人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率教案设计，共8页。


教学基本信息
课题
10.3.2随机模拟
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A版 ）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
教学目标及教学重点、难点
了解产生随机数的方法，知道如何利用计算机软件产生随机数，会用频率估计概率；
结合具体实例，通过随机模拟试验，体会用频率估计概率，理解频率与概率的区别与联系；
经历建立和运用随机模拟方法解决问题的过程，体会随机模拟思想方法，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算素养.
教学重点：频率与概率的联系与区别；
教学难点：用随机模拟方法求概率.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，大家好！通过前面的学习，我们知道对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率。但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率。因此需要寻找新的求概率的方法。上节课我们学习了用频率估计概率，可以用这种方法估计随机事件发生的概率.
提出问题，启发思考
新课
环节1
问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，如何估计正面朝上的概率？如何验证这个结论？
问题2 如何产生随机数？
产生随机数的方法有两种：
由试验产生的随机数
例如我们想要产生0~9之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.
2、利用计算器或计算机产生的随机数
利用计算器或计算机软件产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算器或计算机产生的随机数称为伪随机数.经过多种统计检验表明，由于伪随机数的周期很长，它与真正的随机数或随机数序列具有类似的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用. 在随机模拟中，往往需要大量的随机数，这时会选择用计算机产生随机数.我们根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.
下面以抛掷一枚均匀硬币为例.
首先，建立概率模型，将试验所有等可能发生的结果数字化，利用计算机产生取值于集合{0，1}的随机数，用0表示抛掷硬币出现反面朝上，用1表示正面朝上，每次实验中0，1出现的机会相等，这样不断产生0或1，就相当于不断地做抛掷硬币的试验.选定一个空白单元格，然后键入，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1. 用电子表格软件的自动填充功能，可以快速生成随机数.按照如上方法，这样我们很快就得到了100个随机产生的数据，相当于做了100次随机试验.
比起前苏联数学家手动投掷八万多次硬币，利用计算机产生随机数模拟试验，显然方便快捷很多。
环节2
用随机数进行简单随机抽样
问题3 要从11件产品中抽取5件进行质量检验，其中甲产品必须被抽中，如何利用随机数表示抽样过程.
解：
（1）将10件产品进行编号，号码为1，2，…，10；
（2）用计算器的随机函数或利用计算机的随机函数产生4个1到10之间的随机数（如果有一个重复，只需重新产生一个即可）.
（3）以上号码就是对应的4件产品，也就是要抽取的对象.
用随机模拟估计等可能事件的概率
问题4 一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别.从袋中摸出一个球，出现红球的概率是0.4？如何设计随机模拟试验验证结论？
建立概率模型
对于从袋中摸出一个球的试验，除了具体试验，我们还可以利用计算器或计算机产生在1~5之间的整数随机数来模拟摸球试验.用1，2表示红球，用3，4，5表示白球，不断产生1~5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
2、进行模拟试验
在电子表格软件中，利用函数产生随机数模拟试验.
统计试验结果
再用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为实验次数,nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.
用频率估计概率
画出频率折线图，从图中可以看出随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
我们把这种利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
环节3
蒙特卡洛（Mnte Carl）方法是在20世纪40年代美国第二次世界大战期间兴起和发展起来，它的奠基人是研制原子弹“曼哈顿计划”的成员乌拉姆和冯·诺伊曼.他首创该法用于裂变中的中子随机扩散进行模拟，并以驰名世界的赌城—摩纳哥的蒙特卡洛来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘的色彩.1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率 ，这被认为是蒙特卡洛方法的起源.
蒙特卡洛方法的两大优点：一是简单，省去了反复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速.这两个优点使得蒙特卡洛方法在金融工程学、宏观经济学、化学、生物、生态学、社会学等领域应用广泛.
为引入随机数的概念做铺垫.
了解随机数的意义，体会引入的必要性
经历和体会如何用模拟的方法估计概率
例题
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，，十二月是等可能的.设事件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
解：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且 相互之间没有影响，所以观察6个人出生月份可以看成重复试验.
一种方法是可以构建如下 有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…,12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地 随机从袋中摸6次球，得到6个数 代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.
另一种方法是利用计算机产生随机数模拟试验.例如在电子表格软件中，利用函数RANDBETWEEN(1,12)，产生6个数，分别代表6个人的出生月份，即完成了一次模拟试验.如此重复20次，相当于做20次重复试验.
观察20组数据，如果一组中的6个数至少有2个相同，则表示事件A发生了.统计20次试验的结果，事件A发生了15次，事件A发生的频率为0.75，可以用它估计概率为0.75.事实上，通过理论计算，得到事件A的概率约为0.78.
小结：当我们用事件A发生的频率估计事件A发生的概率时会存在一定误差，这是随机事件发生的频率具有随机性的体现.
例2 甲、乙两人进行一项比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6，利用计算机模拟试验，估计三局两胜制甲获胜的概率.
问题1如何理解三局两胜制甲获胜？
问题2每局比赛甲获胜的概率为0.4的含义是什么？
分析：若设事件A为甲赢得比赛，利用计算机产生0到9范围内的10个整数随机数进行模拟试验，当出现1，2，3，4表示一局比赛甲获胜．例如产生如下随机数，如何估计甲获胜的概率呢？
4 4 1 7 1 6 5 8 0 9 7 9 8 3 8 6 1 9 6 2 0 6 7 6 5 0 0 3 1 0 5 5 2 3 6 4 0 5 0 5 2 6 6 2 3 8 2 1 9 7 7 5 8 4 1 6 0 7 4 4 9 9 8 3 1 1 4 6 3 2 2 4 2 0 1 4 8 5 8 8 4 5 1 0 9 3 7 2 8 8 7 1 2 3 4 2 9 7 7 7 7 7 8 1 0 7 4 5 3 2 1 4 0 8 3 2 9 8 9 4 0 7 7 2 9 3 8 5 7 9 1 0 7 5 5 3 3 6 1 9 9 5 5 0 9 2 2 6 1 1 9 6 0 5 6 7 6 3 1 3 8 8 0 2 2 0 2 5 3 5 3 8 6 6 0 4 2 0 4 5 3 3 7 8 5 9 4 3 5 1 2 8 3 3
同学们可能会有如下的想法:
第一种想法若将产生的随机数三个一组，统计总组数N及至少有两个数字都为1至4的组数N1，则即为甲获胜的概率的近似值．
第二种想法是若将产生的随机数每三个一组，统计总组数N及前两个数字都为1至4的组数N1，则即为“甲以2：0获胜”的概率的近似值．接着再统计前两个数字中恰有一个数字为1至4的组数M及前两个数字中恰有一个数字为1至4，且第三个数字也为1至4的组数M1，则即为“甲以2：1获胜”的概率的近似值．所以+即为甲获胜的概率的近似值．
第三种想法是，若将产生的随机数两个一组，统计总组数N及两个数字都为1至4的组数N1，则即为“甲以2：0获胜”的概率的近似值．再将产生的随机数每三个一组，统计前两个数字中恰有一个数字为1至4的组数M及前两个数字中恰有一个数字为1至4，且第三个数字也为1至4的组数M1，则即为“甲以2：1获胜”的概率的近似值．
问题3如何估计甲以2：0获胜的概率？
下面我们利用随机模拟帮助我们解决这个问题.
（1）若以每两个随机数作为一组样本点，产生97组随机数：
44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 21 97 75 84 16 07 44 99 83 11 56 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 53 36 19 95 50 92 26 11 96 05 67 63 13 88 02 20 25 35 38 66 04 20 45 33 78 59 43 51 28 33
相当于做了97次重复试验，其中“甲以2：0获胜”共发生了18次.因此“甲以2：0获胜”的频率为0.186，用频率估计概率的近似值为0.186.
（2）若以每三个随机数作为一组样本点，产生64组随机数：
441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128
相当于做了64次重复试验，其中“甲以2：0获胜”共发生了11次，因此“甲以2：0获胜”的频率为0.172 ，用频率估计概率的近似值为0.172.事实上，若设事件Ai表示第i（i = 1，2，3）局比赛甲获胜，则P(Ai)=0.4，从理论计算得到“甲以2：0获胜”的概率的精确值为0.16. 这与通过随机模拟得到的概率的估计值基本吻合.在重复试验中，试验次数越多，频率接近概率的可能性越大.
问题4 如何估计“甲以2：1获胜”的概率？
甲需要在前两局中赢一局输一局，并赢得第三局.以每三个随机数作为一组，观察64组随机数：
441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128
相当于做了64次重复试验，其中“甲以2：1获胜”发生了32次.
其中第三个数也在1，2，3，4中，表示第三局甲胜，对应的组数分别是：364，623，821，744，463，201，712，293，922，611，631，022，353.其中“甲以2：1获胜”发生了14次，因此“甲以2：1获胜”的频率为0.219，用频率估计概率的近似值为0.219.所以，在三局两胜制下甲获胜的概率的近似值为0.172+0.219=0.391.
通过前面的学习，能否自己设计随机模拟试验解决这个问题？
解：设事件A =“甲获胜”，事件Ai =“单局比赛甲胜”，则 P(Ai)=0.4（ i = 1，2，3），用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.4. 由于要比赛三场，每三个随机数为一组.
例如，产生40组随机数：
414 544 114 135 522 525 452 213 255 125 442 534 522 242 323 114 224 344 253 245 415 244 124 315 511 524 451 214 254 115 452 533 521 241 423 134 214 544 255 243
相当于做了40次重复试验，其中事件A发生了15次，对应的组数分别为:114，522，213，125，522，242，114，224，124，511，214，115，521，241，214.
事件A发生的频率为0.375，用频率估计事件A的概率的近似值为0.375.
小结：用随机模拟方法得到是试验中事件A发生的频率，它是概率的近似值.事实上，通过理论计算得到事件A的概率的精确值为0.352.当试验次数较大时，估计的误差较小的可能性会更大.
用随机模拟求概率，感受用频率估计概率的误差，进一步理解频率与概率的区别与联系。
总结
1、随机模拟
2、用随机模拟估计概率的步骤
(1)设计概率模型.
(2)进行模拟试验.
(3)统计试验结果.
(4)用频率估计概率
课堂小结，提升认识
作业
1、将一枚质地均匀的硬币连掷2次，设事件A=“出现一正一反”，有人认为事件A的概率为，有人认为事件A的概率为.能否设计随机模拟试验，验证你的猜想？
盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取一个球.
(1) “取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
(2) “取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(4) 设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计取出的球是白球的概率？
布置作业
巩固知识