高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算巩固练习

7．2.2　复数的乘、除运算

必备知识基础练　

1．(1＋2i)(1－i)＝(　　)

A．3＋i    B．－1＋i

C．－1－3i    D．1＋3i

2．已知复数z＝i(1－2i)，其中i是虚数单位，则z的共轭复数是(　　)

A．2－i    B．2＋i

C．1＋2i    D．1－2i

3．若复数z满足z(1＋i)＝i3，则z＝(　　)

A．－    B．－

C．D．

4．若复数z(1－i)＝1＋i，则|z|＝(　　)

A．    B．1

C．    D．2

5．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数的虚部为(　　)

A．i    B．－iC．    D．－

6．复数z＝，则z在复平面内对应的点位于第(　　)象限．

A．一    B．二

C．三    D．四

7.＝________．

8．已知复数z＝(1＋3i)i3，则z·＝________．

关键能力综合练　

1．已知a，b∈R，i为虚数单位，若a＋bi＝i8(2－i)，则a＋b＝(　　)

A．0    B．1

C．2    D．－2

2．已知复数z满足z＝(1－i)(2＋i)，则|z|＝(　　)

A．2    B．5

C．2    D．3

3．已知i是虚数单位，若＝a－bi(a，b∈R)，则2a＋b的值是(　　)

A．－2    B．－C．    D．1

4．已知复数z满足＝1＋2i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

5．(多选)已知复数z满足zi＝(1－2i)2，则(　　)

A．z的虚部为3

B．z在复平面内对应的点位于第四象限

C．|z|＝5

D．z2＋8z＋7＝0

6．(多选)已知复数z1＝a＋i，z2＝2＋bi，a，b∈R，且z1＋z2为纯虚数，z1z2<0，则(　　)

A．a＝－2

B．b＝2

C．|2z1－z2|＝37

D．z1＋2z2的共轭复数为2－3i

7．计算：＝________．

8．复数(a－i)(3＋4i)在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数a＝________．

9．已知复数z1＝1＋2i，z2＝3－4i.

(1)在复平面内，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，求点Z1，Z2之间的距离；

(2)若复数z满足＝＋，求z.

10．已知复数z1满足1＋z1＝(－1＋2i)(1－z1).

(1)求z1；

(2)若复数z2满足|z2|＝1且∈R，求z2.

核心素养升级练　

1．若f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{x|x＝f(n)，n∈N*}中的元素个数为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．无数个

2．已知复数z＝，则复数z＝________．

3．已知复数z1＝1－3i，z2＝a＋i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1·z2为“理想复数”．

(1)求实数a；

(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝，求z1⊗z2.

7．2.2　复数的乘、除运算

必备知识基础练

1．答案：A

解析：(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i.故选A.

2．答案：A

解析：z＝i(1－2i)＝2＋i，＝2－i.故选A.

3．答案：B

解析：z＝＝＝＝＝－.故选B.

4．答案：B

解析：因为复数z(1－i)＝1＋i，所以z＝＝＝＝i，所以|z|＝1，故选B.

5．答案：D

解析：∵z＝＝＝＝＋i，则＝－i，故的虚部为－.故选D.

6．答案：D

解析：z＝＝＝1－i，故z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D.

7．答案：－＋i

解析：由题意可得＝＝－＋i.

8．答案：10

解析：因为z＝(1＋3i)i3＝3－i，所以＝3＋i，因此z·＝32＋(－1)2＝10.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：由虚数单位i的性质可知i8＝1，故由a＋bi＝i8(2－i)可得：a＋bi＝2－i，故a＝2，b＝－1，∴a＋b＝1，故选B.

2．答案：A

解析：复数z＝(1－i)(2＋i)＝2＋i－2i－3i2＝5－i，则|z|＝＝2.故选A.

3．答案：B

解析：由复数的运算法则，可得＝＝＋i.因为＝a－bi(a，b∈R)，所以a＝，b＝－，所以2a＋b＝1－＝－.故选B.

4．答案：D

解析：∵复数z满足＝1＋2i，∴1＋zi＝(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i，∴zi＝2＋i，∴z＝＝＝1－2i在复平面内所对应的点(1，－2)位于第四象限．故选D.

5．答案：AC

解析：因数zi＝(1－2i)2＝－3－4i，两边同时乘以i得－z＝4－3i，所以z＝－4＋3i，所以z的虚部为3，故A正确；z在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误；|z|＝＝5，故C正确；z2＋8z＋7＝(－4＋3i)2＋8(－4＋3i)＋7＝16－9－32＋7－24i＋24i＝－18，故D错误．故选AC.

6．答案：AD

解析：由z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i为纯虚数，得a＝－2，且b≠－1，由z1z2＝(a＋i)(2＋bi)＝2a－b＋(ab＋2)i<0，得ab＝－2，且2a－b<0，得b＝1，所以|2z1－z2|＝|－6＋i|＝，z1＋2z2＝2＋3i的共轭复数为2－3i，所以AD正确，BC错误，故选AD.

7．答案：－2＋i

解析：解法一：＝＝＝－2＋i.

解法二：＝()()＝＝＝＝－2＋i.

8．答案：7

解析：由题意得(a－i)(3＋4i)＝3a＋4ai－3i－4i2＝3a＋4＋(4a－3)i，在复平面内对应的点为(3a＋4，4a－3)，因为该点在第一、三象限的角平分线上，所以3a＋4＝4a－3，解得a＝7.

9．解析：(1)解法一：在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1(1，2)，Z2(3，－4)，

所以|Z1Z2|＝＝2.

解法二：因为z1－z2＝(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，

所以|Z1Z2|＝|z1－z2|＝|－2＋6i|＝2.

(2)因为＝＝－i，

＝＝＋i，

所以＝＋＝－i，

所以z＝2＋i.

10．解析：(1)设z1＝a＋bi，(a，b∈R)

则1＋a＋bi＝(－1＋2i)(1－a－bi)＝－1＋a＋2b＋(2－2a＋b)i

所以，解得，所以z1＝1＋i.

(2)解法一：由∈R可设＝t(t∈R)，则z2＝tz1＝t＋ti.

因为|z2|＝1，所以＝1，解得t＝±，

所以z2＝＋i或－－i.

解法二：设z2＝x＋yi，(x，y∈R)，则＝＝＋i，

因为|z2|＝1且∈R，所以，

解得或，

所以z2＝＋i或－－i.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：根据复数的运算法则，可得＝＝i，＝＝－i，所以f(n)＝＋＝in＋(－i)n，则f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，所以集合中只有3个元素．

2．答案：i

解析：z＝＝＝＝.因为i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，(n∈Z)，而2 023＝4×505＋3，所以i2 023＝－i，所以z＝＝＝i.

3．解析：(1)由题得z1＝1－3i，z2＝a＋i，

z1·z2＝(1－3i)(a＋i)＝a＋3＋(1－3a)i，

∵z1z2是“理想复数”，

∴(a＋3)＋(1－3a)＝0，∴a＝2.

(2)由(1)知z1＝1－3i，z2＝2＋i，

所以|z1|＝，|z2|＝，

由|z1|＝>|z2|＝，

得z1⊗z2＝＝＋1，

＝＋1＝＋1＝－i.