4（278，0），B4（278，2716），
……
An（3n-12n-1，0），Bn（3n-12n-1，3n-12n），
∴点B2022的坐标为（3202122021，3202122022），
故答案为：（3202122021，3202122022）．
【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M11l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N2⊥x轴，交直线l于点N3；…：按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 ．
【解答】解：如图，过N1作N1E⊥x轴于E，过N1作N1F⊥y轴于F，
∵N1（1，1），
∴N1E＝N1F＝1，
∴∠N1OM1＝45°，
∴∠N1OM1＝∠N1M1O＝45°，
∴△N1OM1是等腰直角三角形，
∴N1E＝OE＝EM1＝1，
∴OM1＝2，
∴M1（2，0），
同理，△M2ON2是等腰直角三角形，
∴OM2＝2OM1＝4，
∴M2（4，0），
同理，OM3＝2OM2＝22OM1＝23，
∴M3（23，0），
∴OM4＝2OM3＝24，
∴M4（24，0），
依此类推，故M2022（22022，0），
故答案为：（22022，0）．
二、一次函数与几何综合题
【典例】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点；点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．
【解答】解：（1）证明：∵△ACP与△AOB都是等边三角形
∴AC＝AP，AO＝AB，∠CAP＝∠OAB＝60°
∴∠CAP+∠PAO＝∠OAB+∠PAO
∴∠CAO＝∠PAB
在△AOC和△ABP中
AO=AB∠CAO=∠PABAC=AP
∴△AOC≌△ABP（SAS）
（2）∵△AOC≌△ABP
∴∠COA＝∠PBA＝90°
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上
∵△AOB是等边三角形，A（0，3）
∴B（332，32）
当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）
设点P所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0），把点B、P坐标分别代入得
332k+b=32b=-3
解得k=3b=-3
∴点P所在函数图象的解析式为y=3x﹣3．
【巩固】如图1，直线AB的解析式为y＝kx+6，D点坐标为（8，0），O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上．
（1）求直线AD、AB的解析式．
（2）如图2，若OC交AB于点E，在线段AD上是否存在一点F，使△ABC与△AEF的面积相等，若存在求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，过点D的直线l：y＝mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m的值．
【解答】解：（1）∵y＝kx+6，
∴A（0，6），
∴OA＝6，
∵D（8，0），
∴OD＝8，
∴直线AD的解析式为y=-34x+6，
在Rt△AOD中，AD＝10，
∵O点、点C关于直线AB对称，
∴设OB＝BC＝a，OA＝AC＝6，CD＝4，
∴BD＝8﹣a，
在Rt△BCD中，a2+42＝（8﹣a）2，
∴a＝3，
∴B（3，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）∵C点在直线AD上，
∴设C（x，-34x+6），
∵OE⊥AB，OA⊥OB，
∴∠OAB＝∠COB，
∴-34x+6x=36，
∴x=245，
∴C（245，125），
∴直线OC的解析式为y=12x，
∵△ABC与△AEF的面积相等，
∴△BEC与△ECF的面积相等，
∴BF∥OC，
设直线BF的解析式为y=12x+n，
∵B（3，0）在直线BF上，
∴b=-32，
∴直线BF的解析式为y=12x-32，
联立12x-32=-34x+6，
∴x＝6，
∴F（6，32）；
（3）设直线DE、DF与直线AB夹角等于45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
作EM⊥DM于M，FN⊥DN于N，
∴△DEM≌△FDN（AAS），
∴EM＝DN，DM＝FN，
直线l经过D（8，0），
∴b＝﹣8m，
设E（t，﹣2t+6），则EM＝DN＝8﹣t，DM＝FN＝﹣2t+6，
∴F（2+2t，t﹣8），
∵F点在直线AB上，
∴t﹣8＝﹣2（2+2t）+6，
∴t＝2，
∴E（2，2），F（6，﹣6），
当直线l经过E点时，2m﹣8m＝2，解得m=-13，
当直线l经过F点时，6m﹣8m＝﹣6，解得m＝3，
∴m＝3或-13．
巩固练习
1．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1B．3C．3（m﹣1）D．32(m-2)
【解答】解：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）．
所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD＝BF＝GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于12×2×1×3＝3．
故选：B．
2．将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（ ）
A．﹣4≤b≤﹣2B．﹣6≤b≤2C．﹣4≤b≤2D．﹣8≤b≤﹣2
【解答】解：当 x＝3时，6+b≥2，b≥﹣4；
当 x＝0时，﹣b≥2即 b≤﹣2，
∴b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2．
故选：A．
3．如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于（ ）
A．1B．32C．23D．43
【解答】解：将图形进行如图分解，
∵图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等，
∴当正比例函数y＝kx的图象过点A时，恰好将图形分为面积相等的两部分．
又∵点A的坐标为（3，4），
∴4＝3k，
解得：k=43．
故选：D．
4．设直线y＝kx+k﹣1和直线y＝（k+1）x+k（k为正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2009的值是 ．
【解答】解：方程组y=kx+k-1y=(k+1)x+k的解为x=-1y=-1，
所以直线的交点是（﹣1，﹣1），
直线y＝kx+k﹣1与x轴的交点为（1-kk，0），y＝（k+1）x+k与x轴的交点为（-kk+1，0），
∴Sk=12×|-1|×|1-kk--kk+1|=12|1k-1k+1|，
所以 S1+S2+S3+…+S2009=12(1-12+12-13+⋯+12009-12010)=12×(1-12010)=20094020，
故答案为：20094020
5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为 ．
【解答】解：∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△OAB中，AB=OA2+OB2=5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′＝BA＝5，CA′＝CA，
∴OA′＝BA′﹣OB＝5﹣3＝2，
设OC＝t，则CA＝CA′＝4﹣t，
在Rt△OA′C中，
∵OC2+OA′2＝CA′2，
∴t2+22＝（4﹣t）2，解得t=32，
∴C点坐标为（0，32），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，32）代入得3k+b=0b=32，解得k=-12b=32，
∴直线BC的解析式为y=-12x+32．
故答案为：y=-12x+32．
【法二】求C点坐标可以下面的方法：
∵将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴∠OAB＝∠OA′C，
∴Rt△OAB∽Rt△OA′C，
∴OA：OA′＝OB：OC，即4：2＝3：OC，解得OC=32，
∴C点坐标为（0，32）．
6．设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|-12|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，
∴当2≥x≥0时，|x﹣2|-12|x|+|x+2|＝2﹣x-12x+x+2＝4-12x；
当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|-12|x|+|x+2|＝2﹣x+12x+x+2＝4+12x，
当x＝0时，取得最大值为4，x＝2时取得最小值，最小值为3，
则最大值与最小值之差为1．
故答案为：1
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，4），B（4.0），一次函数y＝﹣2x的图象与直线AB交于点P．
（1）求P点的坐标；
（2）若M点是y轴上一点，且△PMA的面积等于10，求点M的坐标；
（3）若直线y＝﹣2x+b与△AOB的三边恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围 ．
【解答】解（1）依题意设直线AB的解析式为：y＝kx+4，
又∵B（4，0）在直线AB上，
∴4k+4＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
联立得y=-x+4y=-2x，解得x=-4y=8，
∴P（﹣4，8）；
（2）设M（0，n），
∵△PMA的面积等于10，
∴12•|n﹣4|•4＝10，
解得n＝9或﹣1，
∴M（0，9）或（0，﹣1）．
（3）当直线y＝﹣2x+b经过点O时，b＝0，
当直线y＝﹣2x+b经过点B时，b＝8，
∴若直线y＝﹣2x+b与△AOB三条边只有两个公共点，则有0＜b＜8，
故答案为0＜b＜8．
8．先阅读材料，再解决问题：
已知点P （x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d=|kx0-y0+b|1+k2计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝2x+3的距离．
解：由直线y＝2x+3可知k＝2，b＝3．所以点P（﹣2，1）到直线y＝2x+3的距离为d=|kx0-y0+b|1+k2=|2×(-2)-1+3|1+22=255．
请解决以下问题：
（1）点O（0，0）到直线y=3x+3的距离是 ；
（2）若点P（2，0）到直线y＝﹣x+b的距离为2，求实数b的值；
（3）已知直线y＝2x+1与y＝2x﹣4互相平行，求这两直线之间的距离．
【解答】解：（1）由d=|kx0-y0+b|1+k2，可得d=31+3=32，
故答案为：32；
（2）由d=|kx0-y0+b|1+k2，可得2=|-2+b|1+1，
解得b＝4或b＝0；
（3）∵直线y＝2x+1与y轴的交点为（0，1），
∵直线y＝2x+1与y＝2x﹣4互相平行，
∴两直线间的距离为点（0，1）到直线y＝2x﹣4的距离，
∴d=51+4=5．
9．直线l1：y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B．
（1）求AB的长；
（2）如图1，直线l1关于y轴对称的直线l2交x轴于点C，直线l3：y=12x+b经过点C，点D、T分别在直线l2、l3上．若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）如图2，平行y轴的直线x＝2交x轴于点E，将直线l1向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线x＝2于点P．点F（t，t2）在四边形ONPE内部，直线PF交OE于G，直线OF交PE于H，求GE（ME+HE）的值．
【解答】解：（1）由于直线l1：y＝x﹣3交x轴于A（3，0），得OA＝3；
交y轴于B（0，﹣3），得OB＝3；
∵AO⊥BO，
∴AB=AO2+BO2=32；
（2）
设直线l2的解析式为y＝kx﹣3，
由于点A，C关于y轴对称，
故由A（3，0）得C（﹣3，0），
点C在直线l2上，得0＝﹣3k﹣3，
解得k＝﹣1，
所以l2的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵直线l3：y=12x+b经过点C，
∴0=12（﹣3）+b，得b=32，
∴直线l3：y=12x+32，
设点D坐标为（m，﹣m﹣3），
①当点D在线段BC上时，即图1中的D1，
以A、B、D1、T为顶点的四边形是平行四边形ABD1T，
即AB∥D1T，AB＝D1T，
根据平移性质知，T（m+3，﹣m），
∴﹣m=12（m+3）+32，解得m＝﹣2，
∴D1＝（﹣2，﹣1），
②当点D在线段BC的延长线上时，即图1中的D2，
以A、B、D2、T为顶点的四边形是平行四边形ABTD2，
即AB∥D2T，AB＝D2T，
根据平移性质知，T（m﹣3，﹣m﹣6），
∴﹣m﹣6=12（m﹣3）+32，解得m＝﹣4，
∴D2（﹣4，1），
③当点D在线段CB的延长线上时，即图1中的D3，
以A、B、D3、T为顶点的四边形是平行四边形AD3BT，
即BD∥AT，BD3＝AT，
根据平移性质知，T（3﹣m，m），
∴m=12（3﹣m）+32，解得m＝2，
∴D3（2，﹣5），
故点D的坐标为（﹣2，﹣1），（﹣4，1），（2，﹣5）
（3）直线l1向上平移5个单位长度得到的直线MN解析式为y＝x+2，
交直线x＝2于点P（2，4），
设直线PF的解析式为y＝px+q，
∵经过点P（2，4）与F（t，t2），
∴4=2p+qt2=tp+q，
解得p=t+2q=-2t，
∴直线PF的解析式为y＝（t+2）x﹣2t，
交x轴于G（2tt+2，0），
又直线x＝2交x轴于点E（2，0），
得GE＝2-2tt+2=4t+2，
又直线OF的解析式为y＝tx，与直线x＝2交于H（2，2t），得HE＝2t，
直线MN的解析式为y＝x+2，交x轴于M（﹣2，0），得ME＝4，
所以GE（ME+HE）=4t+2（4+2t）＝8．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m-6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵m-6+（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
则有b=126k+b=0解得k=-2b=12，
∴直线AB解析式为y＝﹣2x+12，
∵直线AB点C（a，a），
∴a＝﹣2a+12，
∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y=12x+b′，边点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y=12x+2，
∴点D坐标（﹣4，0）．
解法二：利用相似三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．
（3）如图2中，在EP上取点F，使得CE＝CF，
∵∠CEF＝45°，CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∠ECF＝90°．
∵直线EC解析式为y=32x﹣2，设直线CF解析式为y=-23x+b，
把C（4，4）代入y=-23x+b，
得b=203，
∴直线CF解析式为y=-23x+203．
设F（c，-23c+203）
∵CF＝EC=(4-0)2+(4+2)2=213，
∴（c﹣4）2+（-23c+203-4）2＝52，
解得c＝﹣2或10（舍去）
∴F（﹣2，8）．
由E（0，﹣2），F（﹣2，8）得直线FE解析式为y＝﹣5x﹣2，
由y=-2x+12y=-5x-2解得x=-143y=643，
∴点P坐标为（-143，643）．
解法二：方法提示：构造如图全等三角形，
由△FGC≌△CHE，可得GC＝EH＝4，FG＝CH＝6，
得到F（﹣2，8）．
由E（0，﹣2），F（﹣2，8）得直线FE解析式为y＝﹣5x﹣2，
由y=-2x+12y=-5x-2解得x=-143y=643，
∴点P坐标为（-143，643）．