专题19 平面直角坐标系-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.对于点，
在第一象限时，；
在第二象限时，；
在第三象限时，；
在第四象限时，.
2.对于点，
在x轴上时，；
在y轴上时，
3.对于点，
在第一、三象限的角平分线上时，；
在第二、四象限的角平分线上时，.
4.点到x轴的距离为，到y轴的距离为.
5.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同.
【典例】【阅读材料】
平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|（其中的“+“是四则运算中的加法），例如点P（1，2）的勾股值[P]＝|1|+|2|＝3
【解决问题】
（1）求点A（﹣2，4），B（2+3，2-3）的勾股值[A]，[B]；
（2）若点M在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M]＝3，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4），B（2+3，2-3），
∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝|2+3|+|2-3|=2+3+3-2=23；
（2）∵点M在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M]＝3，
∴x＝±1时，y＝2或x＝±2，y＝1或x＝0时，y＝3，
∴点M的坐标为（﹣1，2）、（1，2）、（﹣2，1）、（2，1）、（0，3）．
【巩固】已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8＝0，
解得：a＝﹣4，
故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
故2a+8＝2×2+8＝12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
故2a+8＝14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0，
解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2，
故当a＝﹣10则：a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a＝﹣2则：a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
二、点的坐标规律
【典例】如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P第2021次运动到点（ ）
A．（2020，﹣2）B．（2020，0）C．（2021，1）D．（2021，﹣2）
【解答】解：点P的运动规律是每运动四次向右平移四个单位，
∵2021＝505×4+1，
∴动点P第2021次运动时向右505×4+1＝2021个单位，
∴点P此时坐标为（2020，1），
故选：C．
【巩固】在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A1（ ， ），A2（ ， ），A3（ ， ）；
（2）写出点A4n，A4n+1，A4n+2，A4n+3的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【解答】解：（1）根据平面直角坐标系中各个点的变化规律可得，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），
故答案为：0，1，1，1，1，0；
（2）根据各个点的坐标可得，
A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），
A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），
A9（4，1），A10（5，1），A11（5，0），A12（6，0），
A13（6，1），A14（7，1），A15（7，0），A16（8，0），
……
∴A4n（2n，0，）A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0）；
（3）根据排列的规律可知，A100在x轴上，A101在A100的上方，因此方向是向上．
三、坐标与图形性质
【典例】
如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）、B（b，0），且a、b满足|a+2|+b-4=0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a、b的值及S△ABC；
（2）若点M在坐标轴上，且S△ACM=12S△ABC，试求点M的坐标．
【解答】解：（1）由|a+2|+b-4=0可知，a+2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．
又∵点C（0，3），
∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，
∴S△ABC=12AB•CO=12×6×3＝9．
（2）当点M在x轴上时，设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
又∵S△ACM=12S△ABC，
∴12AM•OC=12×9，
∴12|x+2|×3=92，
∴|x+2|＝3，
即x+2＝±3，
解得：x＝1或﹣5，
当点M在y轴上时，设点M的坐标为（0，y），则CM＝|3﹣y|，
又∵S△ACM=12S△ABC，
∴12CM•OA=12×9，
∴12|3﹣y|×2=92，
∴|3﹣y|=92，
即x+2＝±3，
解得：y=152或-32，
故点M的坐标为（1，0）或（﹣5，0）或（0，152）或（0，-32）．
【巩固】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，
过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S＝S△AED+S梯形EFCD﹣S△CFB
=12×AE×DE+12×（CF+DE）×EF-12×FC×FB．
=12×2×7+12×（7+5）×7-12×2×5＝44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，
S△PBC=12|7﹣x|×5＝50，
解得：x＝﹣13或27，
点P坐标为（﹣13，0），（27，0）；
当点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∵直线BC的解析式为y=52x-352，
∴直线BC与y轴的交点为（0，-352），
①P在直线BC上方时，S△PBC=12（352+y）×9-12（352+y）×7＝50，解得：y=652
点P坐标为（0，652）
②P在直线BC下方时，可得12（-352-y）×9-12（-352-y）×7＝50，
解得y=-1352，
∴点P坐标（0，-1352）．
综上所知：点P坐标为P1（﹣13，0），P2（27，0），P3（0，652），P4（0，-1352）．
巩固练习
1．如图，一个粒子在第一象限内及x、y轴上运动，在第一分钟内它从原点O运动到（1，0），而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么1989分钟后这个粒子所处的位置是（ ）
A．（35，44）B．（36，45）C．（37，45）D．（44，35）
【解答】解：要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：
（0，0），粒子运动了0分钟．（1，1）就是运动了2＝1×2分钟，将向左运动！
（2，2）粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动！
（3，3），粒子运动了12＝3×4分钟．将向左运动…
于是会出现：（44，44）点处粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子会将向下移动．
从而在运动了1989分钟后，粒子所在位置为（44，35）．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．（3，1）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（3，﹣2）
【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14．
∵2021＝288×（14÷2）+1.5+2+1.5，
∴当t＝2021秒时，瓢虫在点D处，
∴此时瓢虫的坐标为（3，1）．
故选：A．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ．
【解答】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB＝9，
∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；
故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．
4．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ．
【解答】解：∵到达终点An（506，﹣505），且此点在第四象限，
根据题意和到达位置的坐标可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3）•••，
∵6＝2+4×（2﹣1），
10＝2+4×（3﹣1），
14＝2+4×（4﹣1），
•••
n＝2+4×（506﹣1）＝2022．
故答案为：2022．
5．在平面直角坐标系中，已知：点P（2m+4，m﹣1）．
（1）分别根据下列条件，求出点P的坐标：
①点P在y轴上；
②点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P 是坐标原点（填“可能”或“不可能”）．
【解答】解：（1）①根据题意，得：
2m+4＝0．
解得 m＝﹣2；
∴P（0，﹣3）；
②根据题意，得：
2m+4+3＝m﹣1．
解得 m＝﹣8，
∴P（﹣12，﹣9）；
（2）不可能，理由如下：
令2m+4＝0，解得m＝﹣2；当m﹣1＝0，解答m＝1，
所以点P（2m+4，m﹣1）的横坐标与纵坐标不可能相等，所以点P不可能坐标原点．
故答案为：不可能．
6．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，n+22）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【解答】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，n+22=3，
解得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，n+22=8，
解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，n+22=2a﹣1，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．
7．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，﹣3），B（﹣2，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形OAB的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段A′B′．连接OA′，OB′．
①求三角形OA′B′的面积；
②P（﹣1，m）（m＞0）是一动点，若S三角形POB＝10，请直接写出点P坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣3），B（﹣2，0），
∴OA＝3，OB＝2，
∴S△AOB=12×2×3＝3，
故答案为：3．
（Ⅱ）①如图，S△A′B′O＝4×5-12×3×4-12×2×3-12×5×1=172．
②由题意，12×2×m＝10，
∴m＝10，
∴P（﹣1，10）．
8．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②求A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），其中m＞0．若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：a＝1﹣（﹣3）＝4，
当t＞2时，h＝t﹣1，
则4（t﹣1）＝12，
解得：t＝4，
故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h＝2﹣t，
则4（2﹣t）＝12，
解得：t＝﹣1，
故点P的坐标为（0，﹣1）；
当1＜t＜2时，h＝1，
此时S＝4，不符合题意；
综上所述，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣1）；
②由题意得：h的最小值为1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
（2）当m≥4时，a＝m，h＝4m，
此时S＝m×4m＝4m2＝8，
解得：m＝±2，不合题意舍去；
当12＜m＜4时，a＝4，h＝4m，
此时S＝16m＝8，
解得：m=12，不合题意舍去；
当0＜m≤12时，a＝4，h＝2，
此时S＝4×2＝8，符合题意；
综上所述，m的取值范围为0＜m≤12．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3-b+b-3-1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）请直接写出C，D两点的坐标．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使三角形ABP的面积与四边形ABDC的面积相等，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO的值是否发生变化，并说明理由．
【解答】解：（1）∵a=3-b+b-3-1，
∴b＝3，a＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∵将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴点C（0，2），点D（4，2）；
（2）存在，
∵点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，2），
∴AB＝4，OC＝2，
∴四边形ABDC的面积＝2×4＝8，
设点P（0，y），
∵△ABP的面积与四边形ABDC的面积相等，
∴12×4×|y|＝8，
∴y＝±4，
∴点P（0，4）或（0，﹣4）；
（3）∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
10．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为（0，a）和（9，a），点E在AB上，且AE=13AB，点F在OC上，且OF=13OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为20，△GFB的面积为16，试求a的值．
【解答】解：设G之坐标为（0，b），b＞0，
∵S长方形OABC﹣S△GEC＝S△OGC+S△AGE+S△BEC
∴9a﹣20=12•9b+12•3（a﹣b）+12•6a
解得b=32a-203
同理，∵S长方形OABC﹣S△GFB＝S△ABG+S△OGF+S△BFC
∴9a﹣16=12•9（a﹣b）+12•3b+12•6a，
化简得3a＝32﹣6b
将b=32a-203代入上式得
3a＝72﹣9a，解得a＝6．