7．2　复数的四则运算

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7．2　复数的四则运算
7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义

考点
学习目标
核心素养
复数加法、减法的运算
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则
数学运算
复数加法的几何意义
理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义
直观想象

问题导学
预习教材P75－P77的内容，思考以下问题：
1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
2．复数的加、减法的几何意义是什么？

1．复数加、减法的运算法则及加法运算律
(1)加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
■名师点拨
两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　)
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　)
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　)
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　)
(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
(6－2i)－(3i＋1)＝(　　)
A．3－3i　　　　　　　 B．5－5i
C．7＋i D．5＋5i
答案：B
若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2 B．4
C．3 D．－4
答案：B
已知i为虚数单位，设复数z满足z＋i＝3，则|z|＝(　　)
A．3 B．4
C． D．10
答案：C


复数的加、减法运算
　(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】　(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.

解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．　
　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．

复数加、减法的几何意义
　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求表示的复数；
(2)求表示的复数．
【解】　(1)因为＝－，
所以表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

1．[变问法]若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝，由互动探究1中知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i.

复数加、减法几何意义的应用技巧
(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．　

1．在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为(　　)
A．－1－5i B．－1＋5i
C．3－4i D．3＋4i
解析：选A.因为＝－，所以对应的复数为－2－3i－(－1＋2i)＝－1－5i.
2．在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以，，对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
所以＝－＝(1，1)，
＝－＝(－2，2)，
＝－ ＝(－3，1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)因为||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
因为||2＋||2＝10＝||2.
且||≠||，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．

1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(　　)
A．5－3i　　　　　　　　　 B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C.(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得⇒a＝－2.
答案：－2
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
(2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中.

[A　基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－2＋2i，
故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D.z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A. B．5
C．2 D．10
解析：选B.依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝(　　)
A. B．5
C. D．5
解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
答案：4－3i
7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是____________．
解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5　－1　2
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)．
解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)
＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i
＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 015－2 016i)＋(－2 016＋2 017i)
＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i＝1 009－1 010i.
10．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则，即a＝1.
[B　能力提升]
11．已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A. B.
C．6 D.
解析：选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤ ，故|z1－z2|的最大值为.
12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．
答案：圆
13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由题意得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)．由＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以
解得所以λ＋μ＝1.
答案：1
14．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝.
因为0 所以S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
[C　拓展探究]
15．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.
(1)求复数z在复平面内对应的点所在的图形；
(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝，
得|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆．
(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OZ0|＝2，半径r＝，
所以当z＝1＋i时，|z|min＝.