专题22 二次函数-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系
【典例】
已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（ ）
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，所以b﹣2a＞0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；
故④⑤正确．
故选：D．
【巩固】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、二次函数与直线
【典例】如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，求直线BD和直线EF的解析式；
（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A、D两点代入y＝x2+bx+c可求得：b＝2，c＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3
（2）由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3可求B的坐标是（1，0），
由B、D两点坐标求得直线BD的解析式为y＝x﹣1；
∵EF∥BD，
∴直线EF的解析式为：y＝x﹣a
（3）若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴，如图，
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为﹣3．
∴F点的坐标为（0，﹣3），
∴DF＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴E（3，0），
即：a＝3．
所以存在实数a＝3，使四边形BDFE是平行四边形．
【巩固】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数与几何面积问题
【典例】
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=-12x2+72x+4经过A、B两点．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）若在线段AB上方的抛物线有一动点P，过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q，设点P的横坐标为t（0＜t＜8），求△ABP的面积S与t的函数关系式，并求出△ABP的最大面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使S△APB=34S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，-12x2+72x+4＝0，
解得：x＝8或﹣1，
∴A（8，0）；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（8，0），B（0，4）代入得：8k+b=0b=4，
解得：k=-12b=4，
∴AB的解析式为：y=-12x+4，
∴Q（t，-12t+4），P（t，-12t2+72t+4），
∴PQ＝（-12t2+72t+4）﹣（-12t+4）=-12t2+4t，
∴S=12PQ•OA=12（-12t2+4t）×8＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∵0＜t＜8，
∴当t＝4时，S有最大值为32，
即△ABP的最大面积为32；
（3）存在，
∵OA是BC的垂直平分线，
∴OB＝OC＝4，
∵OA＝8，
∴S△ABC=12BC•OA=12×8×8＝32，
∵S△APB=34S△ABC，
∴﹣2t2+16t=34×32，
t2﹣8t＝﹣12，
t2﹣8t+12＝0，
（t﹣2）（t﹣6）＝0，
解得：t＝2或6，
当t＝2时，y=-12×22+72×2+4＝9，
当t＝6时，y=-12×62+72×6+4＝7，
∴点P的坐标为（2，9）或（6，7）．
【巩固】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
巩固练习
1．已知函数y=x2-x(x≥0)-x2-x(x＜0)，当a≤x≤b时，-14≤y≤14，则b﹣a的最大值为（ ）
A．1B．2+1C．22+12D．22
2．将抛物线T：y＝x2﹣2x+4绕坐标原点O顺时针旋转30°得到抛物线T′，过点A（33，﹣3）、B（3，33）的直线l与抛物线T′相交于点P、Q．则△OPQ的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：
①当x1＞x2+2时，S1＞S2；
②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；
③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；
④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①②③④D．③
4．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0；②b＞2a； ③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．-254＜m＜3B．-254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2
6．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝ ．
7．设m是整数，且方程3x2+mx﹣2＝0的两根都大于-95而小于37，则m＝ ．
8．如图，抛物线y=14px2（p＞0），点F（0，p），直线l：y＝﹣p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b，则△A1OB1的面积＝ ．（只用a，b表示）．
9．若抛物线y＝﹣ax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+…+S2018＝ ．
10．设a，b为整数，且方程ax2+bx+1＝0的两个不同的正数根都小于1，求a的最小值．
11．已知抛物线y＝x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜x2；
（2）求证：x1＜x0＜x2；
（3）当点M为（1，﹣1999）时，求整数x1，x2．项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点