高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费课后测评，共4页。

[A组 必备知识练]
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析：显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案：D
2．(多选)下列各式计算正确的有( )
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
解析：A，C，D正确，B错误，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
答案：ACD
3．设e1，e2是两个不共线的向量．若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝ eq \f(1,2)
解析：∵向量m与向量n共线，
∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1.
∵e1与e2不共线，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,－1＝－2λ，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,k＝\f(1,2)．))
答案：D
4．下列各组向量中，一定能推出a∥b的是( )
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝ eq \f(e1＋e2,2)－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ eq \f(e1＋e2,2).
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：①中，a＝－ eq \f(3,2)b，所以a∥b；
②中，b＝ eq \f(e1＋e2,2)－e1＝ eq \f(e2－e1,2)＝－ eq \f(1,2)a，所以a∥b；
③中，b＝ eq \f(3e1＋3e2,2)＝ eq \f(3,2)(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．
答案：B
5．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.
∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝ eq \f(3,5)，即λ＝± eq \f(3,5).
答案：± eq \f(3,5)
6. eq \f(1,4)(a＋2b)－ eq \f(1,6)(5a－2b)＋ eq \f(1,4)a＝____________．
解析：原式＝ eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(5,6)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,4)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(5,6)＋\f(1,4)))a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,3)))b＝－ eq \f(1,3)a＋ eq \f(5,6)b.
答案：－ eq \f(1,3)a＋ eq \f(5,6)b
7．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
[B组 关键能力练]
8．如图，在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，点E是AC的三等分点，且EC＝ eq \f(1,3)AC，则 eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,3)a－ eq \f(2,3)b B． eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b
C． eq \f(1,3)a＋ eq \f(2,3)b D． eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b
解析：∵在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b.又EC＝ eq \f(1,3)AC，∴ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)(a＋b)－b＝ eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b.
答案：B
9．在△ABC中，D是AB边上的一点．若 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋λ eq \(CB,\s\up6(→))，则λ等于( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,4)
解析：∵A，B，D三点共线，
∴ eq \f(1,3)＋λ＝1，λ＝ eq \f(2,3).
答案：B
10．如果实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________．(填“共线”或“不共线”)
解析：由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－ eq \f(p＋1,p)b，由向量共线定理可知a，b共线．
答案：共线
11．已知在△ABC中，点M满足 eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m，使得 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．
解析：∵ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴点M是△ABC的重心，∴ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.
答案：3
12．已知在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b.求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))共线，且| eq \(AD,\s\up6(→))|＝2| eq \(BC,\s\up6(→))|.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC，
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
[C组 素养培优练]
13．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若 eq \(AB,\s\up6(→))＝m eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝n eq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：连接AO(图略).∵O是BC的中点，
∴ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))).
又∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝m eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝n eq \(AN,\s\up6(→))，∴ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(m,2) eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(n,2) eq \(AN,\s\up6(→)).
又∵M，O，N三点共线，∴ eq \f(m,2)＋ eq \f(n,2)＝1，则m＋n＝2.
答案：B