高中数学9.2 用样本估计总体教学设计

这是一份高中数学9.2 用样本估计总体教学设计，共6页。教案主要包含了实际情境， 问题导入，合理发问等内容，欢迎下载使用。


教学基本信息
课题
总体取值规律的估计（一）
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 8 月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要内容是学习画样本数据的频率分布表和频率分布直方图, 并利用频率分布直方图对总体进行分布规律的估计.收集数据就是为了寻找数据中蕴含的信息，这两个图表都可以使样本数据所包含的信息转化成直观的、容易理解的形式.过程中强化用类比的方法画图，并突出统计的基本思想及其在实际问题中的应用价值.有利于提高学生数据分析能力、统计观念,发展直观想象、数学建模素养！选用课本的一个例题及复习巩固三个小题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前言：同学们好！数学源于生活.所以同学们不单要在课堂上学习数学，还要从生活实践中理解和认识数学.今天我们学习的内容就和生活实际有很大的联系.
一、实际情境、引入主题
先给大家讲一个真实的故事.二战期间英国和德国的空军都非常发达，双方空战不断，为了提高空军的防护能力，英国的飞机设计师决定给飞机增加护甲，但设计师并不清楚应该在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家.统计学家将每架中弹之后仍然能够安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将所有飞机的中弹图叠放在一起，这样就形成浓密不同的弹孔分布.同学们哪个地方应该增加护甲？统计学家肯定地说，没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方，因为这个地方中弹的飞机都没能幸免于难.这里用到的就是统计的知识.
我们知道：统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科.面对一个统计问题，首先要根据实际需要收集样本，然后将样本数据进行整理分析，提取需要的信息，然后通过样本的情况推断总体的情况.前面我们学习的抽样方法就是如何收集数据.这节课我们就研究如何将数据进行整理，以便提取数据，更好地推断整体的情况.
数学研究的问题不是凭空设想的，而是源于生活, 由此使学生认识统计思维的特点和作用.并激发学生学习的兴趣，为下一步学习做铺垫.
新课
二、 问题导入、新知建构
环节一:引出问题,展现目的
问题: 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.
问题1：如果希望大多数居民的生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
说明：每户居民的月用水量标准太低，会影响居民的日常生活；标准太高，则不利于节水.所以必须确定一个合理的用水标准.
问题2：你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作?
说明：由于城市住户较多，全面普查,存在时间和经费问题,没有必要,所以通常采用抽样调查的方式.是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点.通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.
假设通过抽样调查，获得100户居民某年的月均用水量如下表（单位：t）：
9.0
13.6
14.9
5.9
4.0
7.1
6.4
5.4
19.4
2.0
2.2
8.6
13.8
5.4
10.2
4.9
6.8
14.0
2.0
10.5
2.1
5.7
5.1
16.8
6.0
11.1
1.3
11.2
7.7
4.9
2.3
10.0
16.7
12.0
12.4
7.8
5.2
13.6
2.6
22.4
3.6
7.1
8.8
25.6
3.2
18.3
5.1
2.0
3.0
12.0
22.2
10.8
5.5
2.0
24.3
9.9
3.6
5.6
4.4
7.9
5.1
24.5
6.4
7.5
4.7
20.5
5.5
15.7
2.6
5.7
5.5
6.0
16.0
2.4
9.5
3.7
17.0
3.8
4.1
2.3
5.3
7.8
8.1
4.3
13.3
6.8
1.3
7.0
4.9
1.8
7.1
28.0
10.2
13.8
17.9
10.1
5.5
4.6
3.2
21.6
环节二:构建研究路径
追问1：通过这些数据，你能看出哪些信息？
追问2：其实，面对多而杂乱的数据，我们往往又无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息.怎么办？
一副图胜过一千个字，看图、识图、用图是现代人必须具备的能力.
因此，必须对样本数据进行整理和分析，帮助我们找出数据中的规律，使数据所包含的信息转化成直观的、容易理解的形式，从而更好地对总体做出相应的估计.处理、分析数据常用方法，一种是用图形画出来，另一种是用紧凑的表格改变数据的排列方式.
如初中所学过的频数分布图、条形图、扇形图、折线图和频数分布表,就分别是这两种方法. 我们可以发现无论是表格还是图形都会，使数据所包含的信息更加的清晰、直观.这样更有利于从数据中提取信息、传递信息.
师：所以我们今天来学习频率分布表和频率分布直方图对样本数据进行整理. 如何画频率分布表和频率分布直方图？有没有以往的经验？
学习的方法是类比.类比频数分布表来画频率分布表，类比频数分布图画频率分布直方图.
环节三:类比作图、感受方法
下面我们用类比的方法学习新知识：
下面将通过几个思考问题的探究呈现频率分布直方图的画法 ：
思考1：样本数据的变化范围是多少？
（一组数据中最大值和最小值的差称为极差. 28.0-1.3=26.7）
思考2：如果将上述100个数据共分多少组？组距为多少？
（28.0-1.3）÷3=8.9
说明：尝试以组距为2、3、4进行分组，组距3把上述100个数据共分为9组；
说明：组距可以等距,也可以不等距. 很多时候为了方便往往按等距分组，而且组距取整.
合适的组距和组数对发现数据分布规律有重要意义，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.一般来说数据的个数越多,所分组数也越多.当样本容量不超过100时,常分成5—12组.
思考3：各组数据的取值范围可以如何设定？
法一: [1.2，4.2），[4.2，7.2），[7.2，10.2），
…，[25.2，28.2].
法二：（略)
说明:通常左闭右开.最后一组取闭区间.原则是使所有的数据都在这些小组范围之内.
思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数、频率？
将这些数据用表格的形式体现出来：
分组
频数
频率
[1.2，4.2）
23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
[7.2，10.2）
13
0.13
[10.2，13.2）
9
0.09
[13.2，16.2）
9
0.09
[16.2，19.2）
5
0.05
[19.2，22.2）
3
0.03
[22.2，25.2）
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合计
100
1
这个就是频率分布表. 我们还可以用更直观的方式体现出来.
（5）画频率分布直方图
思考5：频率分布直方图的横轴、纵轴分布表示什么？
就是横轴代表为月均用水量，纵轴是频率与组距的商.
环节四:对比强化、激发疑点
对比：对一组数据的频数分布图与频率分布直方图进行比较 .
三、合理发问、深化理解
探究1：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？
结论:每个小长方形的面积都代表该小组数据在样本数据中所频率.所有小长方形的面积和＝1
探究2：频率分布直方图的纵轴为什么用频率比组距，而不是频率？你是怎么理解的?
说明:从实际意义、从组距的等与不等进行比较,从数据的离散型到连续型的扩展解释.并说明学更多统计知识时还有更好的解释.毕竟数学知识都是合理、自然而生的.
探究3：
根据刚才所画直方图，你能从图中观察出样本的哪些信息？
局部分析:（1）样本落在各个小组的比例大小，例如[4.2，7.2）最多，[1.2，4.2）次之，月均用水量超过16.2的各个区间数据比例较小.
整体观察:（2）分布不对称，左高右低，右边有比较长的尾巴.[1.2，7.2）集中了0.55的用户；只有少数居民的月均用水量偏多；而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈降低趋势.
得出结论:有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律.推测全市居民的月均用水量也有类似的分布.即“大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域”.
从学生熟悉的问题入手，体会研究这个问题的必要性,使学生亲自经历知识的生成过程，感受问题都是自然而生的,有利于培养学生的理性思维,并通过探究活动形成理论.
因为学生初中阶段已经学习了一些统计知识,根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 构建本节课的研究蓝图，体现新知识都是在原有知识上的建构.
学生再次体会研究新对象的基本思路.让学生知道本节及本小单元研究的对象时什么？为什么学？学什么？怎么学？关注学生的认知基础，在学生的“最近发展区”设计问题，培养理性思维.

问题串的设计目的是使得知识间的逻辑关系更清晰.注重统计分析过程的理性分析，突出统计思想方法，初步感受统计思维的特点.
探究1强化频率分布直方图中各小长方形的意义.促使学生建立各小长方形的“数”“形”意义的联系.
探究2基于学生对直方图的纵轴为频率比组距,而不是频率,学生是有困惑的.给出必要的适度的解释不仅可以解除学生的疑惑,而且让学生体会每一个数学规定和理论的产生都有它产生的合理性,增强理性思维.
探究3让学生初步感受直方图的作用,如何对总体的分布规律进行简单的估计, 体会统计思想.
例题
四 、例题训练、巩固新知
例1、某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54， 43，34，44，40，59，39，42， 44，50，37，44，45，29，48， 45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计该地区年龄在40岁以下的知识分子所占的比例约是多少?
例2、一个容量为35的样本，分组后，组距与频数如下：
[5，10) 5，[10，15) 12，[15，20) 7， [20，25) 5，[25，30) 4，[30，35) 2，
则样本在区间 [20，+∞)上的频率为( )
A.20% B.69% C.31% D.27%
例3 下图是容量为100的样本的频率分布直方图：
（1）样本数据落在范围[6，10)内的频率为多少？
（2）样本数据落在范围[10，14)内的频数为多少？
（3）直方图中[2，6)小组对应频率为多少？
（4）直方图中[2，6)小组对应长方形高为a，则a对应的数值是多少？
反思总结：
1、强化画频率分布直方图的方法和注意问题；
2、强化频率分布直方图各小长方形的意义和相互联系；
3、体会利用样本的频率分布估计总体的分布；
通过对例题的分析，巩固直方图的画法和应用,让学生进一步体会其基本特征,强化利用这两个图表分析统计问题的意义.
总结
五 、回顾收获、反思升华
知识内容:
1、画频率分布表和频率分布直方图的方法；
2、小组的频率=小长方形的面积，所有小长方形面积的和=1
思想方法：统计思想、类比的方法、数形结合
这节课,我们学习了频率分布表和频率分布直方图的画法；需要强化的是频率分布直方图小长方形的面积=小组的频率，所有小长方形面积的和=1.频率分布表和频率分布直方图能将样本数据进行整理，更好地推断整体的情况，这体现了统计的思想；学习过程中我们应用类比的方法，其实新知识都是在原有知识上的建构，类比的方法提高了学习效率；另外，数和形本来就是数学问题的两个方面，表格还是图形，本质上都是使杂乱无章的样本原始数据、变得更加直观，清晰，体现数形结合的思想.相信大家不仅能收获知识，而且能体会研究问题的思想方法.这是今天的作业.
后总结：同学们，数学就在我们身边，我们不仅要学习怎么运用数学知识去分析解决实际问题，还要不断领会，融合于问题之中的数学学科的基本思想、方法、原理，不断学会用数学的方法观察、分析周围的实际问题.感谢大家的观看，再见！
回顾整理本节研究的内容（基本知识和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途径（基本活动经验），让学生明确本节课学习的内容和要求（四基）.
作业
作业1：教材第197页 练习1,2，
作业2: 【思考探究】问题1中将100个样本数据按组距为3进行了分组，初步得到一些对总体取值规律的估计.同学们试着改变组距,你会得到不同的直方图,观察分析这些直方图能得到什么样的对总体的估计?由此为了更好地对总体进行估计，你对画直方图时的数据分组有什么建议？
巩固强化本节课学习的知识方法,一节课时间有限,思考探究为下节课的学习做好铺垫.