专题02 绝对值-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：
；
2.绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如：表示数a到原点的距离，表示数a与数b间的距离；
3.绝对值的性质
①；②；③；④；⑤
【典例】
若a+b+c＝0，则|a|a+|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．7
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a，b，c中两正一负或一正两负，
假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；
假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，
故选：B．
【巩固】
数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．
（1）当a＝1时，求|a|a= ，当b＝﹣2时，求|b|b= ．
（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a+|b|b+|c|c的值．
（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．
二、绝对值的非负性
【学霸笔记】
不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：
（1）非负数具有最小值0；
（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；
（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.
【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：
（1）abc＜0
（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|
（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0
（4）|a|＜1﹣bc
其中正确的命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，
（1）命题abc＜0正确；
（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．
又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；
（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；
（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，
∴1﹣bc＞1，
所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．
所以正确的有命题①③④这三个．
故选：B．
【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为 ．
三、绝对值的最值
【学霸笔记】
1.的几何意义就是数轴上数a与数b两点间的距离；
2.一般地，设分别是数轴上依次排列的表示有理数的点，若n为奇数，当时，的值最小；若n为偶数，当时，的值最小.
【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是 ；
（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ；
（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．
【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．
故答案为：5；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．
故答案为：|x+5|；
（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．
故答案为：﹣3≤x≤1，4；
（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，
∴x≥4时有最大值1+1＝2．
【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（1）当x＝ 时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是 ．
（2）当x＝ 时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是 ．
（3）当整数x＝ 时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是 ．
（4）当整数x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是 ．
（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是 ；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是 ；
（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最 值（填“大”，“小”），这个值是 ．
巩固练习
1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ）
A．y没有最小值
B．只有一个x的值使y取最小值
C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值
D．有无数多个x的值使y取最小值
2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（ ）
A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣1009
3．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（ ）
A．a-c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b-c2
5．若有理数m，n，p满足|m|m+|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|= ．
6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为 ，最大值为 ．
7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ．
8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是 ．
9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．
10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．
11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|
12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|之所有可能的值．