数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积同步测试题

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课时素养检测

二十三　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.12π   B.π    C.8π    D.4π

【解析】选A.设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π.

2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为              (　　)

A.1    B.     C.    D.

【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R,V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4.

3.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是 (　　)

A.π   B.2    C.π   D.π

【解析】选D.S1=π,S2=4π,

所以r=1,R=2,S侧=6π=π(r+R)l,

所以l=2,所以h=.

所以V=π(1+4+2)×=π.

4.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为 (　　)

A.    B.    C.2   D.

【解析】选A.设大球的半径为r,则π×13×2=πr3,所以r=.

5.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为 (　　)

A.1∶2   B.1∶   C.1∶   D.∶2

【解析】选C.设圆锥的高为a,则底面半径为,

则S底=π·=,S侧=π··=πa2,所以=.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为________. 

【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,

其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,

设内切圆的圆心为O,由于AM==2,

故S△ABC=×2×2=2,

设内切圆半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r

=××r=2,解得r=,

其体积:V=πr3=π.

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸. 

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸,上底长为28寸,高为18寸的等腰梯形,雨水线恰为中位线,故雨水线直径是20寸,所以降水量为=

3(寸).

答案:3

8.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为________. 

【解析】设两球的半径分别为R,r(R>r),

解得

由题意得半径之差为1.

答案:1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

【解析】该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.

该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.

10.(原创题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的高;

(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?

【解析】(1)所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图,

BO=1,PO=3,设圆柱的高为h,

由图得=,即h=3-3x(0<x<1).

(2)因为S圆柱侧=2πxh=2πx(3-3x)=6π(x-x2),

当x=时,圆柱的侧面积取得最大值为π.

所以当圆柱的底面半径为时,

它的侧面积最大为π.　　　　　　　

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是 (　　)

A.　　 　B.　 　　C.　　 　D.

【解析】选A.设a为正方体的棱长,R为球的半径,由6a2=4πR2得=,

所以===.

2.已知三棱锥S -ABC,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则三棱锥的外接球的表面积为              (　　)

A.64π   B.68π   C.72π   D.100π

【解析】选D.如图所示,直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D,过D作面ABC的垂线,球心O在该垂线上,过O作球的弦SC的垂线,垂足为E,则E为SC中点,球半径R=OS==,

因为CD=AB=4,SE=3,所以R=5,

所以棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π.

3.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 (　　)

A.4πS   B.2πS   C.πS   D.πS

【解析】选A.底面半径是,所以正方形的边长是2π=2,故圆柱的侧面积是(2)2=4πS.

4.(多选题)下列说法正确的为 (　　)

A.设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形

B.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的8倍

C.若将气球的半径扩大2倍,则其体积扩大27倍

D.球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径

【解析】选ABD.A正确.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面内的任一直线;B正确.体积增大到原来的8倍;C错误.若将气球的半径扩大2倍,

则体积就扩大=26倍;

D正确.球与圆柱底面和侧面均相切,显然球的直径恰好等于圆柱的高,而球的直径也恰好等于底面圆的直径.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.(2020·江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3. 

【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V,正六棱柱的体积为V1,圆柱的体积为V2,则V1=6××2×2×sin 60°×2=12(cm3),V2=π×(0.5)2×2=(cm3),

所以V=V1-V2=12-(cm3).

答案:12-

6.如图,在边长为a的正方形中,剪下一个扇形和一个圆,分别作为一个圆锥的侧面和底,则此圆锥的体积为________. 

【解析】设圆的半径为r,扇形的半径为x,

则=·2πx=πx.

又因为=2πr,所以πx=2πr.

所以x=4r,AC=x+r+r.

所以(5+)r=a,所以r=()a.

又因为圆锥的高h==r,

所以圆锥体积V=πr2·h=πa3.

答案:πa3

7.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球. 若AB⊥BC,AB=6, BC=8,AA1=3,则V的最大值是__________.  

【解析】当球的半径最大时,球的体积最大. 在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r==2,直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.

答案:

8.如图所示的△OAB绕x轴旋转一周,产生的几何体的表面积为________,体积为____________. 

【解析】绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上、下底面半径分别为2,3,高为3的圆台,挖去了一个底面半径为3,高为3的圆锥,如图所示.其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和.圆台的母线长是,圆锥的母线长是3,故表面积

S1=π·22+π(2+3)·+π·3·3=(4+5+9)π;体积为V1=π(22+32+2×3)×3-π×32×3=π(4+9+6-9)=10π.

答案:(4+5+9)π　10π

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,求圆台的表面积.

【解析】圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,则它的母线长为l===5r=10,所以r=2,R=8.

故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,

S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.

10.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.

【解析】因为AB∶BC∶AC=18∶24∶30=3∶4∶5,所以△ABC是直角三角形,

∠B=90°.又球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心,即是Rt△ABC的外接圆的圆心,所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示),

设O′C=r,OC=R,则球半径为R,截面圆半径为r,

在Rt△O′CO中,由题设知sin∠O′CO==,

所以∠O′CO=30°,所以=cos 30°=,

即R=r,(*)

又2r=AC=30⇒r=15,代入(*)得R=10.

所以球的表面积为S=4πR2=4π×(10)2=1 200π.

球的体积为V=πR3=π×(10)3=4 000π.

11.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

【解题指南】本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之比,可在各几何体内作出截面,找到球心,易求半径.

【解析】设正方体的棱长为a.

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①,

所以有2r1=a,r1=,所以S1=4π=πa2.

(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图②,

2r2=a,r2=a,

所以S2=4π=2πa2.

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③,

所以有2r3=a,r3=a,

所以S3=4π=3πa2.

综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

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