2024八年级数学下册第十六章二次根式检测卷（附答案人教版）

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第十六章　二次根式得分________　卷后分________　评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各式中，一定是二次根式的是(C)A． eq \r(3,2 023)  B． eq \r(3,2a)  C． eq \r(2a2＋1)  D． eq \r(x＋1) 2．要使 eq \f(\r(x＋1),2) 有意义，则x的取值范围应为(B)A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－13．下列式子中，为最简二次根式的是(B)A． eq \r(\f(1,2))  B． eq \r(2)  C． eq \r(4)  D． eq \r(12) 4．下列运算中，错误的是(A)A． eq \r(2) ＋ eq \r(3) ＝ eq \r(5)  B． eq \r(2) × eq \r(3) ＝ eq \r(6) C． eq \r(8) ÷ eq \r(2) ＝2 D．(－ eq \r(3) )2＝35．等式 eq \r(（4－x）2（6－x）) ＝(x－4) eq \r(6－x) 成立的条件是(B)A．x≥4 B．4≤x≤6C．x≥6 D．x≤4或x≥66．估计(2 eq \r(3) ＋6 eq \r(2) )× eq \r(\f(1,3)) 的值应在(C)A．4和5之间 B．5和6之间C．6和7之间 D．7和8之间7．已知k，m，n为三个整数，若 eq \r(135) ＝k eq \r(15) ， eq \r(450) ＝15 eq \r(m) ， eq \r(180) ＝6 eq \r(n) ，则k，m，n的大小关系为(D)A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n8．若x＝ eq \f(\r(3)－\r(2),2) ，y＝ eq \f(\r(3)＋\r(2),2) ，则x2＋y2的值是(A)A． eq \f(5,2)  B． eq \f(\r(3),2)  C． eq \r(3)  D． eq \f(1,4) 9．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 eq \r(（a＋1）2) ＋ eq \r(（b－1）2) － eq \r(（a－b）2) 的结果是(A)A．－2 B．0 C．－2a D．2b10．对于任意的正实数m，n，定义一种新运算“※”为：m※n＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\r(n)（m≥n），,\r(m)＋\r(n)（m＜n），)) 则计算(3※2)×(8※12)的结果为(B)A．2－4 eq \r(6)  B．2 C．2 eq \r(5)  D．20二、填空题(每小题3分，共24分)11．若代数式 eq \f(3,\r(2x－6)) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__x＞3__．12．若 eq \r(12) 与最简二次根式5 eq \r(a＋1) 是同类二次根式，则a＝__2__．13．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为 eq \r(6) 时，则输出的值为__5 eq \r(2) __． eq \x(输入x) → eq \x(×\r(3)) → eq \x(＋\r(8)) → eq \x(输出) 14．已知x＝ eq \r(5) －6，则代数式x2＋5x－6的值为__5－7 eq \r(5) __．15．若2，5，m是某三角形三边的长，则 eq \r(（m－3）2) ＋ eq \r(（m－7）2) ＝__4__．16．如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上，若等边三角形和正方形的面积分别是2 eq \r(3) 和2，则图中阴影部分的面积是__2__．17．观察分析下列数据：0，－ eq \r(3) ， eq \r(6) ，－3，2 eq \r(3) ，－ eq \r(15) ，3 eq \r(2) ，…，根据数据排列的规律可得到第16个数据应是__－3 eq \r(5) __(结果需化简)．18．观察、思考、解答：( eq \r(2) －1)2＝( eq \r(2) )2－2×1× eq \r(2) ＋12＝2－2 eq \r(2) ＋1＝3－2 eq \r(2) ，反之3－2 eq \r(2) ＝2－2 eq \r(2) ＋1＝( eq \r(2) －1)2，∴3－2 eq \r(2) ＝( eq \r(2) －1)2，∴ eq \r(3－2\r(2)) ＝ eq \r(2) －1.仿上述解题思路，化简： eq \r(6－2\r(5)) ＝ __ eq \r(5) －1__．三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1) eq \f(2,\r(2)) ×(2 eq \r(12) ＋4 eq \r(\f(1,8)) －3 eq \r(48) )；解：原式＝4 eq \r(6) ＋2－12 eq \r(6) ＝2－8 eq \r(6) (2)(2 eq \r(5) ＋ eq \r(6) )(2 eq \r(5) － eq \r(6) )－( eq \r(7) －3)2 .解：原式＝20－6－(16－6 eq \r(7) )＝20－6－16＋6 eq \r(7) ＝－2＋6 eq \r(7) 20．(8分)已知a＝ eq \r(7) ＋ eq \r(6) ，b＝ eq \r(7) － eq \r(6) ，试求：(1)ab；(2)a2＋b2－5＋2ab.解：(1)∵a＝ eq \r(7) ＋ eq \r(6) ，b＝ eq \r(7) － eq \r(6) ，∴ab＝( eq \r(7) ＋ eq \r(6) )×( eq \r(7) － eq \r(6) )＝7－6＝1(2)∵a＝ eq \r(7) ＋ eq \r(6) ，b＝ eq \r(7) － eq \r(6) ，∴a＋b＝ eq \r(7) ＋ eq \r(6) ＋ eq \r(7) － eq \r(6) ＝2 eq \r(7) ，则a2＋b2－5＋2ab＝(a＋b)2－5＝28－5＝2321．(9分)已知9＋ eq \r(11) 与9－ eq \r(11) 的小数部分分别为a，b，求ab－3a＋4b－7的值．解：∵3＜ eq \r(11) ＜4，∴12＜9＋ eq \r(11) ＜13，5＜9－ eq \r(11) ＜6，∴a＝9＋ eq \r(11) －12＝ eq \r(11) －3，b＝9－ eq \r(11) －5＝4－ eq \r(11) ，∴ab－3a＋4b－7＝( eq \r(11) －3)(4－ eq \r(11) )－3( eq \r(11) －3)＋4(4－ eq \r(11) )－7＝－522．(9分)小亮和小芳在解题目“求代数式a＋ eq \r(a2－2a＋1)  的值，其中a＝－2 023.”时的解答过程如图所示：(1) 小亮和小芳两人谁的解法错误？请说明理由；(2)求代数式a＋2 eq \r(a2－6a＋9) 的值，其中a＝－2 022.解：(1)小芳的解法错误，理由如下：∵a＝－2 023，∴1－a＝1－(－2 023)＝2 024>0，∴ eq \r(（1－a）2) ＝1－a，∴小芳的解法错误(2)∵a＝－2 022，∴a－3＝－2 025＜0，∴a＋2 eq \r(a2－6a＋9) ＝a＋2 eq \r(（a－3）2) ＝a＋2(3－a)＝a＋6－2a＝6－a＝6－(－2 022)＝2 02823．(10分)如图，用两个边长均为15 eq \r(2)  cm的小正方形拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长；(2)沿此大正方形边的方向能否剪出一张长、宽之比为4∶3，且面积为720 cm2的长方形纸片？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由．解：(1)大正方形的边长＝ eq \r(（15\r(2)）2＋（15\r(2)）2) ＝30(cm)(2)不能，理由如下：设长方形纸片的长为4x cm，宽为3x cm，则4x·3x＝720，解得x＝2 eq \r(15) ，∴4x＝8 eq \r(15) ＞30，∴不能剪出符合要求的长方形纸片24．(10分)观察下列等式：①2 eq \r(\f(2,3)) ＝ eq \r(2＋\f(2,3)) ；②3 eq \r(\f(3,8)) ＝ eq \r(3＋\f(3,8)) ；③4 eq \r(\f(4,15)) ＝ eq \r(4＋\f(4,15)) ；……(1)根据上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；(2)写出用字母n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并写出证明过程．解：(1)猜想：第5个等式为6 eq \r(\f(6,35)) ＝ eq \r(6＋\f(6,35)) .验证：右边＝ eq \r(6＋\f(6,35)) ＝ eq \r(\f(6×35＋6,35)) ＝ eq \r(\f(36×6,35)) ＝6 eq \r(\f(6,35)) ＝左边(2)第n－1个等式为n eq \r(\f(n,n2－1)) ＝ eq \r(n＋\f(n,n2－1)) .证明：右边＝ eq \r(n＋\f(n,n2－1)) ＝ eq \r(\f(n（n2－1）＋n,n2－1)) ＝ eq \r(\f(n3－n＋n,n2－1)) ＝ eq \r(\f(n3,n2－1)) ＝n eq \r(\f(n,n2－1)) ＝左边25．(12分)阅读材料：像( eq \r(5) ＋ eq \r(2) )( eq \r(5) － eq \r(2) )＝3， eq \r(a) · eq \r(a) ＝a(a≥0)，( eq \r(b) ＋1)( eq \r(b) －1)＝b－1(b≥0)……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 eq \r(3) 与 eq \r(3) ， eq \r(2) ＋1与 eq \r(2) －1，2 eq \r(3) ＋3 eq \r(5) 与2 eq \r(3) －3 eq \r(5) 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： eq \f(1,2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2\r(3)×\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),6) ； eq \f(\r(2)＋1,\r(2)－1) ＝ eq \f(（\r(2)＋1）2,（\r(2)－1）（\r(2)＋1）) ＝3＋2 eq \r(2) .解答下列问题：(1)3－ eq \r(7) 与__3＋ eq \r(7) __互为有理化因式，将 eq \f(2,3\r(2)) 分母有理化得__ eq \f(\r(2),3) __；(2)计算： eq \f(1,2－\r(3)) － eq \f(6,\r(3)) ；(3)已知有理数a，b满足 eq \f(a,\r(2)＋1) ＋ eq \f(b,\r(2)) ＝－1＋2 eq \r(2) ，求a，b的值．解：(2) eq \f(1,2－\r(3)) － eq \f(6,\r(3)) ＝ eq \f(1×（2＋\r(3)）,（2－\r(3)）（2＋\r(3)）) － eq \f(6\r(3),3) ＝2＋ eq \r(3) －2 eq \r(3) ＝2－ eq \r(3) (3)∵ eq \f(a,\r(2)＋1) ＋ eq \f(b,\r(2)) ＝－1＋2 eq \r(2) ，∴a( eq \r(2) －1)＋ eq \f(\r(2),2) b＝－1＋2 eq \r(2) ，∴－a＋(a＋ eq \f(b,2) ) eq \r(2) ＝－1＋2 eq \r(2) ，∴－a＝－1，a＋ eq \f(b,2) ＝2，∴a＝1，b＝2