人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率第三课时教学设计

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教学基本信息
课题
10.1.3随机事件与概率（第三课时）
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．理解古典概型的概念和基本特征，会计算古典概型中简单随机事件的概率；
2．通过具体问题抽象出数学模型的过程，提升从具体到抽象，从特殊到一般的分析问题的能力；
3．用实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思维，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养．
教学重点：古典概型的概念
教学难点：确定随机试验的样本空间
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示․
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
设置问题，引发学生思考．
新课
思考 以下三个试验，它们的共同特征有哪些？
1．袋子中装有10个质地和大小完全相同的球，分别标有数字0，1，2，…，9，随机取出一个球，观察球的号码；
2．抛掷一枚均匀的硬币，观察它落地时哪一面朝上；
3．掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数．
通过对这三个试验的观察，我们发现他们的样本空间的样本点都是有限的，而且每个样本点发生的可能性都是相等的．
所以，我们将具有：
有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
下面我们就来研究古典概型：
问题1 一个班级中有18名男生、22名女生，采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
分析：班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．
解：样本空间中有40个样本点，
事件A＝“抽到男生”包含18个样本点．
因此，事件A发生的可能性大小为．
由事件的概率的定义，可得事件A 的概率是．
问题2 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”．如何度量事件B发生的可能性大小？
分析：我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．
解：样本空间共有8个有限的样本点，
因为事件B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，
所以，事件B发生的可能性大小为．
由事件的概率的定义，可得事件B的概率是．
由问题1及问题2可知，判断一个试验是否为古典概型，就是要看它的样本空间及样本点是否具有有限性和等可能性，而古典概型的计算，利用我们初中已有经验，可用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本总数的比值来度量．
由此，可以得到：
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
n(A)表示事件A包含的样本点个数，
n(Ω)表示样本空间Ω包含的样本点总个数．
法国的数学家拉普拉斯，在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义．概率的定义还有概率的公理化定义、几何定义、统计定义等．
回忆简单随机试验，思考它们的共同特征，提升学生发现、归纳、总结的能力．
提供简单的随机试验，引导学生分析是否符合古典概型的基本特征，根据已有经验，思考如何求解古典概型事件的概率．
从具体实例抽象、归纳古典概型的概率，提升学生数学抽象和数学建模素养．
例题
例 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
分析：因为考生不会做，让他随机的选择一个答案，可能会选择A、B、C、D中的任意一项，共4种可能结果，
所以，样本空间Ω＝{A，B，C，D}，样本点是有限的．
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，满足等可能性，
所以这是古典概型．
解：设事件M＝“选中正确答案”，
样本空间Ω＝{A，B，C，D}，n(Ω)＝4，
因为正确答案是唯一的，所以n(M)＝1，
所以，．
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率．
思考 在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）．你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
结果很显然，一定是多选题的难度更大．
分析：因为有A，B，C，D四个选项的多选题，如果至少有一个选项正确，可以分为以下四类：
①若答案只有一个选项，可能的选择是：A，B，C， D，共4种结果；
②若答案含有两个选项，可能的选择是： AB， AC， AD， BC， BD，CD，共6种结果；
③若答案含有三个选项，可能的选择是： ABC， ABD， ACD，BCD，共4种结果；
④若答案含有四个选项，可能的选择是： ABCD，只有1种结果，
所有可能的选择共15种结果，即n(Ω)=15．
因为正确答案是唯一的，所以答对多选题包含的样本点数为1，
所以在不知道答案时，答对多选题的概率是．
相比单选题猜对答案的概率要小很多，
所以答对多选题，会更难．
例 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I号和 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；
B＝“两个点数相等”；
C＝“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
分析：抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．
用有序实数对（m，n）表示掷两枚骰子试验的结果，m表示I号骰子出现的点数，n表示Ⅱ号骰子出现的点数．
可以用初中所学过的列表法将样本空间的样本点都列举出来．
m
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
n
m
解：样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36，样本点有限．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
因为A＝｛(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以n(A)＝4，
所以，．
因为B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，
所以n(B)＝6，
所以，．
因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)＝15，
所以，．

思考 如果在上例中，不给两枚骰子标上记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不给两枚骰子标上记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，例如，抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样（1，2）和（2，1）两个样本点的结果将无法区别．样本点（1，1）和（1，2）发生的可能性大小也不相等，所以，不是古典概型．
根据古典概型的基本特征，我们知道每个样本点出现的可能性是相等的，所以无论骰子标号还是不标号，都应该按照标号来做．
归纳：求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
例 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，可用下表表示：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
1
×
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，1)
×
(2，3)
(2，4)
(2，5)
3
(3，1)
(3，2)
×
(3，1)
(3，5)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
×
(4，5)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
×
第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，
即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}
所以，．
第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1、2列)，
即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}
所以，．
事件AB包含2个可能结果，
即AB＝{(1，2)，(2，1)}，
所以，．
变式1 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．
分析：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．那么第一次摸球时有5种等可能的结果，因为从中有放回地依次随机摸出2个球，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时也有5种等可能的结果．
解：用m表示第一次摸球出现的数字，用n表示第二次摸球出现的数字，用数组（m，n）来表示两次摸球的结果，样本空间Ω1＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5}}，n(Ω1)=25，
事件AB＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，n(AB)=4，
所以，．
变式2 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中同时摸出2个球，求事件AB＝“两次都摸到红球”的概率．
分析：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．同时摸出2个球，（1，2）和（2，1）都代表摸出1号和2号两个红球，与顺序无关，是同一个样本点，所以样本点具有无序性，
解：样本空间Ω2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，n(Ω2)=10，
事件AB＝{(1，2)}，n(AB)=1，
所以，．
通过这个例题，我们知道想要求出某事件的概率，一定要首先明确试验的条件及要观察的结果，分析清楚试验的样本空间是解决概率问题重要前提．
通过列举法写出试验的样本空间，熟悉用数学语言表达解题过程．
通过对多选题猜对答案的问题思考，激发学生的求解兴趣，体会概率越小，猜对答案越难．
理解古典概型的两个基本特征，利用表格列举出样本空间，分析随机事件的包含的样本点，用古典概型的概率求解．
提出疑义，使学生深入思考．
深化巩固古典概型的两个特点，使得学生认识到在求解古典概型的概率时，要先判断是否是古典概型，然后再计算．
通过归纳求解古典概型问题的一般思路，
提升学生归纳、总结的能力．
这是典型的不放回摸球问题，深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，用列举法写出样本空间和随机事件的样本点．
提出质疑，鼓励学生勇于探索
求事件的概率，要首先明确试验的条件及要观察的结果，分析清楚试验的样本空间
总结
1．古典概率的概念；
2．概率的定义；
3．求解古典概型问题的一般思路．
通过学生对本节内容的回顾与小结，使知识系统化，提升归纳、总结的能力．
作业
1．从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
2．判断下面的解答是否正确，并说明理由．
某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间Ω＝{yy，yn，ny，nn}，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25．
3．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率:
(1)抽到的牌是7；
(2)抽到的牌不是7；
(3)抽到的牌是方片；
(4)抽到J或Q或K；
(5)抽到的牌既是红心又是草花；
(6)抽到的牌比6大比9小；
(7)抽到的牌是红花色；
(8)抽到的牌是红花色或黑花色．
4． 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率
(1)这个数平方的个位数字为1；
(2)这个数的四次方的个位数字为1．
通过一个极端特殊的例子，对有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样和比例分层随机抽样，计算极端样本发生的概率，通过比较这3个概率的大小，说明用样本估计总体时，按比例分层抽样效果最好，而无放回抽样比有放回抽样效果好．
理解古典概型的概念和两个基本特征，进一步深化巩固古典概型中简单随机事件的概率问题．