专题27 不等式组-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】若关于x的不等式组2x+3＞12x-a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8
【解答】解：2x+3＞12①x-a≤0②，
解不等式①，得x＞4.5，
解不等式②，得x≤a，
所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，
∵关于x的不等式组2x+3＞12x-a≤0恰有3个整数解（整数解是5，6，7），
∴7≤a＜8，
故选：C．
【巩固】关于x的不等式组-(x-a)＜31+2x3≥x-1恰有2个整数解，则a的取值范围是 ．
二、方案类问题
【典例】
某商场若购进2部甲型号手机和3部乙型号手机，共需7400元；若购进3部甲型号手机和5部乙型号手机，共需11700元．
（1）求甲、乙型号手机每部的进价；
（2）商场计划用不少于44400元且不多于50000元的资金购进这两种型号手机共30部．
①求有多少种进货方案；
②若每部甲，乙型号手机的售价分别为2500元，1950元，采用①中甲型手机进货量最少的方案进货，为了促销．商场决定每售出一部甲型号手机，返还顾客现金a元，每售出一部乙型号手机，返还顾客现金b元（a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍），要保证该进货方案（全都售完）获利达到16500元，直接写出a、b的值．
【解答】解：（1）设每部甲型号手机的进价为x元，每部乙型号手机的进价为y元，
依题意得：2x+3y=74003x+5y=11700，
解得：x=1900y=1200．
答：每部甲型号手机的进价为1900元，每部乙型号手机的进价为1200元．
（2）①设购进m部甲型号手机，则购进（30﹣m）部乙型号手机，
依题意得：1900m+1200(30-m)≥444001900m+1200(30-m)≤50000，
解得：12≤m≤20，
又∵m为整数，
∴m可以为12，13，14，15，16，17，18，19，20，
∴共有9种进货方案．
②依题意得：（2500﹣a﹣1900）×12+（1950﹣b﹣1200）×（30﹣12）＝16500，
∴a＝350-32b．
又∵a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍，
∴a=200b=100或a=50b=200．
答：a、b的值为200，100或50，200．
【巩固】2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：
（1）共需租 辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
三、不等式组与方程组综合
【典例】
关于x，y的方程组12x+y=a|x|-y=1只有唯一的一组解，那么a的取值为 ．
【解答】解：∵关于x，y的方程组12x+y=a|x|-y=1只有唯一的一组解，
∴|x|＝0，即x＝0，
把x＝0代入方程组得：y=a-y=1，
解得：a＝y＝﹣1，
故答案为：﹣1
【巩固】
若方程组3x+y=k+1x+3y=3的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0B．﹣1＜k＜0C．0＜k＜8D．k＞﹣4
四、多项式的最值
【典例】
若a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则M﹣N＝（ ）
A．28B．12C．48D．36
【解答】解：∵a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，
∴b＝20﹣a，c＝24﹣a，d＝22﹣a，
∴a+b+c+d＝a+20﹣a+24﹣a+22﹣a＝66﹣2a，
∵a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，
∴0＜a＜20，
∵a，b为正整数，
∴a的最小值为1，a的最大值为19，
∴当a＝1时，a+b+c+d的最大值为M＝66﹣2＝64，
当a＝19时，a+b+c+d的最小值为N＝66﹣2×19＝28，
∴M﹣N＝64﹣28＝36，
故选：D．
【巩固】
已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，求m的最大值和最小值．
巩固练习
1．若[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]＝1，[﹣4.2]＝﹣5．已知[a]＝5，[b]＝﹣3，[c]＝﹣2，则[a﹣2b+c]可以取到的值的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知关于x的不等式组|x+1|＜4x-1x＜a无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜23B．a≤23C．a＞23D．a≥23
3．已知关于x的不等式组3x-a≥0|x|＜b2的整数解有且仅有4个：﹣1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）的个数有（ ）
A．1B．2C．4D．6
4．已知a，b是不超过15的自然数，若关于x的方程ax＝b的解满足14＜x＜13，则这样的a，b共有 组．
5．已知正整数a、b、c满足a＜b＜c，且1a+1b+1c=1，求a，b，c的值．
6．已知方程组x-y=2mx+y=6，若方程组有非负整数解，求正整数m的值．
7．某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
8．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进1件甲种农机具和2件乙种农机具共需2.5万元，购进2件甲种农机具和3件乙种农机具共需4.5万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共8件，且投入资金不少于7.8万元又不超过10万元，设购进甲种农机具a件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
9．甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？
10．已知关于x，y的方程组x-2y=m，①2x+3y=2m+4②的解满足不等式组3x+y≤0，x+5y＞0，求满足条件的m的整数值．
11．某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
（2）共享单车安装公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），由于时间紧急，工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，若要求必须在30天内交付运营公司5700辆合格品投入市场，求a、n的所有可能结果．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
40
55
租金/（元/辆）
500
600